Gleichungssysteme < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Drei verschiedene Geraden können unterschiedlich viele Schnittpunkte miteinander haben. Erstelle für alle Fälle ein Gleichungssystem. |
1. Fall: kein Schnittpunkt --> Geraden müssen parallel liegen, z. B:
y = x, y = x+1, y = x-1
2. Fall: ein Schnittpunkt --> z.B.:
y = x, y = 2x-1, y = 3x-2, Schnittpunkt wäre hier S (1|1)
3. Fall: 2 Schnittpunkte --> zwei Geraden parallel, eine nicht parallel
4. Fall: 3 Schnittpunkte --> keine Gerade parallel (Geraden bilden ein "Dreieck")
Kann man für den 3. und 4. Fall überhaupt ein Gleichungssystem aufstellen?
Es ist zwar richtig, dass sich drei Geraden zweimal oder dreimal schneiden können. Die Lösung des zugehörigen Gleichungssystems kann jedoch nur ein Punkt sein, in dem sich alle drei Geraden schneiden, da alle drei durch die Geradengleichungen dargestellten Beziehungen für x und y gleichzeitig erfüllt sein müssen. Muss ich hier mit weiteren Variablen arbeiten (Gleichungssystem mit 3 und mehr Unbekannten)?
mehr bzw. unendlich viele Schnittpunkte
--> nicht möglich, da Geraden verschieden sein sollen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 14.04.2016 | | Autor: | chrisno |
> Drei verschiedene Geraden können unterschiedlich viele
> Schnittpunkte miteinander haben. Erstelle für alle Fälle
> ein Gleichungssystem.
>
> 1. Fall: kein Schnittpunkt --> Geraden müssen parallel
> liegen, z. B:
> y = x, y = x+1, y = x-1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Fall: ein Schnittpunkt --> z.B.:
> y = x, y = 2x-1, y = 3x-2, Schnittpunkt wäre hier S
> (1|1)
>
> 3. Fall: 2 Schnittpunkte --> zwei Geraden parallel, eine
> nicht parallel
>
> 4. Fall: 3 Schnittpunkte --> keine Gerade parallel (Geraden
> bilden ein "Dreieck")
>
> Kann man für den 3. und 4. Fall überhaupt ein
> Gleichungssystem aufstellen?
> Es ist zwar richtig, dass sich drei Geraden zweimal oder
> dreimal schneiden können. Die Lösung des zugehörigen
> Gleichungssystems kann jedoch nur ein Punkt sein, in dem
> sich alle drei Geraden schneiden, da alle drei durch die
> Geradengleichungen dargestellten Beziehungen für x und y
> gleichzeitig erfüllt sein müssen. Muss ich hier mit
> weiteren Variablen arbeiten (Gleichungssystem mit 3 und
> mehr Unbekannten)?
Es ist immer die Frage nach dem Schnittpunkt zweier Geraden, in allen Fällen 1 bis 4.
Du berechnest die Schnittpunkte von g1 und g2, g2 und g3, g1 und g3. Dann wird geprüft, ob zwei oder alle drei zusammenfallen.
>
> mehr bzw. unendlich viele Schnittpunkte
> --> nicht möglich, da Geraden verschieden sein sollen
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Danke für deine Kontrolle. Auch deine zusätzliche Antwort klingt logisch, aber ich verstehe noch immer nicht, ob und wenn ja, wie ich nun ein Gleichungssystem aufstellen soll.
Kannst du mir das an einem Beispiel zeigen so wie meine Beispiele im 1. und 2. Fall (überbestimmte Gleichungssysteme)? Soll ich jetzt 3 verschiedene Gleichungssysteme aufstellen, oder wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Do 14.04.2016 | | Autor: | chrisno |
Drei Geraden
g1: y = x
g2: y = 2x
g3: y = -x+1
Schnittpunkt g1 mit g2? Gleichungssystem
y = x
y = 2x
Schnittpunkt g2 mit g3? .....
Die Aufgabe fordert, dass ein Gleichungssystem aufgestellt wird.
Das sind tatsächlich die Gleichungen g1, g2 und g3.
