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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 31.01.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=2x^2+y^2-xy^2.
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle kritischen Stellen und alle lokalen Extrema von f.
b) Besitzt f ein globales Maximum oder ein globales Minimum? Begründen Sie ihre Antwort. |
Hallo.
Also Nr. a) ist mir klar. Ich erhalte [mm] z_1=(0,0) [/mm] als lokales Minimum und [mm] z_2=(1,2),z_3=(1,-2) [/mm] als Sattelpunkte.
Zu Nr. b) heißt's in meiner Lösung dann:
Wegen
[mm] f(0,t)=...=t^2 \to \infty [/mm] für t [mm] \to \infty [/mm] ist f nicht nach oben beschränkt, besitzt also kein globales Maximum
und wegen
[mm] f(2,t)=...=8-t^2 \to -\infty [/mm] für t [mm] \to \infty [/mm] ist f nicht nach unten beschränkt, besitzt also kein globales Minimum.
Wie kommt man darauf, dass man f(0,t) und f(2,t) betrachten muss?
Allgemein: Wie weist man globale Extrema nach? Muss man die Ränder des Def.bereiches untersuchen? Aber in meinem Fall hat doch [mm] \IR^2 [/mm] keine Ränder?!
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Hallo lubalu,
> [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=2x^2+y^2-xy^2.[/mm]
> a) Bestimmen Sie alle kritischen Stellen und alle lokalen
> Extrema von f.
>
> b) Besitzt f ein globales Maximum oder ein globales
> Minimum? Begründen Sie ihre Antwort.
> Hallo.
>
> Also Nr. a) ist mir klar. Ich erhalte [mm]z_1=(0,0)[/mm] als lokales
> Minimum und [mm]z_2=(1,2),z_3=(1,-2)[/mm] als Sattelpunkte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu Nr. b) heißt's in meiner Lösung dann:
> Wegen
> [mm]f(0,t)=...=t^2 \to \infty[/mm] für t [mm]\to \infty[/mm] ist f nicht
> nach oben beschränkt, besitzt also kein globales Maximum
>
> und wegen
> [mm]f(2,t)=...=8-t^2 \to -\infty[/mm] für t [mm]\to \infty[/mm] ist f nicht
> nach unten beschränkt, besitzt also kein globales
> Minimum.
>
> Wie kommt man darauf, dass man f(0,t) und f(2,t) betrachten
> muss?
Forme dazu die Funktion f etwas um:
[mm]f(x,y)=2x^2+y^2-xy^2=2*x^{2}+y^{2}*\left(1-x\right)[/mm]
Hier siehst Du, daß
[mm]f\left(x,y\right)=\left\{\begin{matrix} \ge 0, && x \le 1 \\ < 0, && x > 1\end{matrix}\right[/mm]
Daher liegt es nahe, einmal x < 1 und einmal x > 0 zu wählen.
> Allgemein: Wie weist man globale Extrema nach? Muss man
> die Ränder des Def.bereiches untersuchen? Aber in meinem
> Fall hat doch [mm]\IR^2[/mm] keine Ränder?!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Mo 01.02.2010 | | Autor: | lubalu |
Ah ja...Deine Erklärung ist mir klar. Aber wo betrachtet man in meiner Lösung x<1 und x>0? Ich versteh immer noch nicht, was das bedeutet, wenn man f(0,t) und f(2,t) betrachtet...
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Hallo lubalu,
> Ah ja...Deine Erklärung ist mir klar. Aber wo betrachtet
> man in meiner Lösung x<1 und x>0? Ich versteh immer noch
Nirgends.
> nicht, was das bedeutet, wenn man f(0,t) und f(2,t)
> betrachtet...
>
>
Nun, hier will man zeigen, daß es kein globales Extremum gibt.
Dazu betrachtet man eben [mm]f\left(0,t\right)[/mm]
und [mm]f(2,t\right)[/mm] und läßt t gegen unendlich gehen.
0 deshalb, weil man dann eine nach oben geöffnete Parabel erhält.
2 deshalb, weil man dann eine nach unten geöffnete Parabel erhält.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Di 02.02.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] D:=\{(x,y)\in \IR^2: -\pi \le x \le\pi, \ 0\le y \le\pi\}
[/mm]
Man begründe, warum die Fkt.
[mm] f:D->\IR, [/mm] f(x,y)=cos(x) + sin(y)
globale Extremstellen besitzt und bestimme zwei Punkte (a,b) und (c,d) [mm] \in [/mm] D mit f(a,b) [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le [/mm] f(c,d) für alle [mm] (x,y)\in [/mm] D. |
Hallo.
Danke für deine Bemühungen, aber ich kapiers immer noch nicht.
Hier eine ähnliche Aufgabe, die ich auch nicht ganz verstehe.
In meiner Lösung steht: D ist das abgeschlossene Rechteck mit den Eckpunkten [mm] (-\pi,0),(\pi,0),(\pi,\pi),(-\pi,\pi).
