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| Aufgabe | Gegeben sei ein Glücksrad mit 2 Feldern. Das Gewinnfeld hat einen Mittelpunktswinkel der Größe [mm] \alpha. [/mm]
Das Rad wird d mal gedreht.
Bestimmen Sie den Winkel [mm] \alpha [/mm] so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es genau g Gewinne gibt, maximal ist. |
Ich habe die Vermutung, dass die Wahrscheinlichkeit genau dann am größten ist, wenn das Verhältnis g zu d genau dem Verhältnis [mm] \alpha [/mm] zu 360° entspricht,
Also, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{360*g}{d} [/mm] sein muss
Das ist zwar nur eine Vermutung, aber erstens habe ich sie an einem Beispiel (d=3 und g=2) nachgewiesen, und zweitens denke ich, dass bestimmt schon jemand mal "bewiesen" hat, dass die obige Formel auch für alle anderen d und g gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ralph!
> Gegeben sei ein Glücksrad mit 2 Feldern. Das Gewinnfeld
> hat einen Mittelpunktswinkel der Größe [mm]\alpha.[/mm]
>
> Das Rad wird d mal gedreht.
>
> Bestimmen Sie den Winkel [mm]\alpha[/mm] so, dass die
> Wahrscheinlichkeit, dass es genau g Gewinne gibt, maximal
> ist.
> Ich habe die Vermutung, dass die Wahrscheinlichkeit genau
> dann am größten ist, wenn das Verhältnis g zu d genau
> dem Verhältnis [mm]\alpha[/mm] zu 360° entspricht,
>
> Also, dass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{360*g}{d}[/mm] sein muss
>
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> Das ist zwar nur eine Vermutung, aber erstens habe ich sie
> an einem Beispiel (d=3 und g=2) nachgewiesen, und zweitens
> denke ich, dass bestimmt schon jemand mal "bewiesen" hat,
> dass die obige Formel auch für alle anderen d und g gilt.
Du vermutest richtig.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (beim einmaligen Drehen) ist [mm]p=\frac{\alpha}{360^\circ}[/mm]. Das d-malige Drehen ist eine Bernoulli-Kette der Länge d mit Wahrscheinlichkeit p. Es ist also [mm]\binom{d}{g}\cdot p^g\cdot (1-p)^{d-g}[/mm] die Wahrscheinlichkeit g Geweinne bei d Drehungen zu bekommen.
Diese kannst du als Funktion in Abhängigkeit von p auffassen (d und g sind ja fest vorgegeben). Um rauszufinden, wann diese Wahrscheinlichkeit maximal wird, leite sie nach p ab und setze den gefundenen Ausdruck gleich Null, also
[mm]\left[\binom{d}{g}\cdot p^g\cdot (1-p)^{d-g}\right]^\prime=0[/mm]
und löse nach p auf.
Du wirst auf [mm]p=\frac gd[/mm] kommen und zusammen mit [mm]p=\frac{\alpha}{360^\circ}[/mm] ergibt sich genau deine "Vermutung".
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Sa 01.02.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Und noch eine weitere Vermutung habe ich:
Sie hängt sogar indirekt mit dieser Aufgabe zusammen:
Und zwar mit der darin gemachten Aussage von Sax "Man teilt 100 durch e":
Wenn man das Glücksrad sehr sehr oft dreht (nahezu unendlich oft) und genau einen Treffer haben will, dazu den entsprechenden Winkel [mm] \alpha [/mm] nimmt - dann wird die Wahrscheinlichkeit, genau diesen einen Treffer zu erzielen, nie größer als 36,788 %.
Und das ist wieder dieses 100 durch e. Das kann doch kein Zufall sein???
Wieso taucht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer dieses e als Grenzwert auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Wahrscheinlichkeit, bei d Drehungen (Einzelwahrscheinlichkeit 1/d) genau 1 Treffer zu haben ist doch [mm] p=\vektor{d \\ 1}*(\bruch{1}{d})^1*(1-\bruch{1}{d})^{d-1}=(1-\bruch{1}{d})^{d-1}=\bruch{(1-\bruch{1}{d})^{d}}{1-\bruch{1}{d}} [/mm] und das konvergiert für [mm] d\to\infty [/mm] gegen [mm] \bruch{1/e}{1}=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Allerdings ist es eine monoton fallende Folge, so dass es in deiner Mitteilung heißen sollte "nie kleiner als 36,788%"
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 01.02.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Allerdings ist es eine monoton fallende Folge, so dass es
> in deiner Mitteilung heißen sollte "nie kleiner als 36,788%"
"Nie kleiner als..." heißt doch, es müsste immer großer als 36,788 sein.
Aber soweit ich mich erinnern kann, kam z.B. bei d=3 [mm] (\Alpha [/mm] = 120°) raus, dass die Wahrscheinlichkeit auf genau einen Gewinn bei 1/3 lag, also kleiner als 36%
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
da trügt dich deine Erinnerung. Die W. beträgt 4/9.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ralph!
> > Allerdings ist es eine monoton fallende Folge, so dass es
> > in deiner Mitteilung heißen sollte "nie kleiner als
> 36,788%"
>
> "Nie kleiner als..." heißt doch, es müsste immer großer
> als 36,788 sein.
>
> Aber soweit ich mich erinnern kann, kam z.B. bei d=3
> [mm](\Alpha[/mm] = 120°) raus, dass die Wahrscheinlichkeit auf
> genau einen Gewinn bei 1/3 lag, also kleiner als 36%
Setz doch einfach d=3 ein: [mm]p=\left(1-\frac 1d\right)^{d-1}=\left(\frac 23\right)^2=\frac 49\approx 0.44[/mm]
Lieben Gruß
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Sa 01.02.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ja, dann muss ich die Zahlen wohl falsch in Erinnerung gehabt haben.
Die entsprechenden Schmierzettel hatte ich in der Zwischenzeit weggeworfen.
Wenn ich die Scheibe nur einmal drehe, wäre bei [mm] \alpha=360° [/mm] die Wahrscheinlichkeit auf 1 Treffer 100%.
Bei zweimal drehen und [mm] \alpha=180° [/mm] wäre die Wahrscheinlichkeit auf 1 Treffer 50%.
Dann wäre es ja auch unlogisch, wenn sie bei dreimal drehen unter 35% liegt und anschließend wieder auf über 37% steigen würde.
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