Gleichungssystem lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 11.01.2008 | | Autor: | betty_b |
| Aufgabe | I: y/x + 1 = y/(x-10)
II: y/x + 3 = y/(x-25) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin im Rahmen einer Bewerbung gerade dabei meine Mathekenntnisse aufzufrischen und scheitere gerade an obigem Gleichungssystem.
Lösungen sind bekannt: x=100 und y=900 nur ich schaffe es einfach nicht, den richtigen Weg zu finden. Kann mir jemand helfen und mir den Lösungsweg aufzeichnen? Das ich beide Gleichungen nach y oder x auflösen muss und sie dann gleichsetzen weiß ich. Aber dann komme ich nicht weiter.
Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
hi,
> I: y/x + 1 = y/(x-10)
> II: y/x + 3 = y/(x-25)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Offensichtlich ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen.
> Ich bin im Rahmen einer Bewerbung gerade dabei meine
> Mathekenntnisse aufzufrischen und scheitere gerade an
> obigem Gleichungssystem.
>
> Lösungen sind bekannt: x=100 und y=900 nur ich schaffe es
> einfach nicht, den richtigen Weg zu finden. Kann mir jemand
> helfen und mir den Lösungsweg aufzeichnen?
Was hast du denn schon probiert ?
> Das ich beide
> Gleichungen nach y oder x auflösen muss und sie dann
> gleichsetzen weiß ich. Aber dann komme ich nicht weiter.
Okay, der Ansatz ist prinzipiell okay. Ich persönlich arbeite ja lieber mit dem Einsetzungsverfahren, also löse ich meinetwegen Gleichung 1 nach x auf und setze das in Gleichung 2 ein, macht aber keinen Unterschied.
Also fangen wir mal an:
I: y/x + 1 = y/(x-10)
Wie man das nach einer Variablen auflöst, ist dir klar ?
Mit den Nennern multiplizieren um die Brüche wegzubekommen und dann ist es ganz einfach, ich erhalte für
[mm] y=\bruch{x*(x-10)}{10}
[/mm]
Einsetzen in Gleichung 2:
II: y/x + 3 = y/(x-25)
II: [mm] \bruch{\bruch{x*(x-10)}{10}}{x} [/mm] + 3 = [mm] \bruch{\bruch{x*(x-10)}{10}}{(x-25)}
[/mm]
Jetzt wieder mit dem Nennermultiplizieren und dann dürfte das schon gar nicht mehr so schlimm aussehen.
> Vielen Dank im Voraus
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:53 Fr 11.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hey, ich denke, dass es so nicht stimmt. Vgl den Lösungsweg von DaReava.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 21:26 Fr 11.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hast recht, dein Weg stimmt auch. Ich habe es gerade auch nocheinmal ausführlich durchgerechnet. Entschuldigung.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Fr 11.01.2008 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
nachdem ich auf einen angeblichen Fehler hingewiesen wurde hier meine Rechnung, die das CAS bestätigt:
[mm] \bruch{y}{x}+1=\bruch{y}{x-10} [/mm] |*x*(x-10)
[mm] \Rightarrow$ [/mm] (y+x)*(x-10)=y*x $
[mm] \Rightarrow$ y*x-10y+x^{2}-10*x=y*x [/mm] $
[mm] \Rightarrow$ -10*y+x^{2}-10*x=0 [/mm] $
[mm] \Rightarrow$ 10*y=x^{2}-10x [/mm] $
[mm] \Rightarrow$ y=\bruch{x^{2}-10*x}{10}=\bruch{x*(x-10)}{10} [/mm] $
Der andere Weg mag eleganter sein, falsch ist meiner jedoch nicht...
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Fr 11.01.2008 | | Autor: | betty_b |
Hallo zurück
> hi,
>
> > I: y/x + 1 = y/(x-10)
> > II: y/x + 3 = y/(x-25)
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Offensichtlich ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2
> Variablen.
