Grad Isomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Mo 16.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | 1)R sei ein nullteilerfreier Ring.
z.z.: wenn g: R[X] [mm] \to [/mm] R[Y ] ein Ringisomorphismus ist, mit g(r) = r
für alle r [mm] \in [/mm] R, dann ist Grad(g(f)) = Grad(f) für alle f [mm] \in [/mm] R[X].
2) Jetzt sei R nicht mehr nullteilerfrei und versehen mit dem Produkt:
(a, b) · [mm] (a_{0}, b_{0}) [/mm] = (a · [mm] a_{0}, [/mm] a · [mm] b_{0} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] · b)
und der Summe
(a, b) + [mm] (a_{0}, b_{0}) [/mm] = (a + [mm] a_{0}, [/mm] b + [mm] b_{0})
[/mm]
Betrachten Sie den Ringhomomorphismus [mm] \Delta [/mm] : R[X] [mm] \to [/mm] R[Y ], der eindeutig
durch [mm] \Delta(r) [/mm] = r für alle r [mm] \in [/mm] R und [mm] \Delta(X) [/mm] = Y (1 + [mm] \varepsilon [/mm] Y ) =
Y [mm] +\varepsilon Y^2 [/mm] definiert ist. Zeigen Sie, dass [mm] \Delta [/mm] ein Isomorphismus ist. |
Hallo Leute,
Teil 1 erscheint mir iwie noch einleuchtend. Wenn ich einen Isomorphismus habe, ist dieser ja bijektiv, so dass jedes Element der Bildmenge von einem Element der Urbildmenge getroffen wird. Wenn jetzt alle Urbilder unter dem Isomorphismus gleich bleiben, so ist dies schonmal der Koeffizient von [mm] x^0 [/mm] usw.
Wenn ich mir jetzt aber Aufgabenteil 2 anschaue, verstehe ich gar nichts mehr. Soll / muss ich jetzt zeigen, dass es sich hierbei auch um einen Isomorphismus handelt, bei dem jedoch der Grad von [mm] \Delta [/mm] (f) gleich dem Grad f ist?!? Wenn ja, wie denn überhaupt?!?
Bitte helft mir mal ein wenig auf die Sprünge :-(
Viele Grüße
Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> 1)R sei ein nullteilerfreier Ring.
> z.z.: wenn g: R[X] [mm]\to[/mm] R[Y ] ein Ringisomorphismus ist, mit
> g(r) = r
> für alle r [mm]\in[/mm] R, dann ist Grad(g(f)) = Grad(f) für alle
> f [mm]\in[/mm] R[X].
>
> 2) Jetzt sei R nicht mehr nullteilerfrei und versehen mit
> dem Produkt:
> (a, b) · [mm](a_{0}, b_{0})[/mm] = (a · [mm]a_{0},[/mm] a · [mm]b_{0}[/mm] + [mm]a_{0}[/mm]
> · b)
Fehlt hier etwas von der Aufgabenstellung? Hier wird mit Tupeln gearbeitet. Kann es sein, dass ein Teil der Aufgabenstellung fehlt?
> und der Summe
> (a, b) + [mm](a_{0}, b_{0})[/mm] = (a + [mm]a_{0},[/mm] b + [mm]b_{0})[/mm]
>
> Betrachten Sie den Ringhomomorphismus [mm]\Delta[/mm] : R[X] [mm]\to[/mm] R[Y
> ], der eindeutig
> durch [mm]\Delta(r)[/mm] = r für alle r [mm]\in[/mm] R und [mm]\Delta(X)[/mm] = Y (1
> + [mm]\varepsilon[/mm] Y ) =
> Y [mm]+\varepsilon Y^2[/mm] definiert ist. Zeigen Sie, dass [mm]\Delta[/mm]
> ein Isomorphismus ist.
Was ist [mm] $\varepsilon$?
[/mm]
> Hallo Leute,
> Teil 1 erscheint mir iwie noch einleuchtend. Wenn ich einen
> Isomorphismus habe, ist dieser ja bijektiv, so dass jedes
> Element der Bildmenge von einem Element der Urbildmenge
> getroffen wird. Wenn jetzt alle Urbilder unter dem
> Isomorphismus gleich bleiben, so ist dies schonmal der
> Koeffizient von [mm]x^0[/mm] usw.
Ja. Jetzt musst du das nur noch formal korrekt beweisen. Schau dir mal das Bild von $X$ an, nennen wir es $h [mm] \in [/mm] R[X]$. Mit $h$ kannst du den kompletten Ringhomomorphismus eindeutig beschreiben (warum?).
