Goniometrische Gleichung lösen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 Sa 10.01.2015 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Löse die folgende Gleichung nach p auf:
[mm] \bruch{a \cdot sin(p)-b \cdot cos(p)}{c+d \cdot cos(p) + e \cdot sin(p)} [/mm] = q |
Guten Morgen!
Ich sitze gerade vor der obigen Gleichung, welche ich nicht im Stande bin, zu lösen und wollte fragen, ob mir jemand einen Hinweis zur Lösung geben könnte!
Laut Auskunft vom Professor könnte die Lösung über ein Ersetzen der Winkelfunktionen durch [mm] tan(\bruch{p}{2}) [/mm] erfolgen, leider hilft mir dieser Hinweis relativ wenig!
Vielen Dank für eure Mühen!
Lg
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Guten Morgen, mike.
Das sieht nicht einfach aus.
> Löse die folgende Gleichung nach p auf:
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> [mm]\bruch{a \cdot sin(p)-b \cdot cos(p)}{c+d \cdot cos(p) + e \cdot sin(p)}[/mm]
> = q
> Guten Morgen!
>
> Ich sitze gerade vor der obigen Gleichung, welche ich nicht
> im Stande bin, zu lösen und wollte fragen, ob mir jemand
> einen Hinweis zur Lösung geben könnte!
>
> Laut Auskunft vom Professor könnte die Lösung über ein
> Ersetzen der Winkelfunktionen durch [mm]tan(\bruch{p}{2})[/mm]
> erfolgen, leider hilft mir dieser Hinweis relativ wenig!
Das ist oft hilfreich, weil man dann nicht so ungemütiche und nicht eindeutige Ersetzungen wie [mm] \sin{x}=\pm\wurzel{1-\cos^2{x}} [/mm] verwenden muss.
Verwende mal die in ![[]](/images/popup.gif) dieser Formelsammlung gegebenen Formeln - und probiers aus.
Wie gesagt wird es trotzdem nicht einfach und auch sicher nicht für jede beliebige Kombination der Parameter a,b,c,d,e,q überhaupt lösbar sein, aber vielleicht findest Du dann wenigstens Bedingungen für diese.
Erstmal viel Erfolg damit!
Melde Dich wieder, wenn Du da nicht mehr weiterkommst und rechne vor, was Du gemacht hast.
Grüße
reverend
> Vielen Dank für eure Mühen!
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 10.01.2015 | | Autor: | mike1988 |
Danke für dfeine rasche Antwort!
Habe nun von deinem Link den Punkt: "Darstellung durch den Tangens des halben Winkels" versucht anzuwenden:
[mm] \bruch{a \cdot sin(p)-b \cdot cos(p)}{c+d \cdot cos(p) + e \cdot sin(p)} [/mm] = q
[mm] sin(p)=\bruch{2 \cdot t}{1+t^2}
[/mm]
[mm] cos(p)=\bruch{1-t^2}{1+t^2}
[/mm]
q = [mm] \bruch{a \cdot \bruch{2 \cdot t}{1+t^2}-b \cdot \bruch{1-t^2}{1+t^2}}{c+d \cdot \bruch{1-t^2}{1+t^2} + e \cdot \bruch{2 \cdot t}{1+t^2}}
[/mm]
bzw. erweitert und aufgelöst:
q = [mm] \bruch{2 \cdot a \cdot t + b \cdot t^2 -b}{c + c \cdot t^2 + d - d \cdot t^2 + 2 \cdot e \cdot t}
[/mm]
Dieser Versuch führt allerdings auch nicht unbedingt zum Ziel, da ich es auch aus dieser Gleichung nicht schaffe, t explizit darzustellen!
Vielleicht könntest mir du nochmals einen Hinweis zu Lösung geben!
Vielen Dank!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Sa 10.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für dfeine rasche Antwort!
>
> Habe nun von deinem Link den Punkt: "Darstellung durch den
> Tangens des halben Winkels" versucht anzuwenden:
>
> [mm]\bruch{a \cdot sin(p)-b \cdot cos(p)}{c+d \cdot cos(p) + e \cdot sin(p)}[/mm]
> = q
>
> [mm]sin(p)=\bruch{2 \cdot t}{1+t^2}[/mm]
>
> [mm]cos(p)=\bruch{1-t^2}{1+t^2}[/mm]
>
> q = [mm]\bruch{a \cdot \bruch{2 \cdot t}{1+t^2}-b \cdot \bruch{1-t^2}{1+t^2}}{c+d \cdot \bruch{1-t^2}{1+t^2} + e \cdot \bruch{2 \cdot t}{1+t^2}}[/mm]
>
> bzw. erweitert und aufgelöst:
>
> q = [mm]\bruch{2 \cdot a \cdot t + b \cdot t^2 -b}{c + c \cdot t^2 + d - d \cdot t^2 + 2 \cdot e \cdot t}[/mm]
>
> Dieser Versuch führt allerdings auch nicht unbedingt zum
> Ziel, da ich es auch aus dieser Gleichung nicht schaffe, t
> explizit darzustellen!
>
> Vielleicht könntest mir du nochmals einen Hinweis zu
> Lösung geben!
Multiplziere mit dem Nenner der rechten Seite durch. Dann bekommst Du eine quadratische Gleichung für t.
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Sa 10.01.2015 | | Autor: | mike1988 |
Danke Schön!
