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| Aufgabe | fürr welche y [mm] \in \IR^4 [/mm] besitzt das Gleichungssystem
a)
[mm] 2x_1 [/mm] − [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] 4x_1 [/mm] − [mm] 6x_2 [/mm] − [mm] 4x_3 [/mm] = [mm] y_2
[/mm]
[mm] 6x_1 [/mm] − [mm] 9x_2 [/mm] − [mm] 6x_3 [/mm] = [mm] y_3
[/mm]
− [mm] 2x_1 +3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = [mm] y_4
[/mm]
wenigstens eine Lösung x [mm] \in \IR^3. [/mm] Gib ein Gleichungssystem mit möglichst wenigen Gleichungen für die Menge dieser y an.
b)selbe aufgabe mit
[mm] 2x_1 [/mm] − [mm] 3x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] 4x_1 [/mm] − [mm] 6x_2 [/mm] − [mm] 4x_3 [/mm] = [mm] y_2
[/mm]
[mm] 6x_1 [/mm] − [mm] 9x_2 [/mm] − [mm] 6x_3 [/mm] = [mm] y_3
[/mm]
− [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = [mm] y_4 [/mm] |
Gauß-algorithmus
[mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 +2x_3 [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] -8x_3=-2y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
-12 [mm] x_3 [/mm] = [mm] -3y_1 [/mm] + [mm] y_3
[/mm]
[mm] 4x_3 [/mm] = [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_4
[/mm]
wie mache ich weiter?
bin bisschen schockiert^^ weil so viel wegfällt
b) [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] 0=-2y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
[mm] 0=-3y_1 [/mm] + [mm] y_3
[/mm]
[mm] 0=y_1 [/mm] + [mm] y_4
[/mm]
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Hallo theresetom,
> fürr welche y [mm]\in \IR^4[/mm] besitzt das Gleichungssystem
> a)
> [mm]2x_1[/mm] − [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]4x_1[/mm] − [mm]6x_2[/mm] − [mm]4x_3[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> [mm]6x_1[/mm] − [mm]9x_2[/mm] − [mm]6x_3[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> − [mm]2x_1 +3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_4[/mm]
> wenigstens eine Lösung x [mm]\in \IR^3.[/mm] Gib ein
> Gleichungssystem mit möglichst wenigen Gleichungen für
> die Menge dieser y an.
>
> b)selbe aufgabe mit
> [mm]2x_1[/mm] − [mm]3x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]4x_1[/mm] − [mm]6x_2[/mm] − [mm]4x_3[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> [mm]6x_1[/mm] − [mm]9x_2[/mm] − [mm]6x_3[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> − [mm]2x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_4[/mm]
>
> Gauß-algorithmus
>
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]3x_2 +2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]-8x_3=-2y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
> -12 [mm]x_3[/mm] = [mm]-3y_1[/mm] + [mm]y_3[/mm]
> [mm]4x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm] + [mm]y_4[/mm]
>
>
> wie mache ich weiter?
Jetzt kannst Du noch aus 2 der letzten 3 Gleichungen [mm]x_{3}[/mm] eliminieren.
> bin bisschen schockiert^^ weil so viel wegfällt
> b) [mm]2x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]0=-2y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
> [mm]0=-3y_1[/mm] + [mm]y_3[/mm]
> [mm]0=y_1[/mm] + [mm]y_4[/mm]
>
Stimmt aber.
Gruss
MathePower
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> Jetzt kannst Du noch aus 2 der letzten 3 Gleichungen $ [mm] x_{3} [/mm] $ eliminieren.
meinst:
3 Gleichung + 3* 4 Gleichung
0=0+ [mm] y_3 [/mm] - [mm] 3y_4
[/mm]
[mm] 3y_4 [/mm] = [mm] y_3
[/mm]
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Hallo theresetom,
> > Jetzt kannst Du noch aus 2 der letzten 3 Gleichungen [mm]x_{3}[/mm]
> eliminieren.
>
> meinst:
> 3 Gleichung + 3* 4 Gleichung
Ja, das ist eine der Möglichkeiten.
> 0=0+ [mm]y_3[/mm] - [mm]3y_4[/mm]
> [mm]3y_4[/mm] = [mm]y_3[/mm]
Das rechnest Du besser nochmal nach.
Grüße
reverend
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0= [mm] y_3 [/mm] + [mm] 3y_4
[/mm]
so und wie gehts weiter?
LG
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Hallo nochmal,
> 0= [mm]y_3[/mm] + [mm]3y_4[/mm]
> so und wie gehts weiter?