[/mm]
Frage 1: Wie sehe ich, dass D eine abgeschlossenes Rechteck ist? Und wie kann ich ablesen, wo die Eckpunkte liegen?
Dass f globale Extrema hat, kann ich zeigen.
Aber dann gehts weiter. Es gibt ja zwei Möglichkeiten, wo die Extremstellen (p,q) [mm] \in [/mm] D liegen können:
1. auf dem Rand von D und
2. im Innern von D.
2. versteh ich, da muss ich partiell ableiten und den kritischen Punkt berechnen (kommt [mm] (0,\bruch{\pi}{2}) [/mm] raus).
Aber bei 1. heißts dann wieder so:
(p,q) liegt auf dem Rand von D. Wegen
[mm] f(t,0)=f(t,\pi)=cos(t) [/mm] für alle [mm] t\in [-\pi,\pi]
[/mm]
und
[mm] f(-\pi,t)=f(\pi,t)=-1+sin(t) [/mm] für alle [mm] t\in [0,\pi]
[/mm]
kommen hierfür nur die Punkte [mm] (-\pi,0),(0,0),(\pi,0),(-\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,\pi) [/mm] sowie [mm] (-\pi,\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] (\pi,\bruch{\pi}{2}) [/mm] in Frage.
?????????????????????
Es wär nett, wenn mir jemand diesen ganzen letzten Schritt erklären könnte, was hier überhaupt gemacht wird, was man mit f(t,0)... zeigen will und wie man dann letztendlich auf diese Punkte kommt.
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> Gegeben sei [mm]D:=\{(x,y)\in \IR^2: -\pi \le x \le\pi, \ 0\le y \le\pi\}[/mm]
>
> Man begründe, warum die Fkt.
>
> [mm]f:D->\IR,[/mm] f(x,y)=cos(x) + sin(y)
>
> globale Extremstellen besitzt und bestimme zwei Punkte
> (a,b) und (c,d) [mm]\in[/mm] D mit f(a,b) [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le[/mm] f(c,d) für
> alle [mm](x,y)\in[/mm] D.
>
> In meiner Lösung steht: D ist das abgeschlossene Rechteck
> mit den Eckpunkten [mm](-\pi,0),(\pi,0),(\pi,\pi),(-\pi,\pi).[/mm]
>
> Frage 1: Wie sehe ich, dass D eine abgeschlossenes Rechteck
> ist? Und wie kann ich ablesen, wo die Eckpunkte liegen?
Hallo,
daß es ein Rechteck ist, > Hallo.
>
> Danke für deine Bemühungen, aber ich kapiers immer noch
> nicht.
>
> Hier eine ähnliche Aufgabe, die ich auch nicht ganz
> verstehe.und wo seine Eckpunkte liegen, siehst Du spätestens, wenn Du Dir das, was dort steht, mal skizzierst.
Abgeschlossen ist es, weil der Rand dazugehört, das erkennst Du am [mm] "\le" [/mm] statt "<".
>
> Dass f globale Extrema hat, kann ich zeigen.
>
> Aber dann gehts weiter. Es gibt ja zwei Möglichkeiten, wo
> die Extremstellen (p,q) [mm]\in[/mm] D liegen können:
> 1. auf dem Rand von D und
> 2. im Innern von D.
>
> 2. versteh ich, da muss ich partiell ableiten und den
> kritischen Punkt berechnen (kommt [mm](0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> raus).
>
> Aber bei 1. heißts dann wieder so:
>
> (p,q) liegt auf dem Rand von D. Wegen
Weil das rechteck so bequem ist, wird hier kein Lagranansatz gemacht, sondern:
man überlegt sich, welche Punkte auf dem Rand liegen. Ich gehe davon aus, daß das Rechteck skizziert vor Dir liegt.
Die Punkte des unteren Randes haben die Gestalt (t | 0) mit [mm] t\in [-\pi,\pi]
[/mm]
die des oberen (t | [mm] \pi),
[/mm]
und aufgrund der Def. von f ist $ [mm] f(t,0)=f(t,\pi)=cos(t) [/mm] $ für alle $ [mm] t\in [-\pi,\pi] [/mm] $.
Die Punkte des linken Randes haben die Gestalt [mm] (-\pi [/mm] | t) mit [mm] t\in [0,\pi]
[/mm]
die des rechten [mm] (\pi [/mm] | t),
und aufgrund der Def. von f ist [mm] f(-\pi,t)=f(\pi,t)=-1+sin(t)
[/mm]
> [mm]f(t,0)=f(t,\pi)=cos(t)[/mm] für alle [mm]t\in [-\pi,\pi][/mm]
> und
> [mm]f(-\pi,t)=f(\pi,t)=-1+sin(t)[/mm] für alle [mm]t\in [0,\pi][/mm]
>
> kommen hierfür nur die Punkte
> [mm](-\pi,0),(0,0),(\pi,0),(-\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,\pi)[/mm] sowie
> [mm](-\pi,\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm](\pi,\bruch{\pi}{2})[/mm] in Frage.
