Gleichungssystem lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe das Gleichungssystem
1 1 -2 -1 | 1
-2 1 -5 2 | 4
Ich soll den Nullraum und die Lösungsmenge bestimmen.
Den Nullraum habe ich gefunden:
Z2+2Z1
Z2*1/3
Z1-Z2
1 0 1 -2 | -1
0 1 -3 0 | 2
N(A)=span [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber wie finde ich nun aus dem Gleichungssystem die Lösungsmenge? Ich muss ja dafür in einer Zeile nur ein Mal eine 1 haben, aber das bekomme ich nicht hin.
Habt ihr einen Rat?
|
|
| |
|
Hallo Englein,
> Hallo,
>
> ich habe das Gleichungssystem
> 1 1 -2 -1 | 1
> -2 1 -5 2 | 4
>
> Ich soll den Nullraum und die Lösungsmenge bestimmen.
>
> Den Nullraum habe ich gefunden:
> Z2+2Z1
> Z2*1/3
> Z1-Z2
>
> 1 0 1 -2 | -1
> 0 1 -3 0 | 2
>
> N(A)=span [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] , [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber wie finde ich nun aus dem Gleichungssystem die
> Lösungsmenge? Ich muss ja dafür in einer Zeile nur ein Mal
> eine 1 haben, aber das bekomme ich nicht hin.
>
> Habt ihr einen Rat?
Du hast mit den 2 Gleichungen in 4 Unbekannten 2 freie Variablen.
Setze [mm] $x_4:=t, x_3:=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$ [/mm] und berechne, ausgehend von dem LGS in Stufenform durch Rückwärtseinsetzen [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_1$
[/mm]
Da du die Lösung des homogenen LGS [mm] $\vec{x}_h$ [/mm] schon hast, kannst du eine spezielle/partikuläre Lösung [mm] $\vec{x}_{part}$ [/mm] des inhomogenen LGS berechnen oder erraten.
Das machst du genau wie bei der Berechnung des Nullraumes, nur dass du die rechte Seite "mitschleppst"
Die Lösungsgesamtheit setzt sich zusammen als Summe der partikulären Lösung und der allg. Lösung des hoogenen Problems, also [mm] $\mathbb{L}=\vec{x}_{part}+\underbrace{\mathbb{L}_{hom}}_{\text{dein Spann von oben}}$
[/mm]
Die Lösungsgesamtheit bildet hier einen 2dimensionalen UVR des [mm] $\IR^4$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Da habe ich doch noch eine Frage.
Kann ich das Gleichungssystem nicht einfach so lassen, wie es ist und den rechten Vektor (also b) einfach als den Lösungsvektor schreiben? Ich kann ja regulär nichts mehr umformen, ohne wieder Nullen zu eliminieren. Muss ich das Verfahren mit den Beliebigen anwenden?
Und wenn ja, wie mache ich das genau? Erweitere ich die Matrix wieder mit -1 und rechne dann mit den -1 statt als [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] als [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
> Da habe ich doch noch eine Frage.
>
> Kann ich das Gleichungssystem nicht einfach so lassen, wie
> es ist und den rechten Vektor (also b) einfach als den
> Lösungsvektor schreiben? Ich kann ja regulär nichts mehr
> umformen, ohne wieder Nullen zu eliminieren. Muss ich das
> Verfahren mit den Beliebigen anwenden?
Nein, da der Lösungsvektor aus [mm]\IR^{4}[/mm], weil 4 Variablen , ist,
>
> Und wenn ja, wie mache ich das genau? Erweitere ich die
> Matrix wieder mit -1 und rechne dann mit den -1 statt als
> [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] als [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2?[/mm]
Wir haben jetzt 2 Gleichungen:
[mm]x_{1}+x_{3}-x_{4}=-1[/mm]
[mm]x_{2}-3x_{3}=2[/mm]
Dies jetzt nach [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] auflösen und [mm]x_{3}:=s, \ x_{4}:=t[/mm] setzen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Da habe ich doch noch eine Rückfrage.
Ich bin nun nämlich sehr verwirrt.
Bei einer anderen Aufgabe zur Lösung eines Gleichungssystems hatten wir mal folgendes Ergebnis in der Matrix:
1 0 -2 5 2 | 3
0 1 1 -2 0 | 1
0 0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 | 0
und die haben wir bereits als die Lösung (A,b) benannt und den Lösungsvektor [mm] x_s [/mm] haben wir
3
1
0
0
0
genannt.
Wieso muss ich hier nicht weiterrechnen, aber bei meiner Lösung schon?
Bei dieser Aufgabe jedoch musste ich wieder beliebig setzen:
Es ging um eine lineare Abbildung, bei der ich den Kern ebstimmen sollte.
