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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Di 11.01.2005 | | Autor: | arzoo |
Wir sollen diese beide Aufgabe lösen aber ich weiß nicht so genau wie ich das machen soll ,wenn ihr mir das vileicht an einen der beiden Aufgabe zeigen könntet würde ich dan die zweite selber probieren , danke
Bestimmen Sie Lösbarkeit und ggf. Lösungsmenge für folgende reelle lineare Gleichungssysteme!
(a)
[mm] x_1 +2x_2 +3x_3 [/mm] = 1
[mm] 4x_1 +5x_2 +6x_3 [/mm] = 2
[mm] 7x_1 +8x_2 +9x_3 [/mm] = 3
[mm] 5x_1 +7x_2 +9x_3 [/mm] = 4
b)
[mm] x_1 -x_2 +2x_3 -3x_4 [/mm] = 7
[mm] 4x_1 +3x_3 +x_4 [/mm] = 9
[mm] 2x_1 -5x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = - 2
[mm] 3x_1 -x_2 -x_3+2x_4 [/mm] = -2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 11.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber arzoo
am besten beginnst du einfach imt dem bekannten Gauss-Verfahren, bis unten links Nullen auftauchen. Dann siehst du sofort, ob das Gleichungssystem lösbar ist:
> (a)
> [mm]x_1 +2x_2 +3x_3[/mm] = 1
> [mm]4x_1 +5x_2 +6x_3[/mm] = 2
> [mm]7x_1 +8x_2 +9x_3[/mm] = 3
> [mm]5x_1 +7x_2 +9x_3[/mm] = 4
>
Das schteibe ich mal als Matrix und erzeuge mittels elementarer Zeilenumformungen links unten Nullen. Das Gleichheitszeichen trenne ich einfach durch einen vertikalen Strich ab:
[mm] $\pmat{1&2&3&|&1\\4&5&6&|&2\\7&8&9&|&3\\5&7&9&|&4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&2&3&|&1\\0&3&6&|&2\\0&6&12&|&4\\0&3&6&|&1}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&2&3&|&1\\0&3&6&|&2\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&1}$
[/mm]
Vertauschen der 3. und 4. Zeile:
[mm] $\pmat{1&2&3&|&1\\0&3&6&|&2\\0&0&0&|&1\\0&0&0&|&0}$
[/mm]
An der 3. Zeile siehst du jetz sofort, dass es keine Lösung geben kann. Diese Zeile würde als Gleichung ja so aussehen:
[mm] $0*x_1+0*x_2+0*x_3=1$
[/mm]
Dafür findest du garantiert keine Lösung, da würde ich sogar ein Bier wetten! 
So, jetzt bist du dran!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 11.01.2005 | | Autor: | dieda |
Hi, also ich würde das beim zweiten Teil genauso machen, wie mein Vorgänger ;)
1. alle gleichen Variablen untereinander schreiben
[mm] \begin{matrix}
1 & -1 & 2 & -3 & 7\\
4 & 0 & 3 & 1 & 9 \\
2 & -5 & 1 & 0 & -2 \\
3 & -1 & -1 & 2 & -2
\end{matrix} [/mm]
2. dann die erste gleichung zuerst mit (-4) für die zweite, dann mit (-2) für die dritte und zum schluss mit (-3) für die vierte gleichung multiplizieren und addieren. Dann bleibt stehen:
[mm] \begin{matrix}
1 & -1 & 2 & -3 & 7\\
0 & 4 & -5 & 13 & -19 \\
0 & -3 & -3 & 6 & -16 \\
0 & 2 & -7 & 11 & 23
\end{matrix} [/mm]
3. Dann das ganze für die zweite Variable tun und so weiter.... so das zum Schluss übrig bleibt:
[mm] \begin{matrix}
1 & -1 & 2 & -3 & 7\\
0 & 4 & -5 & 13 & -19 \\
0 & 0 & -27 & 63 & -121 \\
0 & 0 & 9 & -9 & -65
\end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix}
1 & -1 & 2 & -3 & 7\\
0 & 4 & -5 & 13 & -19 \\
0 & 0 & -27 & 63 & -121 \\
0 & 0 & 0 & 36 & -316
\end{matrix} [/mm]
4. Somit ergibt sich dann, wenn ich mich nicht verrechnet habe die Werte x1 bis x4.
x1 = -28,5
x2 = -64,57
x3 = -1,37
x4 = -8,78
Also wie gesagt keine Ahnung, ob ich mich irgendwo verrechnet habe, da die Ergebnisse doch ziemlich krumm sind, aber du kannst das ja nochmal nachvollziehen ;)
Grüße,
dieda
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