Globale Extremstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 04.07.2012 | | Autor: | ullaulla |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:R^2 [/mm] -> R: (x/y) [mm] ->x^2*y+1/2 y^2+2/3y
[/mm]
a) Untersuchen Sie f auf lokale Extremstellen.
b) Finden Sie die globale(n) Maximalstelle(n) und die globale(n) Minimalstelle(n) von f unter der nebenbedingung [mm] x^2+4y^2=1.
[/mm]
c) Finden Sie die globale(n) Maximalstelle(n) und die globale(n) Minimalstelle(n) von f unter der Nebenbedingung [mm] x^2+4y^2\le1. [/mm] |
Hi, auf welche Extremstellen kommt ihr da? Habt ihr da einen Lösungsweg? danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]f:R^2[/mm] -> R: (x/y) [mm]->x^2*y+1/2 y^2+2/3y[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie f auf lokale Extremstellen.
> b) Finden Sie die globale(n) Maximalstelle(n) und die
> globale(n) Minimalstelle(n) von f unter der nebenbedingung
> [mm]x^2+4y^2=1.[/mm]
> c) Finden Sie die globale(n) Maximalstelle(n) und die
> globale(n) Minimalstelle(n) von f unter der Nebenbedingung
> [mm]x^2+4y^2\le1.[/mm]
>
> Hi, auf welche Extremstellen kommt ihr da? Habt ihr da
> einen Lösungsweg? danke.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Es geht um die a)? Mögliche Extremstellen sind stationäre Punkte, also NST des Gradienten, also setze:
[mm] $\nabla(f(x,y))=0$
[/mm]
Den Gradienten gebe ich dir noch:
[mm] $\nabla(f(x,y))=\vektor{2xy \\ x^2+y+2/3}$
[/mm]
Vorausgesetzt, dein f(x,y) stimmt.
[mm] $y=-2/3-x^2$
[/mm]
Wir wandeln um:
$2xy=0$
[mm] $2x^3+2xy+4/3x=$
[/mm]
(2)-(1):
[mm] $2x^3+4/3x=0$
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $x_1=0$,$y_y=-2/3$ [/mm] $oder [mm] $x_2\in \mathds{C}$, [/mm] also nicht relevant. Sonst auch schnell mit Fallunterscheidung zu lösen:
Fall 1: $x=0$:
$0=0$ (wahr)
$y=-2/3$
Direkt den Punkt gefunden
Fall 2: $y=0$
$0=0$ (wahr)
[mm] $x^2=-2/3$ [/mm] liefert keine reelle NST
Fall 3: [mm] $x,y\neq [/mm] 0$
[mm] $2xy\neq [/mm] 0$ (kann niemals 0 ergeben. Keine weiteren NST.
Der einzige stationäre Punkt ist also [mm] $P_1(0,-2/3)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Mi 04.07.2012 | | Autor: | ullaulla |
Ist es richtig, dass diese Stelle ein Sattelpunkt ist und keine der in b) und c) aufgeführten Nebenbedingungen erfüllt, also keine globale Extremstelle darstellt?
Um die Aufgabenteile b) und c) zu lösen habe ich folgende Gleichung aufgestellt:
[mm] L(x,y)=x^2y+1/2y^2+2/3y-\lambda(x^2+4y^2-1)
[/mm]
Dann haben wir:
[mm] xy-2\lambda*x=0
[/mm]
[mm] x^2+y+2/3-8\lambda*y=0
[/mm]
und wie geht es dann weiter und welche globalen Extrema gibt es?
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> Ist es richtig, dass diese Stelle ein Sattelpunkt ist und
> keine der in b) und c) aufgeführten Nebenbedingungen
> erfüllt, also keine globale Extremstelle darstellt?
>
Was hast du denn für die [mm] $H_f$ [/mm] ermittelt? Wäre einfacher, als mich erechnen zu lassen :/.
Ich erhalte [mm] $H_f(0,-2/3)=\vektor{-4/3 & 0 \\ 0 & 1}$, [/mm] was für die Hauptminoren [mm] $H_1, H_2$ [/mm] beide male <0 liefert, damit indefinit und Sattelpunkt, ja. Außerdem erfüllt der Punkt die Bedingung in c) nicht, ist daher kein Minimum oder Maximum.
