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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 17.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungsmenge des homogenen Systems
x-3y+w=a
-4y+2z+w=b
2x+2y+4z+5w=c |
Hallo,
wollte die Aufgabe mal als Klausurvorbereitung lösen und wollte mal nachfragen ob ich das richtig gemacht hab:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 & 1 |0 \\ 0 & -4 & 2 & 1 |0 \\ 2 & 2 & 4 & 5 |0 }
[/mm]
so und jetzt hab ich durch ein paar Umformungen folgende Matrix,
wobei mir schon klar ist, dass man jetzt nicht so gut nachvollziehen kann was ich gerechnet hab
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{19}{16} |0 \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{5}{8} |0 \\ & 0 & 1 & \bruch{1}{16} |0 }
[/mm]
nur jetzt tu ich mich immer bisschen schwer!
hab mir gedacht, dass ich das "w" frei wählen kann, da in den ersten 3 spalten die einheitsmatrix steht
hab w=t gesetzt
die dritte spalte liefert:
z+t=0
z=-t
zweite spalte:
y+t=0
y=-t
erste spalte:
x+t=0
x=-t
also ist die Lösungsmenge
[mm] (-t,-t,-t,t)^T=t\cdot{}(-1,-1,-1,1)^T
[/mm]
danke schonmal ;)
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> Berechnen Sie die Lösungsmenge des homogenen Systems
>
> x-3y+w=a
> -4y+2z+w=b
> 2x+2y+4z+5w=c
> Hallo,
>
> wollte die Aufgabe mal als Klausurvorbereitung lösen und
> wollte mal nachfragen ob ich das richtig gemacht hab:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 0 & 1 |0 \\ 0 & -4 & 2 & 1 |0 \\ 2 & 2 & 4 & 5 |0 }[/mm]
>
> so und jetzt hab ich durch ein paar Umformungen folgende
> Matrix,
> wobei mir schon klar ist, dass man jetzt nicht so gut
> nachvollziehen kann was ich gerechnet hab
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{19}{16} |0 \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{5}{8} |0 \\ & 0 & 1 & \bruch{1}{16} |0 }[/mm]
>
> nur jetzt tu ich mich immer bisschen schwer!
> hab mir gedacht, dass ich das "w" frei wählen kann, da in
> den ersten 3 spalten die einheitsmatrix steht
Hallo,
ja. Du hast die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in Spalte 1,2,3, kannst also die 4.Variable frei wählen, also
> hab w=t gesetzt
Genau.
> die dritte spalte liefert:
Nein, die Spalten liefern nix.
Die dritte Zeile liefert [mm] z+\bruch{1}{16}w=0, [/mm] also
[mm] z=-\bruch{1}{16}t,
[/mm]
die zweite Zeile
[mm] y=-\bruch{5}{8}t,
[/mm]
die erste
[mm] x=-\bruch{19}{16}t.
[/mm]
Damit haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z\\w}=t*\vektor{\bruch{19}{16}\\ ...\\...\\...},
[/mm]
und dieser Vektor ist eine basis des Lösungsraumes des homogenen Systems.
Gruß v. Angela
> z+t=0
> z=-t
> zweite spalte:
> y+t=0
> y=-t
> erste spalte:
> x+t=0
> x=-t
>
> also ist die Lösungsmenge
> [mm](-t,-t,-t,t)^T=t\cdot{}(-1,-1,-1,1)^T[/mm]
>
> danke schonmal ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungsmenge des Systems für den Fall a=1, b=2 und c=4
x-3y+w=a
-4y+2z+w=b
2x+2y+4z+5w=c |
so das hab ich auch mal versucht...
hab zuerst die Matrix dazu aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 & 1 |1 \\ 0 & -4 & 2 & 1 |2 \\ 2 & 2 & 4 & 5 |4 }
[/mm]
dann wieder umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{13}{16} |\bruch{11}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{5}{8} |\bruch{6}{8} \\ & 0 & 1 & \bruch{1}{16} |\bruch{-2}{16} }
[/mm]
bekomme dann diese Matrix heraus...
die homogene Lösung ist ja die gleiche wie grade...
und bei der inhomogenen bin ich mir nicht so sicher ... hab folgendes gemacht:
setze w=0
daraus folgt:
z+ [mm] \bruch{1}{16}w= \bruch{-2}{16}
[/mm]
[mm] z=\bruch{-2}{16}
[/mm]
y + [mm] \bruch{5}{8}w= \bruch{6}{8}
[/mm]
y= [mm] \bruch{6}{8}
[/mm]
x + [mm] \bruch{13}{16} [/mm] = [mm] \bruch{11}{8}
[/mm]
x= [mm] \bruch{11}{8}
[/mm]
und daraus folgt:
[mm] \vektor{\bruch{-19}{16} \\ \bruch{-5}{8} \\ \bruch{-1}{16} \\ 1} [/mm] + < [mm] \vektor{\bruch{11}{8} \\ \bruch{6}{8} \\ \bruch{-2}{16} \\ 0}>
[/mm]
kann man das so machen?
