Globale Extrema differenzierbarer Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Do 15.07.2004 | | Autor: | birte |
Hallo ihr,
habe hier noch mal eine Aufgabe, über die vielleicht jemand drüberschauen könnte und evtl. korrigieren könnte:
Eine auf einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall [a,b] definierte stetige Funktion f:[a,b] [mm] \rightarrow\IR [/mm] besitzt bekanntlich (mind.) ein globales Maximum [mm] x_{max} [/mm] und ein globales Minimum [mm] x_{min}. [/mm] Ist f sogar differenzierbar, dann gilt [mm] f(x_{max}=0 [/mm] (bzw. [mm] f(x_{min}=0 [/mm] ), falls [mm] x_{max}\in]a,b[ [/mm] (bzw. [mm] x_{min}\in]a,b[) [/mm] liegt. Bestimme in den folgenden Fällen [mm] sup{f(x)|x\in[a,b]} [/mm] und [mm] inf{f(x)|x\in[a,b]}. [/mm] Gib alle globalen Maxima und Minima an und begründe, warum es sich jeweils um Maxima und Minima handelt und warum es keine weiteren Maxima bzw. Minima gibt.
[mm] (a) f(x)=3x^4-8x^3+6x^2 [/mm] , [mm] a=-{1\br2}, b={1\br2}
[/mm]
[mm] (b) f(x)=x^5-x^2 [/mm] , a=-1, b=1
[mm] (c) f(x)={x+1\brx^2+1} [/mm] , a=-1, [mm] b={1\br2}.
[/mm]
Ich habe also zunächst die Ableitungen gebildet, f=0 gesetzt, dann hab ich geschaut, ob f an den Nullstellen > oder <0 ist (Min./Max.) und zuletzt die Funktionswerte berechnet.
Wie kann ich nun sauber und mathematisch korrekt beweisen, dass dies die einzigen Extremstellen sind? (reicht es, zu sagen, dass f sonst nicht=0 ist??)
Was sind globale Extrema?(die höchsten/tiefsten Extremstellen einer Funktion?)
Zu (a): [mm] f=12x(x^2-2x+1)
[/mm]
[mm] f=12(3x^2-4x+1)
[/mm]
f=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 [mm] \vee [/mm] x=1 (nicht definiert, da nicht in [a,b])
f(0)=12>0, also Minimum von f.
Minimum: M=(0,0)
Zu (b): [mm] f=x(5x^3-2)
[/mm]
[mm] f=2(10x^3-1)
[/mm]
f=0 [mm] \gdw x=0\vee x=\wurzel[3]{2\br5}
[/mm]
f(0)=-2, also Maximum: M=(0, 0)
[mm] f(\wurzel[3]{2\br5})=6, [/mm] also Minimum: M=(0,74, -0,33)
zu (c): [mm] f=-{x^2+2x-1\br(x^2+1)^2} [/mm] (richtig??)
[mm] f={2x^5+6x^4-4x^4+4x^2-6x-2\br(x^2+1)^2} [/mm] (richtig??)
f=0 [mm] \gdw x=-1+\wurzel{2} \vee x=-1-\wurzel{2}
[/mm]
f(0,4)=-3, also Maximum
f(-2,4)=461,9, also Minimum
puh, ich hoffe, dass ich keine Fehler gemacht habe
oder nicht so viele, aber was war das noch mal mit den globalen Extrema???
Vielleicht erbarmt sich einer dieser Aufgabe, oder zeigt mir einen einfacheren Weg?
Danke, birte
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo birte
deine Formeln sind nicht überall ganz korrekt zu lesen, aber irgendwie schafft man es doch, herauszufinden, was gemeint ist. 
Du bist generell einem Irrtum unterlegen: es gilt zwar schon, dass, falls das Minimum in ]a,b[ liegt, dort die 1. Ableitung $0$ ist.
Das Umgekehrte gilt aber nicht!!
Es gilt nicht, dass, wenn du einen Punkt im Intervall findest, dass dort auch ein absolutes Minimum oder Maximum liegt! Du hast erst einen Kandidaten für ein Extremum gefunden. Was du immer noch machen musst, ist: den Funktionswert bei den Intervallgrenzen zu berechnen und vergleichen, ob diese Werte nicht evtl. noch kleiner sein könnten als das durch dich vermutete Mininmum innerhalb des Intevalls. Ich zeigs gleich anhand der Aufgabe b) 
> Hallo ihr,
> habe hier noch mal eine Aufgabe, über die vielleicht
> jemand drüberschauen könnte und evtl. korrigieren könnte:
> Eine auf einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall
> [a,b] definierte stetige Funktion f:[a,b] [mm]\rightarrow\IR[/mm]
> besitzt bekanntlich (mind.) ein globales Maximum [mm]x_{max}[/mm]
> und ein globales Minimum [mm]x_{min}.[/mm] Ist f sogar
> differenzierbar, dann gilt [mm]f(x_{max}=0[/mm] (bzw. [mm]f(x_{min}=0[/mm]
> ), falls [mm]x_{max}\in]a,b[[/mm] (bzw. [mm]x_{min}\in]a,b[)[/mm] liegt.
