Grad Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 So 15.12.2013 | | Autor: | Belleci |
| Aufgabe | Sei z [mm] \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} [/mm] algebraisch vom Grad n über [mm] \mathbb{Q}. [/mm] Zeige:
a) [mm] [\mathbb{Q}[z, \overline{z}]:[\mathbb{Q}[z+ \overline{z}]] \ge [/mm] 2.
b) Re(z) ist albegraisch vom Grad [mm] \le [/mm] n(n-1)/2 über [mm] \mathbb{Q}. [/mm] |
Hallo,
ich weiß bei der Aufgabe gerade insgesamt nicht so wirklich, wie ich die lösen kann, ich komme auf keinen Ansatz.
Kann mir da bitte wer helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 15.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei z [mm]\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}[/mm] algebraisch vom
> Grad n über [mm]\mathbb{Q}.[/mm] Zeige:
> a) [mm][\mathbb{Q}[z, \overline{z}]:[\mathbb{Q}[z+ \overline{z}]] \ge[/mm]
> 2.
Der Grad einer Koerpererweiterung ist eine ganze Zahl [mm] $\ge [/mm] 1$. Wenn du also zeigen sollst, dass der Grad [mm] $\ge [/mm] 2$ ist, musst du nur zeigen dass er nicht 1 sein kann. Was bedeutet es, wenn er 1 ist?
> b) Re(z) ist albegraisch vom Grad [mm]\le[/mm] n(n-1)/2 über
> [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
Kannst du $Re(z)$ durch $z$ und [mm] $\overline{z}$ [/mm] ausdruecken?
Wenn ja, schau dir mehrere passende Koerpererweiterungen an und schaetze jeweils die Grade zwischen ihnen ab, um schliesslich eine Abschaetzung der Art [mm] $[\IQ(Re(z)) [/mm] : [mm] \IQ] \le [/mm] ...$ zu bekommen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo Felix,
danke für deine Antwort.
> Der Grad einer Koerpererweiterung ist eine ganze Zahl [mm]\ge 1[/mm].
> Wenn du also zeigen sollst, dass der Grad [mm]\ge 2[/mm] ist, musst
> du nur zeigen dass er nicht 1 sein kann.
Ja klar, an sowas offensichtliches denke ich natürlich nicht. *Kopf auf den Tisch knall*
> Was bedeutet es,
> wenn er 1 ist?
Der Grad kann nur 1 sein bei der Identität.
>
> > b) Re(z) ist albegraisch vom Grad [mm]\le[/mm] n(n-1)/2 über
> > [mm]\mathbb{Q}.[/mm]
>
> Kannst du [mm]Re(z)[/mm] durch [mm]z[/mm] und [mm]\overline{z}[/mm] ausdruecken?
>
> Wenn ja, schau dir mehrere passende Koerpererweiterungen an
> und schaetze jeweils die Grade zwischen ihnen ab, um
> schliesslich eine Abschaetzung der Art [mm][\IQ(Re(z)) : \IQ] \le ...[/mm]
> zu bekommen.
>
Habe jetzt beide Teile gelöst,
vielen Dank nochmal. =)
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