Falls ich es jetz richtig verstanden habe:
Gleichung mit Nenner multipliziert und zusammengefasst:
[mm] t^2 \cdot [/mm] (q [mm] \cdot [/mm] c - q [mm] \cdot [/mm] d - b) + t [mm] \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot [/mm] q [mm] \cdot [/mm] e - 2 [mm] \cdot [/mm] a) +q [mm] \cdot [/mm] c + q [mm] \cdot [/mm] d + b = 0
Ergibt folgende Löung für t:
t = [mm] (\bruch{1}{b-q \cdot (c-d)}) \cdot \wurzel{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2+ 2 \cdot b \cdot d \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2}-a+e \cdot [/mm] q
(Die negative Lösung für t lasse ich jetz mal außen vor...)
Nun noch dir Rücksubstitution für t = [mm] tan(\bruch{p}{2})
[/mm]
[mm] tan(\bruch{p}{2}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{b-q \cdot (c-d)}) \cdot \wurzel{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2+ 2 \cdot b \cdot d \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2}-a+e \cdot [/mm] q
bzw
p = 2 [mm] \cdot arctan((\bruch{1}{b-q \cdot (c-d)}) \cdot \wurzel{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2+ 2 \cdot b \cdot d \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2}-a+e \cdot [/mm] q )
Sieht ja eigentlich schon mal ganz gut aus, würde ich meinen! 
Als letzter Punkt soll nun noch der Parameter c* bestimmt werden, ab dem die Gleichung keine Lösung mehr liefert!
Meine Idee dazu wäre folgende:
1) Der Ausdruck unter der Wurzel muss positiv sein:
[mm] a^2 [/mm] - 2 [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] e [mm] \cdot [/mm] q + [mm] b^2+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] b [mm] \cdot [/mm] d [mm] \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2 [/mm] > 0
ausmultipliziert und erweitert sollte gelten:
c* < [mm] \wurzel{\bruch{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2 + 2 \cdot b \cdot d \cdot q+q^2 \cdot (d^2 + e^2)}{q^2}}
[/mm]
Danke nochmals! Lg
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Hallo nochmal,
das ist ja echt ne Fummelei...
> Danke Schön!
>
> Falls ich es jetz richtig verstanden habe:
>
> Gleichung mit Nenner multipliziert und zusammengefasst:
>
> [mm]t^2 \cdot[/mm] (q [mm]\cdot[/mm] c - q [mm]\cdot[/mm] d - b) + t [mm]\cdot[/mm] (2 [mm]\cdot[/mm] q
> [mm]\cdot[/mm] e - 2 [mm]\cdot[/mm] a) +q [mm]\cdot[/mm] c + q [mm]\cdot[/mm] d + b = 0
>
> Ergibt folgende Löung für t:
>
> t = [mm](\bruch{1}{b-q \cdot (c-d)}) \cdot \wurzel{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2+ 2 \cdot b \cdot d \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2}-a+e \cdot[/mm]
> q
Habe ich nicht nachgerechnet, sieht aber irgendwie nicht plausibel aus. Mitternachtsformel? Oder p/q-Formel? Das Ergebnis müsste nach beiden ein etwas anderes "Format" haben, oder übersehe ich irgendwelche geschickten Zusammenfassungen?
> (Die negative Lösung für t lasse ich jetz mal außen
> vor...)
Warum? Das würde ich nicht tun.
> Nun noch dir Rücksubstitution für t = [mm]tan(\bruch{p}{2})[/mm]
>
> [mm]tan(\bruch{p}{2})[/mm] = [mm](\bruch{1}{b-q \cdot (c-d)}) \cdot \wurzel{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2+ 2 \cdot b \cdot d \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2}-a+e \cdot[/mm]
> q
>
> bzw
>
> p = 2 [mm]\cdot arctan((\bruch{1}{b-q \cdot (c-d)}) \cdot \wurzel{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2+ 2 \cdot b \cdot d \cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2}-a+e \cdot[/mm]
> q )
>
> Sieht ja eigentlich schon mal ganz gut aus, würde ich
> meinen!
Jedenfalls klappt das alles irgendwie. Wie gesagt, überprüf doch nochmal die Auflösung der quadratischen Gleichung.
> Als letzter Punkt soll nun noch der Parameter c* bestimmt
> werden, ab dem die Gleichung keine Lösung mehr liefert!
>
> Meine Idee dazu wäre folgende:
>
> 1) Der Ausdruck unter der Wurzel muss positiv sein:
Oder Null. Das ist schonmal der richtige Ansatz.
> [mm]a^2[/mm] - 2 [mm]\cdot[/mm] a [mm]\cdot[/mm] e [mm]\cdot[/mm] q + [mm]b^2+[/mm] 2 [mm]\cdot[/mm] b [mm]\cdot[/mm] d
> [mm]\cdot q-(c^2-d^2-e^2)\cdot q^2[/mm] > 0
>
> ausmultipliziert und erweitert sollte gelten:
>
> c* < [mm]\wurzel{\bruch{a^2 - 2 \cdot a \cdot e \cdot q + b^2 + 2 \cdot b \cdot d \cdot q+q^2 \cdot (d^2 + e^2)}{q^2}}[/mm]
>
> Danke nochmals! Lg
Habe ich auch nicht nachgerechnet, weil mir das Ergebnis oben eben schon zweifelhaft aussieht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Sa 10.01.2015 | | Autor: | mike1988 |
Alles Klar!
Habe meine Lösung nun nochmals mit der P-Q-Formel überprüft und du hattest recht, irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen!
Aber hauptsache der Lösungsweg ist soweit in Ordnung!
Besten Dank nochmals für deine tolle Unterstützung!
Lg
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