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> Berechnen Sie die Lösungsmenge des Systems für den Fall
> a=1, b=2 und c=4
>
> x-3y+w=a
> -4y+2z+w=b
> 2x+2y+4z+5w=c
> so das hab ich auch mal versucht...
>
> hab zuerst die Matrix dazu aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 0 & 1 |1 \\ 0 & -4 & 2 & 1 |2 \\ 2 & 2 & 4 & 5 |4 }[/mm]
>
> dann wieder umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{\red{19}}{16} |\bruch{11}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{5}{8} |\bruch{6}{8} \\ & 0 & 1 & \bruch{1}{16} |\bruch{-2}{16} }[/mm]
>
> bekomme dann diese Matrix heraus...
> die homogene Lösung ist ja die gleiche wie grade...
> und bei der inhomogenen bin ich mir nicht so sicher ...
> hab folgendes gemacht:
>
> setze w=0
> daraus folgt:
>
> z+ [mm]\bruch{1}{16}w= \bruch{-2}{16}[/mm]
> [mm]z=\bruch{-2}{16}[/mm]
>
> y + [mm]\bruch{5}{8}w= \bruch{6}{8}[/mm]
> y= [mm]\bruch{6}{8}[/mm]
>
> x + [mm]\bruch{13}{16}[/mm] = [mm]\bruch{11}{8}[/mm]
> x= [mm]\bruch{11}{8}[/mm]
Hallo,
bis hierhin ganz nett.
Jetzt machst Du einen Dreher: das, was Du eben ausgerechnet hast, ist eine spezielle Lösung, und diese kommt nicht in die spitzen Klammern. In die spitzen Klammern kommt die Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems
>
> und daraus folgt:
>
> [mm]\vektor{\bruch{-19}{16} \\ \bruch{-5}{8} \\ \bruch{-1}{16} \\ 1}[/mm]
> + < [mm]\vektor{\bruch{11}{8} \\ \bruch{6}{8} \\ \bruch{-2}{16} \\ 0}>[/mm]
>
> kann man das so machen?
Du kannst übrigens aus der reduzierten (!!!) ZSF (also führende zeilenelemente =1 und über und unter ihnen nur Nullen) sehr leicht die Lösung des inhomogenen LGS ablesen, ich mache Dir das mal an einem beispiel vor.
Nehmen wir an, die ZSF ist
[mm] \pmat {1&2&0&3&&|4\\0&0&1&5&&|6\\0&0&0&0&&|0}.
[/mm]
Die Nullzeiel kommt weg, und man schiebt Hilszeilen so ein, daß die freien Diagonalplätze mit einer -1 belegt werden. ("-1-Trick"):
[mm] \pmat {1&2&0&3&&|4\\\green{0}&\green{-1}&\green{0}&\green{0}&&|\green{0}\\0&0&1&5&&|6\\\green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{-1}&&|\green{0}}.
[/mm]
Die letzte Spalte ist eine spezielle Lösung, und die beiden -1-Spalten spannen den Lösungsraum des homogenen Systems auf, also
[mm] L=\vektor{4\\0\\6\\0}+ <\vektor{2\\-1\\0\\0}, \vektor{3\\5\\-1\\0}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 17.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungsmenge des Systems für den Fall a=1, b=2 und c=4
x-3y+w=a
-4y+2z+w=b
2x+2y+4z+5w=c
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Hallo zusammen,
wollte die Aufgabe mal zur übung machen
und wollte jetzt mal nachfrageb ob das so richtig is
hab zuerst die Matrix dazu aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 & 1 |1 \\ 0 & -4 & 2 & 1 |2 \\ 2 & 2 & 4 & 5 |4 }
[/mm]
dann umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{13}{16} |\bruch{11}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{5}{8} |\bruch{6}{8} \\ & 0 & 1 & \bruch{1}{16} |\bruch{-2}{16} }
[/mm]
bekomme dann diese Matrix heraus...