Im Fall 4 hat dieses System keine Lösung. Das ist auch richtig so, da es kein Paar x/y gibt, das alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Die Frage die sich mir stellte, war, ob nicht auch noch gezeigt werden soll, dass die Geraden die Bedingung der Aufgabe erfüllen, es also drei Schnittpunkte der drei Geraden gibt, die unterschiedlich sind.
Keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben auch die drei Geraden aus Fall 1. Der Unterschied besteht darin, dass auch jeweils zwei keinen Schnittpunkt haben.
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Ich finde die Aufgabenstellung auch nicht ganz eindeutig und bin jetzt eher noch verwirrt.
Deine Geraden
g1: y = x
g2: y = 2x
g3: y = -x+1
gelten für Fall 3, richtig?
Zwei Geraden parallel, eine nicht parallel.
Für Fall 4 könnte ich, um zu zeigen, dass es drei verschiedene Schnittpunkte der drei Geraden gibt, folgendes Beispiel nehmen:
g1: y = x
g2: y = 2x
g3: y = 3x-1
Beide Systeme führen zu einer leeren Lösungsmenge.
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> Ich finde die Aufgabenstellung auch nicht ganz eindeutig
> und bin jetzt eher noch verwirrt.
>
> Deine Geraden
> g1: y = x
> g2: y = 2x
> g3: y = -x+1
> gelten für Fall 3, richtig?
> Zwei Geraden parallel, eine nicht parallel.
Hallo,
nein,
von diesen drei Geraden sind keine zwei parallel, denn alle drei haben verschiedene Steigungen.
Das LGS
y = x
y = 2x
y = -x+1
hat keine Lösung,
aber die drei linearen Gleichunssysteme
y = x
y = 2x,
y = x
y = -x+1,
y = 2x
y = -x+1
haben jeweils eine Lösung.
Also haben wir hier Deinen Fall 4.
>
> Für Fall 4 könnte ich, um zu zeigen, dass es drei
> verschiedene Schnittpunkte der drei Geraden gibt, folgendes
> Beispiel nehmen:
> g1: y = x
> g2: y = 2x
> g3: y = 3x-1
Ja, das wäre ebenfalls eine Möglichkeit für Fall 4.
LG Angela
>
> Beide Systeme führen zu einer leeren Lösungsmenge.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Fr 15.04.2016 | | Autor: | Chris84 |
> > Ich finde die Aufgabenstellung auch nicht ganz eindeutig
> > und bin jetzt eher noch verwirrt.
> >
> > Deine Geraden
> > g1: y = x
> > g2: y = 2x
> > g3: y = -x+1
> > gelten für Fall 3, richtig?
> > Zwei Geraden parallel, eine nicht parallel.
>
> Hallo,
>
> nein,
> von diesen drei Geraden sind keine zwei parallel, denn
> alle drei haben verschiedene Steigungen.
>
> Das LGS
>
> y = x
> y = 2x
> y = -x+1
>
> hat keine Lösung,
> aber die drei linearen Gleichunssysteme
>
> y = x
> y = 2x,
>
> y = x
> y = -x+1,
>
> y = 2x
> y = -x+1
>
> haben jeweils eine Lösung.
Huhu,
das Problem ist doch aber, dass die Aufgabenstellung verlangt, EIN Gleichungssystem anzugeben....
> Also haben wir hier Deinen Fall 4.
>
>
>
> >
> > Für Fall 4 könnte ich, um zu zeigen, dass es drei
> > verschiedene Schnittpunkte der drei Geraden gibt, folgendes
> > Beispiel nehmen:
> > g1: y = x
> > g2: y = 2x
> > g3: y = 3x-1
>
> Ja, das wäre ebenfalls eine Möglichkeit für Fall 4.
>
> LG Angela
> >
> > Beide Systeme führen zu einer leeren Lösungsmenge.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 15.04.2016 | | Autor: | chrisno |
Ja, das verlangt die Aufgabe. Sie verlangt aber nicht, dass die Schnittpunkte die Lösung des Gleichungssystems sind. Ich hätte auch nicht nach einem System gefragt sondern nach drei Gleichungen. Drei Gleichungnen auf einmal sind ein System, daher ist die Formulierung nicht falsch.
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