>
>
> > Ich bin im Rahmen einer Bewerbung gerade dabei meine
> > Mathekenntnisse aufzufrischen und scheitere gerade an
> > obigem Gleichungssystem.
> >
> > Lösungen sind bekannt: x=100 und y=900 nur ich schaffe es
> > einfach nicht, den richtigen Weg zu finden. Kann mir jemand
> > helfen und mir den Lösungsweg aufzeichnen?
>
> Was hast du denn schon probiert ?
Vieles und frag mich nicht wie es mir dabei geht...
> > Das ich beide
> > Gleichungen nach y oder x auflösen muss und sie dann
> > gleichsetzen weiß ich. Aber dann komme ich nicht weiter.
>
> Okay, der Ansatz ist prinzipiell okay. Ich persönlich
> arbeite ja lieber mit dem Einsetzungsverfahren, also löse
> ich meinetwegen Gleichung 1 nach x auf und setze das in
> Gleichung 2 ein, macht aber keinen Unterschied.
>
> Also fangen wir mal an:
>
> I: y/x + 1 = y/(x-10)
>
> Wie man das nach einer Variablen auflöst, ist dir klar
Im Prinzip ja, in der Praxis nicht. Ich komme nie auf dein Ergebnis.
Könntest du mir dazu eine Schritt für Schritt Erklärung geben, damit ich weiß, was ich falsch mache?
Bei mir sieht es so aus:
y/x + 1 = y/x-10
y+1 = yx/x-10
(y+1)(x-10) = yx
Welche Regel vergesse ich dabei?
> Mit den Nennern multiplizieren um die Brüche wegzubekommen
> und dann ist es ganz einfach, ich erhalte für
>
> [mm]y=\bruch{x*(x-10)}{10}[/mm]
>
>
> Einsetzen in Gleichung 2:
>
> II: y/x + 3 = y/(x-25)
>
> II: [mm]\bruch{\bruch{x*(x-10)}{10}}{x}[/mm] + 3 =
> [mm]\bruch{\bruch{x*(x-10)}{10}}{(x-25)}[/mm]
>
> Jetzt wieder mit dem Nennermultiplizieren und dann dürfte
> das schon gar nicht mehr so schlimm aussehen.
>
> > Vielen Dank im Voraus
>
> Lg
Dankeschön schonmal!
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] betty_b [/mm] und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> > > I: y/x + 1 = y/(x-10)
> > > II: y/x + 3 = y/(x-25)
> > Also fangen wir mal an:
... indem wir vor allem den Formelditor benutzen, damit die Brüche schöner aussehen:
I: [mm] \bruch{y}{x}+1=\bruch{y}{x-10}
[/mm]
II: [mm] \bruch{y}{x}+3=\bruch{y}{x-25}
[/mm]
> >
> > I: y/x + 1 = y/(x-10)
> >
> > Wie man das nach einer Variablen auflöst, ist dir klar
>
> Im Prinzip ja, in der Praxis nicht. Ich komme nie auf dein
> Ergebnis.
> Könntest du mir dazu eine Schritt für Schritt Erklärung
> geben, damit ich weiß, was ich falsch mache?
>
>
> Bei mir sieht es so aus:
>
> y/x + 1 = y/x-10
>
> y+1 = yx/x-10
hier machst du wahrscheinlich den entscheidenden Fehler:
I: [mm] \bruch{y}{x}+1=\bruch{y}{x-10} [/mm] willst du mit x multiplizieren - dann aber auch bitte die 1 !!
Ia: [mm] $y+x=\bruch{y*x}{x-10} [/mm] |*(x-10)$
> (y+1)(x-10) = yx
daher: $(y+x)(x-10)=y*x$
Jetzt kommst du wohl allein weiter?
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Fr 11.01.2008 | | Autor: | betty_b |
> Hallo [mm]betty_b[/mm] und ,
>
>
> > > > I: y/x + 1 = y/(x-10)
> > > > II: y/x + 3 = y/(x-25)
>
> > > Also fangen wir mal an:
> ... indem wir vor allem den Formelditor benutzen, damit
> die Brüche schöner aussehen:
Mache ich in Zukunft - danke für den Tipp!