Jetzt ueberleg dir: wenn [mm] $\deg [/mm] h < [mm] \deg [/mm] X = 1$ ist, geht etwas schief? (Stichwort: Injektivitaet)
Dann: wenn [mm] $\deg [/mm] h > [mm] \deg [/mm] X = 1$ ist, geht etwas schief?
Wenn [mm] $\deg [/mm] h = [mm] \deg [/mm] X = 1$ ist, kannst du damit die Behauptung folgern?
> Wenn ich mir jetzt aber Aufgabenteil 2 anschaue, verstehe
> ich gar nichts mehr. Soll / muss ich jetzt zeigen, dass es
> sich hierbei auch um einen Isomorphismus handelt, bei dem
> jedoch der Grad von [mm]\Delta[/mm] (f) gleich dem Grad f ist?!?
> Wenn ja, wie denn überhaupt?!?
> Bitte helft mir mal ein wenig auf die Sprünge :-(
Bei Teil 2 fehlt offenbar ein Teil der Aufgabenstellung. Du musst sie uns schon vollstaendig liefern.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 18.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
Hallo Felix,
bei Teil 2 fehlt meiner Meinung nach nichts in der Aufgabenstellung. R war in einer vorherigen Übung so definiert und soll jetzt so übernommen werden. Ich stimme dir zu, dass da was mit den Tupeln nicht stimmen kann (vllt verwirrt mich die Aufgabe auch deswegen so...).
Was das Epsilon sein soll, da bin ich mir ebenfalls unsicher, ist nicht weiter definiert - also wahrscheinlich ein Element des Körper?!?
Hmm, also offensichtlich ist diese Aufgabe so nicht wirklich zu lösen, oder?!
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan,
> bei Teil 2 fehlt meiner Meinung nach nichts in der
> Aufgabenstellung. R war in einer vorherigen Übung so
> definiert und soll jetzt so übernommen werden.
schreib die Definition doch mal hier hin. Da sollte auch stehen was [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.
Ich hab zwar einen Verdacht, was $R$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein soll, aber wir betreiben hier keine Wahrsagerei 
Ohne zu wissen was $R$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] genau ist kann man die Aufgabe zumindest nicht loesen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Mi 18.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
hmm, also hier steht folgendes:
Sei K ein Körper. Wir versehen [mm] R=K^2 [/mm] mit dem Produkt
(a, b) · $ [mm] (a_{0}, b_{0}) [/mm] $ = (a · $ [mm] a_{0}, [/mm] $ a · $ [mm] b_{0} [/mm] $ + $ [mm] a_{0} [/mm] $ · b)
und der Summe
(a, b) + $ [mm] (a_{0}, b_{0}) [/mm] $ = (a + $ [mm] a_{0}, [/mm] $ b + $ [mm] b_{0}) [/mm] $
Oh Kacke (sry), hier steht auch, dass [mm] \varepsilon [/mm] := (0,1) unser Nullteiler ist (war damals zu beweisen). So, dann ist also auch klar, was [mm] \varepsilon [/mm] ist
Hmm, mir hilft das trotzdem noch nicht wirklich viel weiter...dir denn?!
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
Nachdem jetzt geklaert ist was $R$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] sind zurueck zur Aufgabe.
Du definierst also [mm] $\Delta [/mm] : R[X] [mm] \to [/mm] R[Y]$ durch [mm] $\Delta(r) [/mm] = r$ und [mm] $\Delta(X) [/mm] = Y (1 + [mm] \varepsilon [/mm] Y)$.
Du muss jetzt zeigen, dass [mm] $\Delta$ [/mm] injektiv und surjektiv ist. Aber vorher ueberleg dir wie [mm] $\Delta$ [/mm] wirklich aussieht. Sei dazu $f = [mm] \sum_{k=0}^n r_i X^i \in [/mm] R[X]$ mit [mm] $\Delta(f) [/mm] = 0$. Es ist ja [mm] $\Delta(f) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n r_k Y^k [/mm] (1 + [mm] \varepsilon Y)^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} r_K Y^k \varepsilon^i Y^i$ [/mm] nach dem binomischen Lehrsatz. Was ist nun [mm] $\varepsilon^i$? [/mm] Dafuer gibt es genau drei zwei Moeglichkeiten ($i = 0$, $i = 1$, $i > 1$).
