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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 12.06.2011 | | Autor: | kagu |
| Aufgabe | Man zeige, dass für alle positiven Winkel alpha mit 0<alpha<180° die Ungleichung
sin(alpha)+ 1/2 sin(2alpha) + 1/3 sin(3alpha) > 0 gilt. |
Ich habe obige Ungleichung umgeformt und bin auf folgendes gekommen:
4cos²(alpha)+3cos(alpha) + 2 > 0
Nun hat die Gleichung % = 0 keine Lösung, das heißt ich kann hier keine Fallunterscheidung machen, wie könnte ich sonst argumentieren, dass dieser Ausdruck >0 ist?
Eine Idee meinerseits: Der obige Ausdruck ist stetig und er hat keine Nullstelle. Das bedeutet, dass entweder der gesamte Ausdruck für alpha beliebig größer 0 ist oder kleiner 0. Wenn ich nun einen Wert einsetze (z.B. 0) und der dazugehörige Wert positiv ist, muss der Ausdruck für alpha beliebig auch positiv sein.
Ist diese Argumentation korrekt bzw. hat jemand einen anderen Lösungsvorschlag?
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Hallo kagu,
> Man zeige, dass für alle positiven Winkel alpha mit
> 0<alpha<180° die Ungleichung
>
> sin(alpha)+ 1/2 sin(2alpha) + 1/3 sin(3alpha) > 0 gilt.
> Ich habe obige Ungleichung umgeformt und bin auf folgendes
> gekommen:
>
> 4cos²(alpha)+3cos(alpha) + 2 > 0
Hier hast Du einen Faktor vergessen:
[mm]\sin\left(\alpha\right)*\left( \ 4*\cos^{2}\left(\alpha\right)+3*\cos\left(\alpha\right)+2 \ \right) > 0[/mm]
>
> Nun hat die Gleichung % = 0 keine Lösung, das heißt ich
Die Gleichung [mm]4*\cos^{2}\left(\alpha\right)+3*\cos\left(\alpha\right)+2=0[/mm] hat keine reelle Lösung für [mm]\alpha[/mm].
> kann hier keine Fallunterscheidung machen, wie könnte ich
> sonst argumentieren, dass dieser Ausdruck >0 ist?
>
> Eine Idee meinerseits: Der obige Ausdruck ist stetig und er
> hat keine Nullstelle. Das bedeutet, dass entweder der
> gesamte Ausdruck für alpha beliebig größer 0 ist oder
> kleiner 0. Wenn ich nun einen Wert einsetze (z.B. 0) und
> der dazugehörige Wert positiv ist, muss der Ausdruck für
> alpha beliebig auch positiv sein.
>
> Ist diese Argumentation korrekt bzw. hat jemand einen
> anderen Lösungsvorschlag?
>
Wende auf den Ausdruck
[mm]4*\cos^{2}\left(\alpha\right)+3*\cos\left(\alpha\right)+2[/mm]
quadratische Ergänzung an und zeige,
daß dieser stets > 0 ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Di 14.06.2011 | | Autor: | kagu |
Alles klar, danke
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