Gleichungssystem mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 06.05.2009 | | Autor: | poperina |
| Aufgabe | Gegeben sei das von den Parametern r, s, t [mm] \in \IR [/mm] abhängige lineare Gleichungssystem.
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] = 4
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] rx_{3} [/mm] = 1
[mm] sx_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] tx_{4} [/mm] = 1
a) Für welche Parameter ist die Lösungsmenge des Systems eindimensional?
b) Für welche Wahl der Parameter ist die Lösungsmende des Systems zweidimensional? Man löse das System für diese Wahl der Parameter. |
Habe das Gleichungssystem nach Zeilenstufenform aufgelöst und wollte dann nach den verschiedenen x auflösen. Dabei habe ich [mm] x_{4} [/mm] als freie Variable gewählt.
Es entstand aber für [mm] x_{3} [/mm] eine komplizierte Lösung, mit der ich nicht weiter rechnen kann.
Kann mir jemand helfen?
Muss nur die x richtig lösen, Dimensionen kann ich dann wieder selbst ausrechen!
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei das von den Parametern r, s, t [mm]\in \IR[/mm]
> abhängige lineare Gleichungssystem.
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] = 4
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]rx_{3}[/mm] = 1
> [mm]sx_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]tx_{4}[/mm] = 1
>
>
> a) Für welche Parameter ist die Lösungsmenge des Systems
> eindimensional?
> b) Für welche Wahl der Parameter ist die Lösungsmende des
> Systems zweidimensional? Man löse das System für diese Wahl
> der Parameter.
> Habe das Gleichungssystem nach Zeilenstufenform aufgelöst
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform zu bringen, sit schonmal ein guter Weg.
Aufpassen beim Umformen in ZSF muß man, daß man nicht versehentlich durch Null dividiert.
Würde man z:b: oben eine Zeile durch s dividieren, so müßte man notieren "für [mm] s\not=0", [/mm] und dieser fall wär dann später gesondert zu untersuchen.
> und wollte dann nach den verschiedenen x auflösen. Dabei
> habe ich [mm]x_{4}[/mm] als freie Variable gewählt.
>
> Es entstand aber für [mm]x_{3}[/mm] eine komplizierte Lösung, mit
> der ich nicht weiter rechnen kann.
> Kann mir jemand helfen?
Sicher hilft Dir gern jemand weiter, bloß da wir Deinen Lösungsweg und die Lösung gar nicht sehen, können wir ja nicht wissen, ob etwas schiefgelaufen ist, und was es ggf. ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 06.05.2009 | | Autor: | poperina |
| Aufgabe | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] = 4
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] rx_{3} [/mm] = 1
[mm] sx_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] tx_{4} [/mm] = 1 |
Meine ZSF sieht im Ende so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 2 / 4 \\ 0 & -2s & 1 & t-2s / 1-4s \\ 0 & 0 & r & -4 / -7}
[/mm]
Ich habe [mm] x_{4} [/mm] als freie Variable [mm] \lambda [/mm] gewählt und wollte damit dann auflösen.
Dabei kam bei mir aber folgendes Ergebnis raus:
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = ( -7 +4 [mm] \lambda [/mm] ) / r
und bei [mm] x_{2} [/mm] kam ich dann nicht weiter, da war das Ergebnis dann dementsprechend lang ...
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> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{4}[/mm] = 4
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]rx_{3}[/mm] = 1
> [mm]sx_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]tx_{4}[/mm] = 1
> Meine ZSF sieht im Ende so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 2 / 4 \\ 0 & -2s & 1 & t-2s / 1-4s \\ 0 & 0 & r & -4 / -7}[/mm]
>
> Ich habe [mm]x_{4}[/mm] als freie Variable [mm]\lambda[/mm] gewählt und
> wollte damit dann auflösen.
Hallo,
das klappt natürlich nur, wenn [mm] r\not=0 [/mm] ist, denn für r=0 ist [mm] x_4 [/mm] keine freie Variable, sondern äußerst festgelegt.
Du mußt hier wirklich Fallunterscheidungen vornehmen. Auch die Falle r=s=0 und (r=0 und [mm] s\not=0) [/mm] unterscheiden sich.
Für [mm] (r\not=0 [/mm] und s=0) ist Deine ZSF noch nicht fertig, und dieser Fall ist auch interessant.
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Wir behandeln jetzt also den Fall, daß r,s,t alle [mm] \not=0 [/mm] sind, und hierfür setzt Du völlig richtig an.
>
> Dabei kam bei mir aber folgendes Ergebnis raus:
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = ( -7 +4 [mm]\lambda[/mm] ) / r
[mm] =\bruch{-7}{r} [/mm] + [mm] \bruch{4}{r}\lambda
[/mm]
>
> und bei [mm]x_{2}[/mm] kam ich dann nicht weiter, da war das
> Ergebnis dann dementsprechend lang ...
Nerven behalten. Eigentlich ist da nichts Schlimmes:
[mm] x_2 =\bruch{1}{-2s}*[ [/mm] 1-4s - [mm] x_3 [/mm] - [mm] (t-2s)x_4] =\bruch{1}{-2s}*[ [/mm] 1-4s [mm] -(\bruch{-7}{r} [/mm] + [mm] \bruch{4}{r}\lambda) [/mm] - [mm] (t-2s)\lambda] [/mm] = ...
(Klammern auflösen und so sortieren, daß vorne alles ohne [mm] \lambda [/mm] steht und hinten [mm] (...)*\lambda.
[/mm]
Für [mm] x_1 [/mm] dann entsprechend.
Zum Schluß schreibst Du dann alles in einen Vektor:
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{...\\...\\...\\...}+\lambda\\vektor{...\\...\\...\\...}.
[/mm]
Ich habe mir eben nochmal die Aufgabenstellung durchgelesen: demnach brauchst Du das Gleichungssystem für die Fälle, in denen der Rang der Koeffizientenmatrix =3 ist, gar nicht zu lösen - das spart Arbeit. Es ist natürlich nicht schlecht, wenn man es trotzdem Lösen kann.
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