Gleichungssystem lösen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 13.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Gleichungssystem
[mm] x_{1}+ 2x_{2}- x_{3}+ 2x_{4}=0
[/mm]
[mm] 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+6x_{4}=-3
[/mm]
[mm] x_{1}+ x_{4}=-1 [/mm] |
Hallo zusammen,
hab eine kurze frage zur Aufgabe bzw. zur Lösung.
Soll die Aufgabe mit dem Gauß-Algorithmus lösen...
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 2 |0 \\ 2 & 3 & 1 & 6|3 \\ 1 & 0 & 0 & 1|-1 }
[/mm]
mittels verschiedener Umformungen kommt am Ende folgende Matrix raus
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 |-1 \\ 0 & 1 & 0 & 1|0 \\ 0 & 0 & 1 & 1|1 }
[/mm]
heraus.
Jetzt steht hier in meiner Lösung, dass das Gleichungssystem lösbar ist und der Lösungsraum wäre von A'x=0
[mm] <\vektor{-1 \\ -1 \\ -1 \\ 1}> [/mm] (wie kommt man hierauf? was wurde hier gerechnet?) und eine spezielle Lösung von A'x= b ist [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] ( und wie kommt man hierauf?)
wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte!
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 13.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Ax=0 hast du ja rechts nur 0 stehen.
dann von unten her:
x3+x4=0 eines von beiden frei wählbar, setze x4=t dann x3=-t
vorletzte Gl; x2+x4=0 folgt x2=-t
erste Gl: x1+x4=0 folgt x1=-t
also alle Lösungen zusammen [mm] (-t,-t,-t,t)^T=t*(-1,-1,-1,1)^T
[/mm]
jetzt eine Lösung der inhomogenen: wieder:
letzte Gl. x3+x4=1 wähle x4=0 folgt x3=-1
vorletzte: x2+x4=0 x2+0=0 x2=0
letzte x1+x4=-1 x1=-1
zusammen: eine Lösung: (-1,0,-1,0)
eine andere spezielle Lösung hättest du z. Bsp auch mit x4=1 finden können! oder mit x4=17, aber das war die bequemste.
Gruss leduart
|
|
|
|
