Grad einer Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Mi 07.07.2010 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | | Sei B ein Unterring (mit 1) eines Integritätsbereiches A, bezeichne mit F und E die entsprechenden Quotientenkörper. Sei E/F eine endliche Erweiterung. Wenn das B-Modul A frei vom Rang r ist, dann ist [E:F] = r. |
Hi
Ich habe hier einen Ansatz den ich aber nicht ganz verstehe:
Seien [mm] $f_1,...,f_r$ [/mm] Erzeuger von A. $c = [mm] \summe_{i=1}^{r} c_i f_i, [/mm] d = [mm] \summe_{i=1}^{r} d_i f_i$
[/mm]
Erzeuger:
[mm] $F[f_1,...,f_r]$ [/mm] ist ein Körper da [mm] $f_1,...,f_r$ [/mm] algebraisch
[mm] $\Rightarrow f_i^n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{r} b_i f_i$ [/mm]
linear unabhängig:
[mm] $\summe \bruch{c_i}{d_i} \bruch{f_i}{1} [/mm] = 0$ [mm] $|*\produkt d_i$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] alle [mm] $c_i [/mm] = 0$
Wieso ist [mm] $F[f_1,...,f_r]$ [/mm] ein Körper? Warum sind die [mm] $f_1,...,f_r$ [/mm] algebraisch?
Wie kommen wir auf die Formel bei linear unabhängig? Wieso folgt daraus dass alle [mm] $c_i [/mm] = 0$?
Vielen Dank schon im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei B ein Unterring (mit 1) eines Integritätsbereiches A,
> bezeichne mit F und E die entsprechenden Quotientenkörper.
> Sei E/F eine endliche Erweiterung. Wenn das B-Modul A frei
> vom Rang r ist, dann ist [E:F] = r.
>
> Ich habe hier einen Ansatz den ich aber nicht ganz
> verstehe:
> Seien [mm]f_1,...,f_r[/mm] Erzeuger von A. [mm]c = \summe_{i=1}^{r} c_i f_i, d = \summe_{i=1}^{r} d_i f_i[/mm]
Du meinst: sei [mm] $f_1, \ots, f_r$ [/mm] eine $B$-Basis von $A$.
> Erzeuger:
> [mm]F[f_1,...,f_r][/mm] ist ein Körper da [mm]f_1,...,f_r[/mm] algebraisch
> [mm]\Rightarrow f_i^n = \summe_{i=1}^{r} b_i f_i[/mm]
> linear unabhängig:
> [mm]\summe \bruch{c_i}{d_i} \bruch{f_i}{1} = 0[/mm] [mm]|*\produkt d_i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] alle [mm]c_i = 0[/mm]
Du verwendest einige Buchstaben doppelt. Das ist ein ziemliches Chaos.
>
>
> Wieso ist [mm]F[f_1,...,f_r][/mm] ein Körper? Warum sind die
> [mm]f_1,...,f_r[/mm] algebraisch?
Nun, $E/F$ ist eine endliche Erweiterung. Sprich, jedes Element aus $E$ ist algebraisch ueber $F$. Und die [mm] $f_1, \dots, f_r$ [/mm] liegen in $E$.
Und dass es ein Koerper ist liegt daran, dass du endlich viele algebraische Elemente adjungierst.
> Wie kommen wir auf die Formel bei linear unabhängig?
> Wieso folgt daraus dass alle [mm]c_i = 0[/mm]?
Nun, du hast eine Gleichung [mm] $\sum_{i=1}^r \frac{c_i}{d_i} f_i [/mm] = 0$ mit [mm] $c_i, d_i \in [/mm] B$, [mm] $d_i \neq [/mm] 0$. Du willst jetzt zeigen, dass [mm] $\frac{c_i}{d_i} [/mm] = 0$ ist fuer alle $i$.
Wenn du [mm] $\sum_{i=1}^r \frac{c_i}{d_i} f_i [/mm] = 0$ mit [mm] $\prod_{i=1}^d d_i$ [/mm] multiplizierst, bekommst du [mm] $\sum_{i=1}^r c_i \hat{d}_i f_i [/mm] = 0$ mit [mm] $\hat{d}_i [/mm] := [mm] \prod_{j=1 \atop j \neq i}^d d_j \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$.