>
> hier machst du wahrscheinlich den entscheidenden Fehler:
> I: [mm]\bruch{y}{x}+1=\bruch{y}{x-10}[/mm] willst du mit x
> multiplizieren - dann aber auch bitte die 1 !!
>
> Ia: [mm]y+x=\bruch{y*x}{x-10} |*(x-10)[/mm]
>
> > (y+1)(x-10) = yx
> daher: [mm](y+x)(x-10)=y*x[/mm]
>
> Jetzt kommst du wohl allein weiter?
>
Das habe ich jetzt verstanden - vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Fr 11.01.2008 | | Autor: | DaReava |
So, hier eine vollständige Lösung (falls nicht gewünscht bitte ignorieren)
[mm]I: \bruch{y}{x}+1 = \bruch{y}{x-10} \gdw \bruch{yx(x-10)}{x}+x(x-10) = \bruch{yx(x-10)}{(x-10)} \gdw yx-10y+x^2-10x=yx
\gdw x^2-10x-10y=0[/mm]
[mm]II: \bruch{y}{x}+3 = \bruch{y}{x-25} \gdw \bruch{yx(x-25)}{x}+3x(x-25) = \bruch{yx(x-25)}{(x-25)} \gdw yx-25y+3x^2-75x=yx
\gdw 3x^2-75x-25y=0 [/mm]
So nun kann man [mm]II-3I[/mm] rechnen.
[mm]\Rightarrow 0-45x+5y=0 \gdw5y=45x \gdw y=9x [/mm]
setze das nun etwa in [mm]x^2-10x-10y=0[/mm] ein.
dann folgt [mm]x^2-10x-90x=0 \gdw x^2=100x \gdw x=100[/mm]
Zu guter letzt noch x in [mm]y=9x[/mm] einsetzen
[mm]\Rightarrow y=900 \Box[/mm]
Ich hoffe geholfen zu haben, über evtl Fehler bitte nicht böse sein, ich bin neu hier 
LG reava
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 11.01.2008 | | Autor: | betty_b |
> So, hier eine vollständige Lösung (falls nicht gewünscht
> bitte ignorieren)
Hallo, das ist sehr gewünscht, aber auch hier ging es mir ein wenig zu schnell. Ich brauche doch noch ein paar mehr Zwischenschritte, um deine Umformungen gerade am Anfang zu verstehen.
Würdest du mir dabei noch einmal helfen? Das wäre klasse.
>
> [mm]I: \bruch{y}{x}+1 = \bruch{y}{x-10} \gdw \bruch{yx(x-10)}{x}+x(x-10) = \bruch{yx(x-10)}{(x-10)} \gdw yx-10y+x^2-10x=yx
\gdw x^2-10x-10y=0[/mm]
>
> [mm]II: \bruch{y}{x}+3 = \bruch{y}{x-25} \gdw \bruch{yx(x-25)}{x}+3x(x-25) = \bruch{yx(x-25)}{(x-25)} \gdw yx-25y+3x^2-75x=yx
\gdw 3x^2-75x-25y=0[/mm]
>
> So nun kann man [mm]II-3I[/mm] rechnen.
>
> [mm]\Rightarrow 0-45x+5y=0 \gdw5y=45x \gdw y=9x[/mm]
> setze das nun
> etwa in [mm]x^2-10x-10y=0[/mm] ein.
> dann folgt [mm]x^2-10x-90x=0 \gdw x^2=100x \gdw x=100[/mm]
>
> Zu guter letzt noch x in [mm]y=9x[/mm] einsetzen
> [mm]\Rightarrow y=900 \Box[/mm]
>
> Ich hoffe geholfen zu haben, über evtl Fehler bitte nicht
> böse sein, ich bin neu hier
>
> LG reava
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Fr 11.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Hallo!