Was soll da weitergehen? Du bist fertig.
Es gehört zu den wichtigsten Fähigkeiten, die man im Studium erwerben muss, das zu erkennen: wann man fertig ist.
Grüße
reverend
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guter satz ;)
angabe war:
für welche y $ [mm] \in \IR^4 [/mm] $ besitzt das Gleichungssystem wenigstens eine lösung x [mm] \in \IR^3
[/mm]
Gib ein Gleichungssystem mit möglichst wenigen Gleichungen für die Menge dieser y an.
a)
> $ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 +2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
> $ [mm] -8x_3=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
0= $ [mm] y_3 [/mm] $ + $ [mm] 3y_4 [/mm] $
b)
$ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 [/mm] $ - $ [mm] 2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
> $ [mm] 0=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
> $ [mm] 0=-3y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_3 [/mm] $
> $ [mm] 0=y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_4 [/mm] $
Was sind nun die antworten auf die Fragen? Ich blicke jetzt nicht ganz durch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob du nun alle gl. richtig aufgelöst hast seh ich nicht.
Frage war, für welche y gibt es eine Lösung.
also sie dir deine y an . in a) etwa:
gibta eine lösung wenn [mm] y3\ne-3y4 [/mm] ist?
gibts bedingungen für y1 und oder y2
unter welcher Bedingung für die y gibts in b) ne Lösung gibts
(Lösung heisst du kannst die x bestimmen)
das kannst du sicher selbst hinschreiben!
Gruss leduart
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a)
[mm] y_1 [/mm] gibts eine Lösung
[mm] y_2 [/mm] gibts auch eine lösung da es für [mm] y_1 [/mm] eine lösung gibt
und für [mm] y_3 [/mm] und [mm] y_4 [/mm] gibts keine lösung
Hab ich das jetzt falsch verstanden? Wenn ja bitte ich um eine ausführlichere erklärung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hat nichts mit der frage zu tun!
die y sind parameter, gefragt ist nach lösungen des GS für die x.
also welche Zahlen kann man für die y einsetzen, so dass dass GS eine lösung hat.
eine antwort könnte sein. Für alle y kann man beliebige zahlen aus [mm] \IR [/mm] einsetzen.
eine andere, y3 kann man beliebig wählen aber dann muss y2 immer 2*y3 sein, alle anderen beliebig.
Aber das sind BEISPIELE es trifft nicht auf dein GS zu.
also du suchst Bedingungen für die parameter y damit das GS für die x mindestens eine Lösung hat. Du musst fragen langsamer lesen und analysieren!
Gruss leduart
Gruss leduart
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irgendwie schaffst du es immer, dass mich deine antworten verwirren!
a)
Na [mm] x_3= [/mm] .. hat man aus der zweiten Gleichung und da kann man für [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] irgendwelche werte hernehmen aus [mm] \IR
[/mm]
In der ersten Gleichung wären noch [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] zu bestimmen -> geht aber nicht, da wir ja zwei variabeln haben
;(
Hat wer einen anderen ansatz?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
natürlich kann man x1 und x2 bestimmen, z.Bsp x1 beliebig, daraus x2 oder x1=1 daraus x2 dann hat man doch eine Lösung. Nirgends ist nach einer einzigen lösung gefragt! Nur danach für welche y es mindestens eine lösung gibt.
die Gleichung x1+x2= 10 hat unendlich viele lösungen, von x1=0 x2=10 bis x1=1000 x2=-10 und viele mehr aber doch nicht keine Lösung?
gruss leduart
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[mm] x_3 [/mm] = [mm] \frac{(2y_1 - y_2)}{8}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = beliebig =r
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{(-4y_1 - 2y_2 + 16 r_1)}{24}
[/mm]
und die letzte gleichung, die habe ich nicht benutzt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 20.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Heißt man kan [mm] y_2 [/mm] beliebig wählen
was ist mit [mm] y_3 [/mm] und [mm] y_4, [/mm] die hab ich gar nicht benutzt??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 20.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast, nach Umformungen, die ich jetzt nicht kontrolliert habe:
$ [mm] 2x_1-3x_2-2x_3=y_1 [/mm] $
$ [mm] 0=-2y_1+y_2 [/mm] $
$ [mm] 0=-3y_1+y_3 [/mm] $
$ [mm] 0=y_1+y_4 [/mm] $
In den letzten drei Gleicungen stehen keine Lösungsvariablen [mm] x_{i} [/mm] ,sondern nur noch [mm] y_{i} [/mm] .
Damit das Gesamtsytem eine Lösung hat, müsste diese Gleichungen aber erfüllt sein.