Versuch mal [mm] $\Delta(f)$ [/mm] schoen einfach anzugeben. Danach wird das mit der Injektivitaet und Surjektivitaet viel einfacher.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Do 19.11.2009 | | Autor: | StefanK. |
Hey,
also mit h kann ich den kompletten Ringhom. eindeutig beschreiben, da r unter der Abbildung gleich bleibt. Somit reicht es, ein spezielle Bild (= h) zu [mm] \vbetrachten. [/mm] (aber h [mm] \in [/mm] R[Y], oder? (du hattest h [mm] \in [/mm] R[X] geschrieben).
Also, wenn jetzt deg h < deg X ist, dann folgt daraus:
Es ex. ein j, j [mm] \in [/mm] R[Y] mit deg>0, s.d. deg j + deg h = deg X ist. Wenn also immer ein Urbild auf ein Bild mit kleinerem Grad abbildet, so muss es nach endlich vielen operationen zum Grad 0 kommen.
Sei also deg X = 1
=> unter der abbildung müsste nun ein kleinerer Grad erreicht werden, also deg h = o --> nach Vorraussetzung ist also g(r) = r
sei deg X = 0. unter g kann der grad im bildraum auch nur = 0 sein, was wieder g(r) = r implizieren würde
--> Widerspruch
auf ähnliche Weise könnte ich das auch für grad h > grad X machen.
Stimmt das bis hierhin?
2)
Deine Erklärung zu 2) verstehe ich allerdings nur bedingt. Der binomische Lehrsatz erscheint mir sinnvoll, aber wieso interessiert mich nur [mm] \varepsilon^i [/mm] ?
also wenn i = 0, so ist [mm] \varepsilon^0 [/mm] = 1
wenn i = 1, so ist [mm] \varepsilon^1 [/mm] der Nullteiler und der Teil der Summe verschwindet.
wenn i>1 ist, so ist [mm] \varepsilon^i [/mm] = [mm] \varepsilon^1 [/mm] * [mm] \varepsilon^1... [/mm] auch wiederum Nullteiler.
Im Endeffekt bleibt also nur $ [mm] \Delta(f) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n r_k Y^k [/mm] (1 + [mm] \varepsilon Y)^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] k [mm] r_K Y^k [/mm] stehen, oder?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also mit h kann ich den kompletten Ringhom. eindeutig
> beschreiben, da r unter der Abbildung gleich bleibt. Somit
> reicht es, ein spezielle Bild (= h) zu betrachten. (aber
> h [mm]\in[/mm] R[Y], oder? (du hattest h [mm]\in[/mm] R[X] geschrieben).
Wo habe ich $h [mm] \in [/mm] R[X]$ geschrieben?!
> Also, wenn jetzt deg h < deg X ist, dann folgt daraus:
> Es ex. ein j, j [mm]\in[/mm] R[Y] mit deg>0, s.d. deg j + deg h =
> deg X ist.
Was soll $X$ in $R[Y]$ machen? Was machst du da?
> Wenn also immer ein Urbild auf ein Bild mit
> kleinerem Grad abbildet, so muss es nach endlich vielen
> operationen zum Grad 0 kommen.
> Sei also deg X = 1
> => unter der abbildung müsste nun ein kleinerer Grad
> erreicht werden, also deg h = o --> nach Vorraussetzung ist
> also g(r) = r
> sei deg X = 0. unter g kann der grad im bildraum auch nur
> = 0 sein, was wieder g(r) = r implizieren würde
> --> Widerspruch
> auf ähnliche Weise könnte ich das auch für grad h >
> grad X machen.
>
> Stimmt das bis hierhin?
Ich verstehe nicht, was du da machst.
> 2)
> Deine Erklärung zu 2) verstehe ich allerdings nur
> bedingt. Der binomische Lehrsatz erscheint mir sinnvoll,
> aber wieso interessiert mich nur [mm]\varepsilon^i[/mm] ?
> also wenn i = 0, so ist [mm]\varepsilon^0[/mm] = 1
Ja.
> wenn i = 1, so ist [mm]\varepsilon^1[/mm] der Nullteiler und der
> Teil der Summe verschwindet.
Wieso das?!?!?!? [mm] $\varepsilon \neq [/mm] 0$.
> wenn i>1 ist, so ist [mm]\varepsilon^i[/mm] = [mm]\varepsilon^1[/mm] *
> [mm]\varepsilon^1...[/mm] auch wiederum Nullteiler.
Ja, aber man kann genau sagen welches Element [mm] $\varepsilon^i$ [/mm] ist fuer $i > 1$.
> Im Endeffekt bleibt also nur $ [mm]\Delta(f)[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n r_k Y^k[/mm]
> (1 + [mm]\varepsilon Y)^k[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] k [mm]r_K Y^k[/mm] stehen,
> oder?
Nein.
LG Felix
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