Ja, sicher helfe ich noch einmal.
Wenn du den Rechenweg aber wirklich nachvollziehen willst, rate ich zu Folgendem:
nimm dir ein, zwei Blatt Papier, einen Stift und versuche das das ganze nachzurechnen.
Hier jedoch erst noch einmal der Rechenweg mit einigen Zwischenbemerkungen.
[mm] I: \bruch{y}{x}+1 = \bruch{y}{x-10} [/mm]
sehr unschön sind hier die beiden Nenner.
Um sie zu entfernen, multipliziere den Term mit dem Produkt der beiden Nenner [mm]x(x-1)[/mm] (dabei die 1 nicht vergessen!).
Das geschickte daran ist, dass nun beide Nenner gekürzt werden können:
[mm]\gdw \bruch{y[s]x[/s](x-10)}{[s]x[/s]}+x(x-10) = \bruch{yx[s](x-10)[/s]}{[s](x-10)[/s]} [/mm]
[mm]\gdw yx-10y+x^2-10x=yx [/mm]
[mm]\gdw x^2-10x-10y=0 [/mm]
So, jetzt sieht der Term schon ganz angenehm aus.
Dasselbe Verfahren für Term [mm]II[/mm] anwenden, dann sieht das lineare Gleichungssystem so aus:
[mm]I: x^2-10x-10y=0 [/mm]
[mm]II: 3x^2-75x-25y=0[/mm]
nun, wie beschrieben 3I von II abziehen(dann verschwindet das unangenehme [mm]x^2[/mm] (ausführlich):
[mm]II-3I: 3x^2-75x-25y - 3(x^2-10x-10y) = 0-3(0)[/mm]
[mm] \gdw 3x^2-3x^2-75x+30x-25y+30y=0[/mm]
[mm] \gdw -45x+5y=0[/mm]
von hier an sollte der weitere Rechenweg auch aus meiner ersten Lösung ersichtlich sein.
Wie gesagt, beim selbst (Nach-)Rechnen lernt/versteht man am besten.
Schönen Abend noch,
reava
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Fr 11.01.2008 | | Autor: | betty_b |
Vielen Dank, jetzt habe ich es zumindest nachvollziehen können.
Eine offene Frage ist jetzt, warum es erlaubt ist I mal 3 zu nehmen, um besser
damit rechnen zu können.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Sa 12.01.2008 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
wenn du die gleichung mit 3 mal nimmst, verändert sich letztendlich nichts, weil du es ja auf beiden seiten tust.
gute nacht,
#exe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Sa 12.01.2008 | | Autor: | DaReava |
===
Eine offene Frage ist jetzt, warum es erlaubt ist I mal 3 zu nehmen, um besser
damit rechnen zu können.
===
I ist eine Gleichung ([mm]a=b[/mm]).
Anschaulich betrachtet ist eine solche Gleichung nichts anderes, als die Behauptung, dass rechts dasselbe steht wie links. Wenn dem so ist, kann auf beiden Seiten eine beliebige, gleiche Zahl addiert, oder auch beide Seiten mit einer beliebigen, gleichen Zahl multipliziert werden - die Gleichung ist dann immer noch wahr.
(triviales Beispiel: [mm] 3=3 \gdw 3*7=3*7 [/mm])
Was in dem Schritt [mm] II-3I [/mm] gemacht wurde, ist also nichts anderes,
als zuerst Gleichung I auf beiden Seiten mit 3 zu multtiplizieren, und dann jeweils die beiden Seiten voneinander abzuziehen.
(was man ja machen darf, da sie identisch sind --> "="=
Das war jetzt ein Versuch das alles anschaulich zu begründen. Ich hoffe das war verständlich -
und wenn nicht sofort, ist das auch nicht so schlimm, in der Mathematik geht das Lernen/Verstehen nicht immer mit Gewalt (meine Erfahrung der letzten Monate)
LG reava
|
|
|
|