> Bestimme in den folgenden Fällen [mm]sup{f(x)|x\in[a,b]}[/mm] und
> [mm]inf{f(x)|x\in[a,b]}.[/mm] Gib alle globalen Maxima und Minima an
> und begründe, warum es sich jeweils um Maxima und Minima
> handelt und warum es keine weiteren Maxima bzw. Minima
> gibt.
> [mm](a) f(x)=3x^4-8x^3+6x^2[/mm] , [mm]a=-{1\br2}, b={1\br2}
[/mm]
>
> [mm](b) f(x)=x^5-x^2[/mm] , a=-1, b=1
> [mm](c) f(x)={x+1\brx^2+1}[/mm] , a=-1, [mm]b={1\br2}.
[/mm]
>
> Ich habe also zunächst die Ableitungen gebildet, f'=0
> gesetzt, dann hab ich geschaut, ob f'' an den Nullstellen >
> oder <0 ist (Min./Max.) und zuletzt die Funktionswerte
> berechnet.
> Wie kann ich nun sauber und mathematisch korrekt beweisen,
> dass dies die einzigen Extremstellen sind? (reicht es, zu
> sagen, dass f' sonst nicht=0 ist??)
> Was sind globale Extrema?(die höchsten/tiefsten
> Extremstellen einer Funktion?)
>
Ja. Diese brauchen aber nicht immer zu existieren. Deshalb spricht man auch in dieser Aufgabe von Supremum und Infimum.
> Zu (a): [mm]f'=12x(x^2-2x+1)
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f''=12(3x^2-4x+1)
[/mm]
> f'=0 [mm]\gdw[/mm] x=0 [mm]\vee[/mm] x=1 (nicht definiert, da nicht in
> [a,b])
Die Funktion nimmt aber trotzdem ein Maximum an! (Siehe Kommentar in der Einleitung)
> f''(0)=12>0, also Minimum von f.
> Minimum: M=(0,0)
Das weisst du hier noch nicht, weil die Funktionswerte bei den Randpunkten ja auch noch zu den Kandidaten zählen
[mm] $f(-\bruch{1}{2})=\bruch{43}{16}$
[/mm]
[mm] $f(\bruch{1}{2})=\bruch{11}{16}$
[/mm]
Zu den Kandidaten für ein Minimum zählen also die Werte [mm] $\bruch{43}{16}$, $\bruch{11}{16}$ [/mm] und $0$
Von diesen musst du den kleinsten auswählen, also $0$, womit sich bestätigt hat, dass das Minimum (Infimum) bei $x=0$ liegt und den Wert $0$ hat.
Für das Supremum hast du aber auch 2 Kandidaten: [mm] $\bruch{43}{16}$ [/mm] und [mm] $\bruch{11}{16}$
[/mm]
Von diesen musst du den grössten auswählen, also [mm] $\bruch{43}{16}$
[/mm]
Die Funktion nimmt also bei [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] das Supremum an, nämlich mit dem Wert [mm] $\bruch{43}{16}$.
[/mm]
> Zu (b): [mm]f'=x(5x^3-2)[/mm]
Auch hier musst du die Funktionswerte an den Grenzen noch berechnen und mit den Kandidaten innerhalb des Intervalls vergleichen. Kannst du das hier noch selber machen?
Mein Hinweis: diese Funktion hat an 2. Stellen ein Supremum, das Infimum nimmt sich auf einer Intervallgrenze an. Also nicht dort, wo du glaubtest.
[/mm]
> [mm] f''=2(10x^3-1)
[/mm]
> f'=0 [mm]\gdw x=0\vee x=\wurzel[3]{2\br5}
[/mm]
> f''(0)=-2, also
> Maximum: M=(0, 0)
> [mm] f''(\wurzel[3]{2\br5})=6,[/mm] also Minimum: M=(0,74, -0,33)
>
> zu (c): [mm]f'=-{x^2+2x-1\br(x^2+1)^2}[/mm] (richtig??)
[tok]
> [mm] f''={2x^5+6x^4-4x^4+4x^2-6x-2\br(x^2+1)^2}[/mm] (richtig??)
![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]") Nach meiner rechnung, die aber auch falsch sein kann, gibts:
$f'' = [mm] \bruch{2x^{3}+6x^{2}-6x-2}{(x^{2}+1)^{3}}$
[/mm]
> f'=0 [mm]\gdw x=-1+\wurzel{2} \vee x=-1-\wurzel{2}
[/mm]
>
> f''(0,4)=-3, also Maximum
> f''(-2,4)=461,9, also Minimum
Auch hier gilt: Die Kandidaten auf den Grenzen des Intervalls gilt es zu beachten!
Liegt nicht auch $-2,4$ ausserhalb des Intervalls??
Also: c) musst du schon nochmals durchrechnen.
> puh, ich hoffe, dass ich keine Fehler gemacht habe
oder
> nicht so viele, aber was war das noch mal mit den globalen
> Extrema???
Global heisst eben: der absolut grösste resp. kleinste Wert, auch wenn der Graph nicht horizontal verläuft (Intervallgrenzen!)
Mit lieben Grüssen
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