Gleichungssystem leere Menge < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mi 28.10.2009 | | Autor: | frato |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute ich brauche mal kurz eure Hilfe. Ich glaube ich stehe aufm Schlauch...
Und zwar hätte ich zwei Fragen:
1.Ist jede Gerade in der Ebene (also in R2) Lösungsmenge eines geeigneten linearen Gleichungssystems? Begründen Sie Ihre Antwort.
2....zwei Gleichungen, eine Unbestimmte betrachtet. Wann genau ist die Lösungsmenge leer? Begründen Sie Ihre Antwort.
Eigentlich sind diese Aufgaben ja nicht schwer, aber ich glaube bei mir hackt es momentan etwas  ...
Also zu 1: Ich hab mir gedacht, dass man ja jedes lineare Gleichungssytem der Form ax+by=c als Geradengleichung schreiben kann. Und prinzipiel kann ich doch mit Geraden (mx+t=y) alle Punkte (x,y) in der Ebene erreichen. Also Ist jede Gerade in der Ebene (also in R2) Lösungsmenge eines geeigneten linearen Gleichungssystems. Stimmt das so? Ich glaube igrendwas mache ich falsch...
zu 2: man hat ja dann zwei gleichungen der Form a1x=b1 und a2x=b2
=> b1/a1=x und b2/a2=x => b1/a1=b2/a2
soweit so gut...
Die leere Menge erhält man doch dann wenn:
1) a1 oder a2 =0 und b1,b2 ungleich 0
2) a1=a2 und b1 ungleich b2
3) b1=b2 und a1 ungleich a2
4)a1 = a2 = 0
5) b1=0 und b2 ungleich 0 und a1,a2 ungleich 0
6) b2=0 und b1 ungleich 0 und a1,a2 ungleich 0
ist das die Lösung? hab ich was vergessen? kann ich die Punkte 1,4 und 5,6 irgendwie zusammenfassen?
vielen Dank für eine Antwort...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mi 28.10.2009 | | Autor: | bolzen |
> Also zu 1: Ich hab mir gedacht, dass man ja jedes lineare
> Gleichungssytem der Form ax+by=c als Geradengleichung
> schreiben kann. Und prinzipiel kann ich doch mit Geraden
> (mx+t=y) alle Punkte (x,y) in der Ebene erreichen. Also Ist
> jede Gerade in der Ebene (also in R2) Lösungsmenge eines
> geeigneten linearen Gleichungssystems. Stimmt das so? Ich
> glaube igrendwas mache ich falsch...
Es ist auf jeden Fall richtig, dass jede Gerade durch ein LGS dargestellt werden kann.
Aber zum Begründen solltest du vllt anders argumentieren:
Wenn dein Gleichungssystem eine Variable mehr hat als Gleichungen, kannst du ja eine Variable frei wählen.
Das ist genau wie bei einer Geraden: y=mx+b
Du darfst dir quasi aussuchen, was dein x für einen Wert annimmt, aber der für dein y wird dir vorgeschrieben.
>
> zu 2: man hat ja dann zwei gleichungen der Form a1x=b1 und
> a2x=b2
> => b1/a1=x und b2/a2=x => b1/a1=b2/a2
> soweit so gut...
> Die leere Menge erhält man doch dann wenn:
>
> 1) a1 oder a2 =0 und b1,b2 ungleich 0
> 2) a1=a2 und b1 ungleich b2
> 3) b1=b2 und a1 ungleich a2
> 4)a1 = a2 = 0
> 5) b1=0 und b2 ungleich 0 und a1,a2 ungleich 0
> 6) b2=0 und b1 ungleich 0 und a1,a2 ungleich 0
>
> ist das die Lösung? hab ich was vergessen? kann ich die
> Punkte 1,4 und 5,6 irgendwie zusammenfassen?
>
Nicht ganz richtig, denn das LGS hätte auch keine Lösung, falls zB
a1=1 ,b1=2, a2=3, b2=4
Zum Ziel kommst du mit dem Begriff "Lineare Unabhängigkeit".
Schreibe dein Gleichungssystem in Matrix Schreibweise:
[mm] \pmat{ a1 & b1 \\ a2 & b2 }
[/mm]
Wenn die beiden Zeilevektoren
[mm] v=\pmat{ a1 & b1 } [/mm] und [mm] w=\pmat{ a2 & b2 }
[/mm]
linear unabhängig sind, gibt es keine Lösung des LGS,
bei linearer Abhängigkeit genau eine.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:06 Mi 28.10.2009 | | Autor: | frato |
ok vielen dank für die antwort.
das mit der linearen unabhängigkeit wäre mich auch schon eingefallen, aber ich denke das wir das noch nicht verwenden dürfen...
reicht es nicht, wenn ich jetzt noch ergänze:
leere menge wenn [mm] b1/a1\not=b2/a2 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 30.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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