die homogene Lösung ist :
hab das w frei gewählt also w=t
und bekomme
[mm] z=-\bruch{1}{16}t
[/mm]
[mm] y=-\bruch{5}{8}t
[/mm]
[mm] x=-\bruch{19}{16}t
[/mm]
also:
[mm] \vektor{\bruch{-19}{16} \\ \bruch{-5}{8} \\ \bruch{-1}{16} \\ 1} [/mm]
und bei der inhomogenen bin ich mir nicht so sicher ... hab folgendes gemacht:
setze w=0
daraus folgt:
z= bruch{-2}{16}
y= [mm] \bruch{6}{8} [/mm]
x= [mm] \bruch{11}{8}
[/mm]
und daraus folgt:
[mm] \vektor{\bruch{11}{8} \\ \bruch{6}{8} \\ \bruch{-2}{16} \\ 0}
[/mm]
also wäre meine lösung
[mm] \vektor{\bruch{-19}{16} \\ \bruch{-5}{8} \\ \bruch{-1}{16} \\ 1} [/mm] + < [mm] \vektor{\bruch{11}{8} \\ \bruch{6}{8} \\ \bruch{-2}{16} \\ 0}> [/mm]
is das so richtig?
danke schonmal
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Ich glaub, ich habe diese Aufgabe heute schon einmal hier im Forum gesehen?!>
Berechnen Sie die Lösungsmenge des Systems für den Fall
> a=1, b=2 und c=4
>
> x-3y+w=a
> -4y+2z+w=b
> 2x+2y+4z+5w=c
>
> Hallo zusammen,
>
> wollte die Aufgabe mal zur übung machen
> und wollte jetzt mal nachfrageb ob das so richtig is
>
> hab zuerst die Matrix dazu aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 0 & 1 |1 \\ 0 & -4 & 2 & 1 |2 \\ 2 & 2 & 4 & 5 |4 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{13}{16} |\bruch{11}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \bruch{5}{8} |\bruch{6}{8} \\ & 0 & 1 & \bruch{1}{16} |\bruch{-2}{16} }[/mm]
>
> bekomme dann diese Matrix heraus...
??
Erst einmal habe ich mir einen Knoten im Gehirn gemacht, da du mit deinen Koeffizienten Lotto spielst. Bitte schreibe die Matrix so auf, dass die Variablen alphabetisch geordnet sind. Nun gut.
Wenn ich deine obige Matrix umforme, komme ich aber auf:
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 & \bruch{19}{16} & \bruch{5}{8} \\ 0&1&0&\bruch{1}{16} & \bruch{-1}{8}\\
0&0&1 & \bruch{5}{8} & \bruch{3}{4} }
[/mm]
Und wenn man nach dem Alphabet geht (w,x,y,z)
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 & \bruch{8}{5} & \bruch{6}{5} \\ 0&1&0&\bruch{-19}{10} & \bruch{-4}{5}\\
0&0&1 & \bruch{-1}{10} & \bruch{-1}{5} }
[/mm]
Ich war auch so frei, es mit Maple nachrechnen zu lassen und liege hinsichtlich des Ergebnisses mit Maple auf einer Wellenlänge.
> die homogene Lösung ist :
> hab das w frei gewählt also w=t
>
> und bekomme
> [mm]z=-\bruch{1}{16}t[/mm]
> [mm]y=-\bruch{5}{8}t[/mm]
> [mm]x=-\bruch{19}{16}t[/mm]
> also:
>
> [mm]\vektor{\bruch{-19}{16} \\ \bruch{-5}{8} \\ \bruch{-1}{16} \\ 1}[/mm]
>
> und bei der inhomogenen bin ich mir nicht so sicher ... hab
> folgendes gemacht:
>
> setze w=0
> daraus folgt:
>
> z= bruch{-2}{16}
>
> y= [mm]\bruch{6}{8}[/mm]
>
> x= [mm]\bruch{11}{8}[/mm]
>
> und daraus folgt:
>
> [mm]\vektor{\bruch{11}{8} \\ \bruch{6}{8} \\ \bruch{-2}{16} \\ 0}[/mm]
>
> also wäre meine lösung
> [mm]\vektor{\bruch{-19}{16} \\ \bruch{-5}{8} \\ \bruch{-1}{16} \\ 1}[/mm]
> + < [mm]\vektor{\bruch{11}{8} \\ \bruch{6}{8} \\ \bruch{-2}{16} \\ 0}>[/mm]
>
> is das so richtig?
> danke schonmal
Also bei mir und deiner Schreibweise kommt:
w = [mm] \bruch{-19}{16}t [/mm] + [mm] \bruch{5}{8}
[/mm]
x = [mm] \bruch{-1}{16}t -\bruch{1}{8}
[/mm]
y = [mm] \bruch{-5}{8}t [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
z = t
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Hallo,
bitte keine Doppelposts, s. a. Forenregeln. (Ich habe die beiden Threads hier zusammengeführt.)
Alle Helfer helfen freiwillig und gerne - deshalb muß man aber trotzdem nicht bewußt ihre Zeit verschwenden...
Gruß v. Angela
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