Habe mich kurz verrechnet, aber es sind ja $16/9$, also größer als 1, korrekt. Daher gibt es schon ohne die NB keine Punkte, die innerhalb des gesuchten Ellipsoids liegen.
> Um die Aufgabenteile b) und c) zu lösen habe ich folgende
> Gleichung aufgestellt:
Damit löst du nur die b, denn Lagrange geht nur für ein g(x,y)=0 und nicht kleiner gleich. Die c löst du mit den Methoden der a, hatten wir bereits.
NEU:
c) möchte ja alle Extrema innerhalb der zulässigen Menge wissen. Daher ist die Menge als der Rand und zusätzlich das Innere zu betrachten. Das Innere können wir mit den Methoden der a) abgrasen, da dort bereits alle möglichen stationären Punkte gesucht werden. Befindet sich einer davon innerhalb der Menge der NB, ist c) erfüllt. Nur der Rand kann mit den Methoden aus a) nicht erfasst werden (warum nicht?). Hier brauchen wir gezielt Lagrange. Die Methoden/Ergebnisse aus a) und b) ergeben dann aber zwangsläufig c).
> [mm]L(x,y)=x^2y+1/2y^2+2/3y-\lambda(x^2+4y^2-1)[/mm]
> Dann haben wir:
> [mm]xy-2\lambda*x=0[/mm]
Die Ableitung nach x sollte doch 2xy liefern, oder? Der hintere Teil stimmt.
> [mm]x^2+y+2/3-8\lambda*y=0[/mm]
genau.
>
> und wie geht es dann weiter und welche globalen Extrema
> gibt es?
Wie funktioniert denn Lagrange? Also bitte etwas Anstrengung auch zu so später Stunde. Warum hast du den Gradienten gebildet? Setze ihn Null, bestimme die stationären Punkte und prüfe diese mittels Einsetzten in f(x,y).
Löse also: [mm] $\nabla (L(x,y,\lambda))=\vec{0}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Do 05.07.2012 | | Autor: | ullaulla |
Meine Hessematrix sieht so aus:
[mm] \pmat{2y & 2x \\ 1 & 2x }
[/mm]
Das weitere Vorgehen ist mir noch nicht klar.
Ich hätte nun wieder drei Fälle aufgestellt.
1.Fall:
[mm] x\not=0,y=0
[/mm]
2.Fall:
x=0, [mm] y\not=0
[/mm]
3.Fall:
[mm] y\not=0, x\not=0
[/mm]
Ich erhalte dann folgende "Kandidaten":
[mm] 2.Fall:\vektor{1/2 \\ 0} \vektor{1/2 \\ 0}
[/mm]
[mm] 3.Fall:\vektor{\wurzel{11/6} \\5/12 }\vektor{-\wurzel{11/6} \\5/12 } \vektor{5/3 \\ -1/3} \vektor{-5/3 \\ -1/3} [/mm]
das scheint mir aber alles nicht recht schlüssig und der weg dahin ist mir auch nicht wirklich klar.
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> Meine Hessematrix sieht so aus:
> [mm]\pmat{2y & 2x \\ 1 & 2x }[/mm]
Erstmal die Hesse-matrix:
die ist korrekt, ich meinte natürlich [mm] $H_f(0,-2/3)$, [/mm] das was halt einen interessiert. Dann kommst du auf meine, und es ist ein SP. klar?
>
> Das weitere Vorgehen ist mir noch nicht klar.
> Ich hätte nun wieder drei Fälle aufgestellt.