Hier hatte ich:
1 2 -1
0 1 1
1 1 -2
dann
1 2 -1 | 0 [mm] \gdw x_3=x_1+2x_2
[/mm]
0 1 1 | 0 [mm] \Rightarrow x_1+3x_2=0
[/mm]
1 1 -2 | 0 [mm] \Rightarrow x_1+x_2-2(x_1+2x_2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] -3x_2 [/mm] und [mm] 3x_2-3x_2=0 \gdw [/mm] 0=0
also
0=0
[mm] x_1=-3x_2
[/mm]
[mm] x_3=-x_2
[/mm]
und
[mm] x_1=-3x_2
[/mm]
[mm] x_3=-x_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] unendlich viele Lösungen
Da ich noch die Dimension des Kerns bestimmen soll, war die Lösung daraufhin:
[mm] x_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] und die Dimension ist 1 - warum? Die Dimension habe ich immer so bestimmt, dass ich die Spalten-Rang gerechnet habe.
Und eine dritte Variante (und damit höre ich auch auf, aber diese 3 Aufgaben - inklusive der im ersten Post gestellten Aufgabe - müssten doch eine einheitliche Lösungsweise darstellen, ich sehe aber nur 3 verschiedene):
Da habe ich einmal 0=0 und für 3 Variablen nur noch 2 Zeilen, deshalb habe ich die dritte Unbekannte gleich C gesetzt und damit weitergerechnet (eigentlich ja so, wie man mir auch hier bei der ursprünglichen Aufgabe geraten hat, aber die Aufgaben von eben (s.o.) wurden m.M. nach ganz anders gelöst.
-> Wann setze ich beliebig?
-> Wann darf ich aufhören mit den Gauß Umformungen? Oder besser gesagt: Wann bin ich an dem Punkt angelangt, an dem ich die [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] eindeutig bestimmen kann und vor allem den Lösungsvektor b bei der Form Ax=b?
Ich hoffe es ist nicht zu lang geworden, aber das sind noch Fragen die mich einfach brennend interessieren!
Lieben Dank für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
> Da habe ich doch noch eine Rückfrage.
>
> Ich bin nun nämlich sehr verwirrt.
>
> Bei einer anderen Aufgabe zur Lösung eines
> Gleichungssystems hatten wir mal folgendes Ergebnis in der
> Matrix:
>
> 1 0 -2 5 2 | 3
> 0 1 1 -2 0 | 1
> 0 0 0 0 0 | 0
> 0 0 0 0 0 | 0
> 0 0 0 0 0 | 0
>
>
> und die haben wir bereits als die Lösung (A,b) benannt und
> den Lösungsvektor [mm]x_s[/mm] haben wir
>
> 3
> 1
> 0
> 0
> 0
>
> genannt.
>
> Wieso muss ich hier nicht weiterrechnen, aber bei meiner
> Lösung schon?
Wenn Du nur die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems angegeben mußt,
dann kannst Du an dieser Stelle aufhören.
Wenn Du allerdings die allgemeine Lösung angeben mußt, dann mußt Du weiterrechnen.
Wie schachuzipus schon erwähnt hatte, setzt sich die Lösung eines LGS zusammen,
aus der Lösung es homogenen LGS Ax=0 und der Lösung des inhomogenen LGS Ax=b, [mm]b\not=0[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe jedoch musste ich wieder beliebig
> setzen:
>
> Es ging um eine lineare Abbildung, bei der ich den Kern
> ebstimmen sollte.
>
> Hier hatte ich:
>
> 1 2 -1
> 0 1 1
> 1 1 -2
>
> dann
>
> 1 2 -1 | 0 [mm]\gdw x_3=x_1+2x_2[/mm]
> 0 1 1 | 0 [mm]\Rightarrow x_1+3x_2=0[/mm]
>
> 1 1 -2 | 0 [mm]\Rightarrow x_1+x_2-2(x_1+2x_2)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1[/mm] = [mm]-3x_2[/mm] und [mm]3x_2-3x_2=0 \gdw[/mm] 0=0
>
> also
>
> 0=0
> [mm]x_1=-3x_2[/mm]
> [mm]x_3=-x_2[/mm]
>
> und
>
> [mm]x_1=-3x_2[/mm]
> [mm]x_3=-x_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] unendlich viele Lösungen
>
> Da ich noch die Dimension des Kerns bestimmen soll, war die
> Lösung daraufhin:
>
> [mm]x_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] und die
> Dimension ist 1 - warum? Die Dimension habe ich immer so
Bei Anwendung des Gauß-Algorithmus erhältst Du eine Nullzeile.
Das heißt hier, eine Variable ist frei wählbar,
daher auch die Dimension 1.
> bestimmt, dass ich die Spalten-Rang gerechnet habe.