Somit gelten für die [mm] y_{i} [/mm] folgende drei Bedingungen:
$ [mm] 0=-2y_1+y_2 [/mm] $
$ [mm] 0=-3y_1+y_3 [/mm] $
$ [mm] 0=y_1+y_4 [/mm] $
Nur, wenn alle drei Bedingungen gelten, habe ich drei wahre Aussagen im Gleichungssystem, gilt eine der Gleichungen nicht, habe ich eine falsche Aussage, und das Gleichungssystem ist nicht lösbar.
Wenn nicht explizit nach Lösungen für die [mm] x_{i} [/mm] gefragt ist, bist du sogar schon fertig.
Marius
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das ist jetzt b)
und was ist nun die antwort auf die Frage? für welche y [mm] \in \IR^4 [/mm] besitzt das Glgs-system wenigsten eine Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] y1\in\IR [/mm] also beliebig, die anderen dann aus den Gleichungen für die y, Kannst du jetzt allgemein den vektor y aus [mm] \IR^4 [/mm] hinschreiben, für das das GS Lösungen hat?
wenn nicht allgemein, dann wenigstens den mit y1=1?
Gruss leduart
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Mein problem ist , dass ich nicht verstehe was ich noch machen soll! Soll ich auf y oder x umformen. Was ist noch zu tun>?
$ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 [/mm] $ - $ [mm] 2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
$ [mm] 0=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
$ [mm] 0=-3y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_3 [/mm] $
$ [mm] 0=y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_4 [/mm] $
[mm] \begin{pmatrix} 2&-3&-2&y_1\\0&0&0&-2y_1 +y_2\\0&0&0&-3y_1 + y_2\\0&0&0&y_1+y_4 \end{pmatrix}
[/mm]
oder [mm] y_1 [/mm] =r
2r = [mm] y_2
[/mm]
[mm] 3r=y_3
[/mm]
0= r + (-r)
[mm] y_4 [/mm] = -r
[mm] \begin{pmatrix} 2&-3&-2&r\\0&0&0&-r +2r\\0&0&0&-3r + 2r\\0&0&0&r+(-r)\end{pmatrix}
[/mm]
wolltest du auf das hinaus oder nicht?
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> Mein problem ist , dass ich nicht verstehe was ich noch
> machen soll! Soll ich auf y oder x umformen. Was ist noch
> zu tun>?
>
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]0=-2y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
> [mm]0=-3y_1[/mm] + [mm]y_3[/mm]
> [mm]0=y_1[/mm] + [mm]y_4[/mm]
Hallo,
Du wirst einsehen, daß [mm] y_1, y_2, y_3 y_4 [/mm] so beschaffen sein müssen,
daß die letzten drei Gleichungen stimmen.
Ist z.B. [mm] y=\vektor{1\\2\\3\\4}, [/mm] so wird es nicht gelingen, eine Lösung für dieses Gleichungssystem zu finden.
Es muß der Vektor y also so gemacht sein,
daß
[mm] y_2=2y_1,
[/mm]
[mm] y_3=3y_1
[/mm]
[mm] y_4=-y_1,
[/mm]
also muß y von der Bauart [mm] y=\vektor{y_1\\2y_1\\3y_1\\-y_1}=y_1*\vektor{1\\2\\3\\-1} [/mm] sein.
Wenn dies nicht der Fall ist, hat das GS keine Lösung.
Wenn aber der Vektor y von der passenden Machart ist, dann kann man sich darüber hermachen, die Lösungsvektoren x zu bestimmen.
Ich denke, daß Ihr es noch nicht hattet, ich weise aber trotzdem schonmal darauf hin: ein LGS ist lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Vielleicht erinnerst Du Dich bei Gelegenheit daran.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2&-3&-2&y_1\\
0&0&0&-2y_1 +y_2\\
0&0&0&-3y_1 + y_2\\
0&0&0&y_1+y_4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> oder [mm]y_1[/mm] =r
> 2r = [mm]y_2[/mm]
> [mm]3r=y_3[/mm]
> 0= r + (-r)
> [mm]y_4[/mm] = -r
> [mm]\begin{pmatrix} 2&-3&-2&r\\
0&0&0&-r +2r\\
0&0&0&-3r + 2r\\
0&0&0&r+(-r)\end{pmatrix}[/mm]
>
> wolltest du auf das hinaus oder nicht?
