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Hallo an Alle!!
Ich bin gerade dabei, mich auf eine Klausur vorzubereiten (Analysis II) und bin bei globalen Extrema hängen geblieben.
Also hier ein Beispiel:
Die Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{4} [/mm] hat in (0,0) ein lokales Minimum.
Wie das geht, ist mir klar (Gradient aufschreiben, null setzen, verdächtige Stellen berechnen und Hesse-Matrix auswerten).
Wie untersucht man jetzt aber, ob (0,0) auch ein globales Minimum ist? Gibt es da ein gutes Rezept? Ich hätte jetzt versucht, irgendetwas mit Grenzwerten zu machen, komm da aber nicht so richtig voran.
Danke für jede Hilfe!! Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathmetzsch,
mir ist kein Verfahren bekant, das analytisch automatisch globale Extremwerte finden kann. Bei nichtlinearen Optimierungsproblemen gibt es Methoden, von einem gefundenen Minimum aus in einer bestimmten Richtung, - hier gibt es etliche Philosophien, wie man diese Richtung auswählen kann -, andere Variablen auszusuchen und zu testen, ob der Funktionswert an dieser Stelle eventuell niedriger ist als der des gefundenen Minimums. Ist dies der Fall, kann man mit Hilfe des Gradienten wieder auf die Suche nach einem weiteren Minimum gehen, ob dies aber ein globales ist, weiss man nie genau, es sei denn, man probiert alle Varibalenwerte durch; vorausgesetzt natürlich, dass dies möglich ist.
Bei Deiner Funktion fällt mir nur die Argumentation ein, dass alle Funktionswerte größer als 0 sein müssen für Wertepaare ungleich 0 aufgrund der Potenzen der x und y-Variablen. Insofern ist (0,0) ein Minimum und in diesem Fall ist es auch ein globales, denn es ist das einzige Minimum.
Viele Grüße,
Infinit
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Okay, aber diese Argumentation hatte ich natürlich auch schon im Kopf, aber es gibt ja sicher auch Beispiele, wo das mit den Potenzen nicht klappt. Ich bin mir eben nur nicht sicher, ob das als Antwort auf eine Klausurfrage reicht....?
VG mathmetzsch
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