> 1.Fall:
> [mm]x\not=0,y=0[/mm]
> 2.Fall:
> x=0, [mm]y\not=0[/mm]
> 3.Fall:
> [mm]y\not=0, x\not=0[/mm]
Geht es jetzt um die Nebenbedingung? Da hatten wir ja:
$ [mm] \nabla (L(x,y,\lambda))=\vektor{2xy-2\lambda{}x \\ x^2+y+2/3-8\lambda{}y \\ x^2+4y^2-1}=\vec{0} [/mm] $
Du hast nämlich beim Gradienten [mm] $L_{\lambda}(x,y,\lambda{})$ [/mm] vergessen
Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
Fallunterscheidung ist möglich, so z.B.:
Da ein Wert für [mm] $\lambda$ [/mm] nicht interessiert, eliminiere ich es zuerst:
[mm] (1)*4y=$8xy^2-8 \lambda{}xy=0$
[/mm]
[mm] (2)*x=$x^3+yx+2/3x-8 \lambda{}xy=0$
[/mm]
Jetzt Subtraktion:
(1)-(2): [mm] $-x^3+8xy^2-xy-2/3x=0 \Rightarrow x*(-x^2+8y^2-y-2/3)=0$
[/mm]
Fallunterscheidung:
1. Fall: x=0
(1): $0=0$ (wahr)
(3): [mm] $4y^2=1 \Rightarrow y=\pm [/mm] 1/2$
Ab hier solltest du übernehmen...
>
> Ich erhalte dann folgende "Kandidaten":
> [mm]2.Fall:\vektor{1/2 \\ 0} \vektor{1/2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]3.Fall:\vektor{\wurzel{11/6} \\5/12 }\vektor{-\wurzel{11/6} \\5/12 } \vektor{5/3 \\ -1/3} \vektor{-5/3 \\ -1/3}[/mm]
>
> das scheint mir aber alles nicht recht schlüssig und der
> weg dahin ist mir auch nicht wirklich klar.
>
>
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:50 Do 05.07.2012 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
in Aufg. a) ist die Funktion f(x,y):=[mm]x^2\cdot{}y+1/2 y^2+2/3y [/mm] über [mm] \IR^2 [/mm] zu betrachten.
> Ich erhalte [mm]H_f(0,-2/3)=\vektor{-4/3 & 0 \\
0 & 1}[/mm], [...], damit
> indefinit und Sattelpunkt, ja.
Genau.
In Aufg. b) nun ist die Funktion unter der NB $ [mm] x^2+4y^2=1 [/mm] $ zu untersuchen, dh. wir gucken die Funktion nur über einem Ausschnitt des Definitionsbereiches an, nämlich über dem durch [mm] x^2+4y^2=1 [/mm] gegebenen Rand einer Ellipse (nicht: Ellipsoid).
Wir spazieren also auf einem "Rund"weg über das Funktionengebirge und gucken, wo die höchste und tiefste Stelle ist.
In Aufgabe c) dann wird die Funktion über der Ellipsen"scheibe" inkl. Rand (!) untersucht.
>
> Daher gibt es schon ohne die NB
> keine Punkte, die innerhalb des gesuchten Ellipsoids
> liegen.
In diesem "daher gibt es schon ohne die NB" liegt ein gravierender Denkfehler, der Dir wahrscheinlich auffällt, wenn Du Dir die Situation mal bildlich vorstellst: zwar hat über [mm] \IR^2 [/mm] betrachtet die Funktion keine Extrema, aber in dem durch den "Rundweg" begrenzten Gebiet sehr wohl.
Anders wieder sähe es aus, wäre in einer Aufgabe d) die NB [mm] x^2+4y^2<1.
[/mm]
Da würde man nur über dem Inneren der Ellipse gucken, und die Folgerung "wenn über dem Ganzen keinen Extremwert gibt, dann hier erst recht nicht", würde stimmen.
> > Um die Aufgabenteile b) und c) zu lösen habe ich folgende
> > Gleichung aufgestellt:
>
> Damit löst du nur die b, denn Lagrange geht nur für ein
> g(x,y)=0 und nicht kleiner gleich. Die c löst du mit den
> Methoden der a, hatten wir bereits.
Die c) ist zu lösen durch eine Kombination beider Methoden.
Man guckt, welche der über dem gesamten Gebiet gefundenen Extremstellen in dem zu betrachtenden Bereich liegen und macht zusätzlich eine Untersuchung des Randes. Dann schaut man, wo der höchste und tiefste Punkt liegen.
LG Angela
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:46 Do 05.07.2012 | | Autor: | Adamantin |
> Hallo,
>
> in Aufg. a) ist die Funktion f(x,y):=[mm]x^2\cdot{}y+1/2 y^2+2/3y[/mm]
> über [mm]\IR^2[/mm] zu betrachten.