>
> Und eine dritte Variante (und damit höre ich auch auf, aber
> diese 3 Aufgaben - inklusive der im ersten Post gestellten
> Aufgabe - müssten doch eine einheitliche Lösungsweise
> darstellen, ich sehe aber nur 3 verschiedene):
>
> Da habe ich einmal 0=0 und für 3 Variablen nur noch 2
> Zeilen, deshalb habe ich die dritte Unbekannte gleich C
> gesetzt und damit weitergerechnet (eigentlich ja so, wie
> man mir auch hier bei der ursprünglichen Aufgabe geraten
> hat, aber die Aufgaben von eben (s.o.) wurden m.M. nach
> ganz anders gelöst.
>
> -> Wann setze ich beliebig?
Wenn nach Anwendung des Gauß-Algorithmus Nullzeilen auftreten,
dann kannst Du die entsprechenden Variablen auf beliebig setzen.
> -> Wann darf ich aufhören mit den Gauß Umformungen? Oder
> besser gesagt: Wann bin ich an dem Punkt angelangt, an dem
> ich die [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_n[/mm] eindeutig bestimmen kann und vor allem
> den Lösungsvektor b bei der Form Ax=b?
Mit den Gauß-Umformumgen kann aufgehört werden, wenn
a) eine obere Dreiecksmatrix entstanden ist,
d.h. unterhalb der Diagonalen befinden sich nur Einträge mit Nullen.
oder
b) wenn nach dem letzten Eliminationschritt nur noch Nullzeilen vorhanden sind.
>
> Ich hoffe es ist nicht zu lang geworden, aber das sind noch
> Fragen die mich einfach brennend interessieren!
>
> Lieben Dank für eure Hilfe!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Okay, danke.
Aber: Wieso musste ich dann bei der Aufgabe, die im am Anfang gestellt habe noch weiterrechnen?
In der Aufgabenstellung steht immer nur Lösen sie das gleichungssystem, da wird nie zwischen homogen und inhomogen unterschieden.
|
|
|
| |
|
> Okay, danke.
>
> Aber: Wieso musste ich dann bei der Aufgabe, die im am
> Anfang gestellt habe noch weiterrechnen?
>
> In der Aufgabenstellung steht immer nur Lösen sie das
> gleichungssystem, da wird nie zwischen homogen und
> inhomogen unterschieden.
Hallo,
die Sache ist doch einfach:
wenn da ein homogenes System abgedruckt ist, von welchem man die Lösung bestimmen soll, ist die Lösungsmenge eines homogenen Systems zu bestimmen, und
wenn da ein inhomogenes System abgedruckt ist, von welchem man die Lösung bestimmen soll, ist die Lösungsmenge eines inhomogenen Systems zu bestimmen.
Für die Lösung eines inhomogenen Systems ist aber die Lösung des homogen vonnöten.
In Deiner Aufgabe war ein inhomogenes System abgedruckt, von welchem Du zunächst den Nullraum - also die Lösungsmenge des homogenen Systems - berechnen solltest.
Und zwar solltest Du das nicht aus Jux und Tollerei tun, sondern weil die Lösungsmenge des homogenen Systems einwichtiger Bestandteil der Lösungsmenge des inhomogenen Systems ist.
Weitermachen müßtest Du nun mit der berechnung einer einzigen Lösung des inhomogenen Systems.
Deine ZSF war
1 0 1 -2 | -1
0 1 -3 0 | 2 ,
und Du mußt nun einen einzigen Vektor [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] erraten oder errechnen, der das löst, z.B. [mm] \vektor{0\\5\\1\\1}, [/mm] aber auch [mm] \vektor{-1\\2\\0\\0} [/mm] ist eine schöne Lösung.
Die Lösungsmenge des inhomogenen Systems ist dann
eine spezielle Löung + der Nullraum.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Das macht Sinn.
Aber demnach muss ich ja bei der Lösung des inhomogenen Systems immer so lange rechnen, bis ich nur noch die Einheitsmatrix stehen habe bzw. keine weiteren Nullen mehr erzeugen kann, oder?
Das würde dann doch aber dem Beispiel hier widersprechen:
Bei einer anderen Aufgabe zur Lösung eines Gleichungssystems hatten wir mal folgendes Ergebnis in der Matrix:
1 0 -2 5 2 | 3
0 1 1 -2 0 | 1
0 0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 0 | 0
und die haben wir bereits als die Lösung (A,b) benannt und den Lösungsvektor haben wir
3
1
0
0
0
genannt.
Wieso muss ich hier in den Spalten 3-5 noch weiter umformen und nehme dann den rechten Vektor sofort als Lösung?