>
> ?????????????????????
Die Überlegung dahinter: wo werden cos(t) bzw. -1+sin(t) minimal oder maximal?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 02.02.2010 | | Autor: | lubalu |
> Aber bei 1. heißts dann wieder so:
>
> (p,q) liegt auf dem Rand von D. Wegen
> [mm]f(t,0)=f(t,\pi)=cos(t)[/mm] für alle [mm]t\in [-\pi,\pi][/mm]
> und
> [mm]f(-\pi,t)=f(\pi,t)=-1+sin(t)[/mm] für alle [mm]t\in [0,\pi][/mm]
Ich glaub, das hab ich grad gecheckt. Man untersucht hier das Verhalten von f auf der x-Achse (also setzt man t für x und 0 und [mm] \pi [/mm] für y, weil y [mm] \in [0,\pi]) [/mm] und auf der y-Achse (man setzt t für y ein und [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] für x weil [mm] x\in [-\pi,\pi]). [/mm]
Ist das richtig so?
Aber wie man dann auf die kritischen Punkte kommt, hab ich leider immer noch nicht verstanden....
>
> kommen hierfür nur die Punkte
> [mm](-\pi,0),(0,0),(\pi,0),(-\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,\pi)[/mm] sowie
> [mm](-\pi,\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm](\pi,\bruch{\pi}{2})[/mm] in Frage.
>
> ?????????????????????
>
> Es wär nett, wenn mir jemand diesen ganzen letzten Schritt
> erklären könnte, was hier überhaupt gemacht wird, was
> man mit f(t,0)... zeigen will und wie man dann letztendlich
> auf diese Punkte kommt.
>
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> > Aber bei 1. heißts dann wieder so:
> >
> > (p,q) liegt auf dem Rand von D. Wegen
> > [mm]f(t,0)=f(t,\pi)=cos(t)[/mm] für alle [mm]t\in [-\pi,\pi][/mm]
> >
> und
> > [mm]f(-\pi,t)=f(\pi,t)=-1+sin(t)[/mm] für alle [mm]t\in [0,\pi][/mm]
>
> Ich glaub, das hab ich grad gecheckt. Man untersucht hier
> das Verhalten von f auf der x-Achse
Hallo,
nicht auf der x-Achse, sondern auf den Rändern des Rechtecks
Der untere Rand liegt auf der x-Achse, daher y=0, der obere parallel dazu [mm] (y=\pi).
[/mm]
Rechter und linker Rand sind parallel zur y-Achse im Abstand [mm] \pm\pi, [/mm] daher (-pm [mm] \pi [/mm] |t).
Vielleicht meintest du es richtig.
(also setzt man t für
> x und 0 und [mm]\pi[/mm] für y, weil y [mm]\in [0,\pi])[/mm] und auf der
> y-Achse (man setzt t für y ein und [mm]-\pi[/mm] und [mm]\pi[/mm] für x
> weil [mm]x\in [-\pi,\pi]).[/mm]
> Ist das richtig so?
> Aber wie man dann auf die kritischen Punkte kommt, hab ich
> leider immer noch nicht verstanden....
Du weißt jetzt, daß auf dem oberen bzw. unteren Rand gilt f(t,0)=f(t, [mm] \pi)=cos(t). [/mm]
cos t wird maximal bzw. minimal für [mm] t=\pm \pi [/mm] und t=0.
Damit bekommen wir die Punkte [mm] (\pm \pi, [/mm] 0) , (0,0), [mm] (\pm \pi, \pi) [/mm] , [mm] (0,\pi).
[/mm]
Die Überlegung für den rechten und linken Rand analog.
Gruß v. Angela
> >
> > kommen hierfür nur die Punkte
> > [mm](-\pi,0),(0,0),(\pi,0),(-\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,\pi)[/mm] sowie
> > [mm](-\pi,\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm](\pi,\bruch{\pi}{2})[/mm] in Frage.
> >
> > ?????????????????????
> >
> > Es wär nett, wenn mir jemand diesen ganzen letzten Schritt
> > erklären könnte, was hier überhaupt gemacht wird, was
> > man mit f(t,0)... zeigen will und wie man dann letztendlich
> > auf diese Punkte kommt.
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Bei dieser Aufgabe muß man doch (fast) nichts rechnen !
Für $(x,y) [mm] \in [/mm] D$ ist $ [mm] -\pi \le [/mm] x [mm] \le \pi$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \pi$, [/mm] also
$-1 [mm] \le [/mm] cos(x) [mm] \le [/mm] 1$ und $0 [mm] \le [/mm] sin(y) [mm] \le [/mm] 1$
Fazit: $-1 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le [/mm] 2$ für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] D$
Wegen $f( [mm] \pi, [/mm] 0) = -1$ und $f(0, [mm] \pi/2) [/mm] = 2$ ist
$f( [mm] \pi, [/mm] 0) [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le [/mm] f(0, [mm] \pi/2)$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] D$
FRED
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