>
> > Ich erhalte [mm]H_f(0,-2/3)=\vektor{-4/3 & 0 \\
0 & 1}[/mm],
> [...], damit
> > indefinit und Sattelpunkt, ja.
>
> Genau.
>
> In Aufg. b) nun ist die Funktion unter der NB [mm]x^2+4y^2=1[/mm] zu
> untersuchen, dh. wir gucken die Funktion nur über einem
> Ausschnitt des Definitionsbereiches an, nämlich über dem
> durch [mm]x^2+4y^2=1[/mm] gegebenen Rand einer Ellipse (nicht:
> Ellipsoid).
Das weiß ich und habe es auch so verstanden, weiß also nicht, wo du jetzt genau einen Fehler gefunden hast ;) Ja natürlich Ellipse, wollte es allgemeiner Fassen, aber Ellipse ist richtig. b) ist nur der Rand der NB und c) dann die gesamte Menge als solche.
> Wir spazieren also auf einem "Rund"weg über das
> Funktionengebirge und gucken, wo die höchste und tiefste
> Stelle ist.
>
> In Aufgabe c) dann wird die Funktion über der
> Ellipsen"scheibe" inkl. Rand (!) untersucht.
Ich weiß. Es ändert sich aber nichts daran, dass dort kein Extrema innerhalb der Menge sein kann, wenn a) schon keinen stationären Punkt innerhalb der zulässigen Menge liefert. Nur der Rand kann dann noch mit Lagrange ZUSÄTZLICHE Punkte liefern.
>
> >
> > Daher gibt es schon ohne die NB
> > keine Punkte, die innerhalb des gesuchten Ellipsoids
> > liegen.
>
> In diesem "daher gibt es schon ohne die NB" liegt ein
> gravierender Denkfehler, der Dir wahrscheinlich auffällt,
> wenn Du Dir die Situation mal bildlich vorstellst: zwar hat
> über [mm]\IR^2[/mm] betrachtet die Funktion keine Extrema, aber in
> dem durch den "Rundweg" begrenzten Gebiet sehr wohl.
Dann streiten wir uns wohl nur um das Wort "schon", das mag falsch sein. Also ohne die NB gibt es keinen Extremwert innerhalb der betrachteten Menge. Mit der NB habe ich aber einen Rand und da gibt es dann natürlich Extrema. Habe ich aber auch so die ganze Zeit gemeint und eigentlich gerechnet. Der Punkt aus a) liegt nicht in der Menge der NB und ist daher auch für b) und c) irrelevant. c) liefert so keine neuen Punkte, daher kann ich direkt zur b). Mit den Methoden der a) habe ich also auch die c) für < gelöst. Nur kleiner gleich erfordert die Randbetrachtung, die ich aber in b) vornehme ;)
>
> Anders wieder sähe es aus, wäre in einer Aufgabe d) die
> NB [mm]x^2+4y^2<1.[/mm]
> Da würde man nur über dem Inneren der Ellipse gucken,
> und die Folgerung "wenn über dem Ganzen keinen Extremwert
> gibt, dann hier erst recht nicht", würde stimmen.
Sie stimmt auch so, siehe oben. kleiner gleich kann ich zerlegen in kleiner und gleich. Gleich untersuche ich in b), kleiner in a, da dort alle stationären Punkte bereits gesucht werden.
>
>
> > > Um die Aufgabenteile b) und c) zu lösen habe ich folgende
> > > Gleichung aufgestellt:
> >
> > Damit löst du nur die b, denn Lagrange geht nur für ein
> > g(x,y)=0 und nicht kleiner gleich. Die c löst du mit den
> > Methoden der a, hatten wir bereits.
>
> Die c) ist zu lösen durch eine Kombination beider
> Methoden.
> Man guckt, welche der über dem gesamten Gebiet gefundenen
> Extremstellen in dem zu betrachtenden Bereich liegen und
> macht zusätzlich eine Untersuchung des Randes. Dann schaut
> man, wo der höchste und tiefste Punkt liegen.
>
So wollte ich es verstanden wissen.
> LG Angela
>
>
>
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