Genau wie hier: Auch ein inhomogenes Gleichungssystem
1 0 -2 -1 | -1
0 1 -1 1 | 1
0 0 0 0 | 0
Nullraum ist ja dann wieder Spalte 3 und 4, da ich 4 Variablen habe muss ich mit -1 ergänzen, bis ich 4 Zeilen habe.
Und l(A,b) ist laut Lösung
-1
1 + N(A)
0
0
Wieso muss ich hier nicht mehr weiterrechnen?
|
|
|
| |
|
> Das macht Sinn.
>
> Aber demnach muss ich ja bei der Lösung des inhomogenen
> Systems immer so lange rechnen, bis ich nur noch die
> Einheitsmatrix stehen habe bzw. keine weiteren Nullen mehr
> erzeugen kann, oder?
Hallo,
falls Du und ich dasselbe darunter verstehen, kann man das so sagen.
Die Matrizen, die Du unten stehen hast, sind beides Endmatrizen der Bemühungen.
>
> Das würde dann doch aber dem Beispiel hier widersprechen:
>
> Bei einer anderen Aufgabe zur Lösung eines
> Gleichungssystems hatten wir mal folgendes Ergebnis in der
> Matrix:
>
> 1 0 -2 5 2 | 3
> 0 1 1 -2 0 | 1
> 0 0 0 0 0 | 0
> 0 0 0 0 0 | 0
> 0 0 0 0 0 | 0
>
>
> und die
Was meinst Du mit "die"?
Ihr werdet auch hier den Nullraum bestimmt haben.
> haben wir bereits als die Lösung (A,b) benannt und
> den Lösungsvektor haben wir
>
> 3
> 1
> 0
> 0
> 0
>
> genannt.
"Genannt" stimmt ja nicht. Ihr habt ausgerechnet (durch schnelles Hinschauen), daß das ein Lösungsvektor ist.
Mach Dich bitte endlich mit dem Formeleditor vertraut, wenn Du den Quelltext meines Textes anschaust, siehst Du, wie Vektoren eingetippt werden: [mm] \vektor{3\\1\\0\\0\\0}.
[/mm]
>
> Wieso muss ich hier in den Spalten 3-5 noch weiter umformen
> und nehme dann den rechten Vektor sofort als Lösung?
[mm] \vektor{3\\1\\0\\0\\0} [/mm] ist eine Lösung des inhomogenen Systems, und wenn Du dazu noch den Nullraum addierst, hast Du die Gesamtheit der Lösungen des inhomogenen Systems.
> Genau wie hier: Auch ein inhomogenes Gleichungssystem
>
> 1 0 -2 -1 | -1
> 0 1 -1 1 | 1
> 0 0 0 0 | 0
>
> Nullraum ist ja dann wieder Spalte 3 und 4, da ich 4
> Variablen habe muss ich mit -1 ergänzen, bis ich 4 Zeilen
> habe.
>
> Und l(A,b) ist laut Lösung
>
> -1
> 1 + N(A)
> 0
> 0
>
> Wieso muss ich hier nicht mehr weiterrechnen?
Weil Du fertig bist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Moment, da muss ich nochmal nachhaken, das hab ich so ja nie bewusst gemacht.
Wenn ich den Nullraum zu meiner Lösung hinzuaddiere, dann muss ich mein Gleichungssystem gar nicht in die Form einer Einheitsmatrix bringen?
Dann kann ich also aufhören, sobald ich meinen Nullraum bestimmen kann und nehme den Vektor b als Lösungsvektor?
Und wenn es keinen Kern gibt, also neben der Einheitsmatrix nichts stehen bleibt, der Nullraum also der Nullvektor ist, dann ist aber nur der Vektor b mein Lösungsvektor, wenn ich auch wirklich eine Einheitsmatrix erzeugt habe?
|
|
|
| |
|
> Moment, da muss ich nochmal nachhaken, das hab ich so ja
> nie bewusst gemacht.
>
> Wenn ich den Nullraum zu meiner Lösung hinzuaddiere, dann
> muss ich mein Gleichungssystem gar nicht in die Form einer
> Einheitsmatrix bringen?
Du kannst doch gar nicht jesdes GS in die Form einer Einheitsmatrix bringen. Deine Beispiele von zuvor waren doch auch so gemacht.
> Dann kann ich also aufhören, sobald ich meinen Nullraum
> bestimmen kann und nehme den Vektor b als Lösungsvektor?
Wenn Du mit Vektor b dsa meinst, was ich auch meine, dann geht das so.
> Und wenn es keinen Kern gibt, also neben der Einheitsmatrix
> nichts stehen bleibt, der Nullraum also der Nullvektor ist,
> dann ist aber nur der Vektor b mein Lösungsvektor, wenn ich
> auch wirklich eine Einheitsmatrix erzeugt habe?
Richtig, da hast Du dann den Fall, daß das inhomogene System eine eindeutige Lösung hat.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