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danke=)
und a)?
y = [mm] \begin{pmatrix} y_1\\-8x_3 +2y_1\\3y_4\\y_3/3\\ \end{pmatrix}
[/mm]
hier kann man aber nicht alles mit [mm] y_1 [/mm] ausdrücken ;(
und wenn bleiben x stehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nachdem du jetzt die b) vielleicht verstanden hast
und für a)
a)
> $ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 +2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
> $ [mm] -8x_3=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
0= $ [mm] y_3 [/mm] $ + $ [mm] 3y_4 [/mm] $
ist das, was du geschrieben hast ziemlich schlimm.
x hat in den y nichts zu suchen!
x3=... heisst doch nur, dass du x3 bestimmen kannst, wenn du die entsprechenden y kennst.
jetzt versuch doch mal wenigstens einen vektor y zu finden (Zahlen) für den das GS lösbar ist.
danach nimm y1=r welche Auswahl hast du dann noch für y2,y3,y4?
kannst du dafür auch noch einen beliebig wählen und das GS ist immer noch lösbar?
und so fährst du fort.
Wenn dus nicht allgemein kannst schreib wenigstens 3 verschiedene Vektoren hin, für die das GS losbar ist.
Gruss leduart
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aber was soll ich mit die x machen?
[mm] y_1 [/mm] bleib als erster teil.
drück ich dann [mm] y_2 [/mm] durch =2 [mm] y_1 [/mm] aus? dann hab ich aber [mm] -8x_3 [/mm] nicht miteinbezogen.
Ich hab jeweils immer noch x.
und [mm] y_3 [/mm] und [mm] y_4 [/mm] sind ja in meiner gleichung von den ersten zwei Glg unabhänig? Also müsste ich ja zu dem vorher zurückkommen:
$ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 +2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
$ [mm] -8x_3=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
-12 $ [mm] x_3 [/mm] $ = $ [mm] -3y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_3 [/mm] $
$ [mm] 4x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_4 [/mm] $
ja ich habe b) verstanden, was aber bedeutend einfacher zu verstehen ist als a)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie hast du auch b nicht verstanden.
> aber was soll ich mit die x machen?
>
du sollst NICHTS mit ihnen machen, was hast du denn in b) mit ihnen gemacht?
hoffentlich nur gesagt, dass man sie bestimmen kann, wenn das y so gegeben ist, wie es angela hingeschrieben hat.
> [mm]y_1[/mm] bleib als erster teil.
was heisst das denn ?
egal wie du y1 wählst, gibt es Lösungen für die Gl.
[mm]2x_1[/mm] - [mm]3x_2 +2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
also kannst du y1 beliebig wählen, nenn es r
ausserdem hattest du noch
> $ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 +2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
> $ [mm] -8x_3=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
Wenn du jetzt y1 schon gewählt hast, wie kannst du [mm] y_2 [/mm] wählen damit die 2. te Gleichung ne Lösung hat?
nächster Schritt:
0= $ [mm] y_3 [/mm] $ + $ [mm] 3y_4 [/mm] $
wenn du [mm] y_3 [/mm] irgendwie wählst hast du dann Lösungen deines GS oder nicht?
wenn du dann [mm] y_3 [/mm] gewählt hast, wie muss dann [mm] y_4 [/mm] aussehen?
Es gibt nur mehr Möglichkeiten für den vektor y als in b9 die Methode ist dieselbe.
Gruss leduart
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[mm] y_1 [/mm] beliebig =r
> Wenn du jetzt y1 schon gewählt hast, wie kannst du $ [mm] y_2 [/mm] $ wählen damit die 2. te Gleichung ne Lösung hat?
$ [mm] -8x_3=-2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
auch beliebig? mich verwirren da die x.
[mm] y_3 [/mm] beliebig
[mm] y_4 [/mm] so wählen dass [mm] y_4 [/mm] = [mm] \frac{y_3}{3}
[/mm]
Ist das irgdnwie die richtige richtung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]y_1[/mm] beliebig =r
>
> > Wenn du jetzt y1 schon gewählt hast, wie kannst du [mm]y_2[/mm]
> wählen damit die 2. te Gleichung ne Lösung hat?
>
> [mm]-8x_3=-2y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
> auch beliebig? mich verwirren da die x.
warum verwirren sie dich und bei y1 nicht?
egal was da für y1 und y2 steht x-3 kann man ausrechnen!
also y2=s
> [mm]y_3[/mm] beliebig
also [mm] y_3=t y_4=...
[/mm]
jetzt schreib alle möglichen losungen hin in der Form r*Vektor1+s*vektor2 +t*vektor3
oder als einen Vektor in dem r,s,t vorkommen! und dazu [mm] r,s,t\in\IR
[/mm]
die erste Form ist besser.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 So 20.11.2011 | | Autor: | theresetom |
ich gebs auf
sry
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Hallo!
> fürr welche y [mm]\in \IR^4[/mm] besitzt das Gleichungssystem
> a)
> [mm]2x_1[/mm] − [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]4x_1[/mm] − [mm]6x_2[/mm] − [mm]4x_3[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> [mm]6x_1[/mm] − [mm]9x_2[/mm] − [mm]6x_3[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> − [mm]2x_1 +3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_4[/mm]
> wenigstens eine Lösung x [mm]\in \IR^3.[/mm] Gib ein
> Gleichungssystem mit möglichst wenigen Gleichungen für
> die Menge dieser y an.
>
> b)selbe aufgabe mit
> [mm]2x_1[/mm] − [mm]3x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]4x_1[/mm] − [mm]6x_2[/mm] − [mm]4x_3[/mm] = [mm]y_2[/mm]
> [mm]6x_1[/mm] − [mm]9x_2[/mm] − [mm]6x_3[/mm] = [mm]y_3[/mm]
> − [mm]2x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_4[/mm]
??? Irgendwie hast Du vergessen zu sagen, was man mit dem Gleichungssystem tun soll.
Ich schließe mal messerscharf: für den Fall, daß es lösbar ist, soll man die Lösungen sagen.
Ich weiß nicht, ob es mir gelingen wird, aber ich will doch noch mal versuchen, etwas Übersicht in die Angelegenheit zu bringen.
Du hast festgestellt, daß obiges GS äquivalent ist zu
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]0=-2y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
> [mm]0=-3y_1[/mm] + [mm]y_3[/mm]
> [mm]0=y_1[/mm] + [mm]y_4[/mm]
Die Frage nach der Lösbarkeit hatten wir bereits besprochen:
Das GS ist nur für die y lösbar, welche so beschaffen sind, daß
> [mm] $0=-2y_1$ [/mm] + [mm] $y_2$
[/mm]
> [mm] $0=-3y_1$ [/mm] + [mm] $y_3$
[/mm]
> [mm] $0=y_1$ [/mm] + [mm] $y_4$
[/mm]
gilt.
Wir hatten festgestellt, daß dies für die y der Bauart
[mm] y:=y_1*\vektor{1\\2\\3\\-1} [/mm] für [mm] y_1\in \IR [/mm] gilt.
Damit ist Aufgabe a) gelöst.
In Aufgabe b) ist nun die Lösung bzw. die Lösungsmenge zu bestimmen.
Sei also das GS lösbar.
Dann ist das y von der oben genannten Bauart, und unser Gleichungssystem wird zu
> [mm] $2x_1$ [/mm] - [mm] $3x_2$ [/mm] - [mm] $2x_3$ [/mm] = [mm] $y_1$
[/mm]
> $0=0$
> $0=0$
> $0=0$
(Ich habe hier die in Aufgabe a) gewonnene Information, daß [mm] y_1 [/mm] beliebig ist und [mm] y_1=2y_1, y_3=3y_3 [/mm] und [mm] y_4=-y_1, [/mm] eingesetzt)
Das [mm] y_1 [/mm] ist jetzt zwar beliebig, aber fest, und wir bestimmen jetzt, für welche x die Gleichung
> [mm] $2x_1$ [/mm] - [mm] $3x_2$ [/mm] - [mm] $2x_3$ [/mm] = [mm] $y_1$
[/mm]
gelöst wird. [mm] y_1 [/mm] behandeln wir, als stünde dort irgendeine feste Zahl.
Die Lösungen x [mm] (=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] müssen so gemacht sein, daß
[mm] x_1=y_1 [/mm] + [mm] 1.5x_2+x_3 [/mm] gilt.
[mm] y_1 [/mm] ist hierbei fest vorgegeben, und die Variablen [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] können wir völlig frei wählen, sofern wir dann [mm] x_1 [/mm] so nehmen, daß
> [mm] $2x_1$ [/mm] - [mm] $3x_2$ [/mm] - [mm] $2x_3$ [/mm] = [mm] $y_1$
[/mm]
gilt.
Damit erhalten wir:
alle Lösungsvektoren x haben die Gestalt
[mm] x=\vektor{y_1+1.5x_2+x_3\\x_2\\x_3}=\vektor{y_1\\0\\0}+x_2*\vektor{1.5\\1\\0}+x_3\vektor{1\\0\\1} [/mm] mit [mm] x_2, x_3 [/mm] beliebig aus [mm] \IR.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du dieser Zusammenfassung folgen kannst.
Gruß v. Angela
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