[/mm]
Da die [mm] $f_i$ [/mm] $B$-linear unabhaengig sind, folgt [mm] $c_i \hat{d}_i [/mm] = 0$ fuer alle $i$. Da $B$ integer ist und [mm] $\hat{d}_i \neq [/mm] 0$, folgt [mm] $c_i [/mm] = 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 07.07.2010 | | Autor: | algieba |
Hi felixf
Danke für deine Antwort! Ich habe jetzt den Beweis für die lineare Unabhängigkeit verstanden, aber wieso reicht es denn überhaupt bei den Erzeugern zu sagen dass [mm]F[f_1,...,f_r][/mm] ein Körper ist, und deshalb [mm] f_i^n = \summe_{i=1}^{r} b_i f_i[/mm]?
Wieso folgt denn aus diesem Beweis jetzt überhaupt die Behauptung, dass [E:F] = r?
Viele Grüße
algieba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Do 08.07.2010 | | Autor: | PeterB |
Hi algiba
> Danke für deine Antwort! Ich habe jetzt den Beweis für
> die lineare Unabhängigkeit verstanden, aber wieso reicht
> es denn überhaupt bei den Erzeugern zu sagen dass
> [mm]F[f_1,...,f_r][/mm] ein Körper ist, und deshalb [mm]f_i^n = \summe_{i=1}^{r} b_i f_i[/mm]?
In diesem schritt ist meiner Meinung nach der Folgepfeil falsch: Um zu zeigen, dass [mm] $f_1,...f_r$ [/mm] eine Basis von [mm] $F[f_1,...f_r]$ [/mm] ist. Fehlt noch das es sich um ein Erzeugendensystem als $F$-Vektorraum handelt. Das ist aber nicht so schwierig, denn $1, [mm] f_i, f_i f_j,...$ [/mm] (i.e. Monome in den [mm] $f_i$) [/mm] erzeugen den Körper per Definition als $F$-Vektorraum. Aber diese Ausdrücke liegen sämtlich in $A$ können also sogar als $B$-lineare Kombination der [mm] $f_i$ [/mm] geschrieben werden. Das ist wohl die Bedeutung dieser Zeile.
>
> Wieso folgt denn aus diesem Beweis jetzt überhaupt die
> Behauptung, dass [E:F] = r?
Jetzt fehlt noch: [mm] E=F[f_1,...,f_r], [/mm] das ist aber nicht so hart.
Gruß
Peter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:14 Do 08.07.2010 | | Autor: | algieba |
Hi
Danke für die Antwort
>
> In diesem schritt ist meiner Meinung nach der Folgepfeil
> falsch: Um zu zeigen, dass [mm]f_1,...f_r[/mm] eine Basis von
> [mm]F[f_1,...f_r][/mm] ist. Fehlt noch das es sich um ein
> Erzeugendensystem als [mm]F[/mm]-Vektorraum handelt. Das ist aber
> nicht so schwierig, denn [mm]1, f_i, f_i f_j,...[/mm] (i.e. Monome
> in den [mm]f_i[/mm]) erzeugen den Körper per Definition als
> [mm]F[/mm]-Vektorraum. Aber diese Ausdrücke liegen sämtlich in [mm]A[/mm]
> können also sogar als [mm]B[/mm]-lineare Kombination der [mm]f_i[/mm]
> geschrieben werden. Das ist wohl die Bedeutung dieser
> Zeile.
Was mir jetzt noch nicht klar ist:
Wir adjungieren ja zu F (= Quot(B)) [mm] $f_1,...,f_r$ [/mm] Damit wird F doch größer. Wie kann es jetzt aber sein, dass wir später zeigen wollen das [mm]E=F[f_1,...,f_r][/mm] wo doch [E:F] eine endliche Erweiterung ist, also E kleiner als F ist? Wie zeige ich denn, das [mm]E=F[f_1,...,f_r][/mm]?
Und wieso erzeugen die [mm] $f_i$ [/mm] die ja Erzeuger von A sind, auch ohne weiteres den Quotientenkörper von B. Wir können damit doch nicht alle Brüche aus F erzeugen?
Könnte mir vielleicht jemand den Beweis einigermaßen aufschreiben? Ich muss morgen einen Seminarvortrag halten, und verzweifel bisher noch an dieser Aufgabe.
Viele Grüße
algieba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 08.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo algiebia,
vollständig kann ich deine Frage nicht beantworten. So wie es in deiner Frage da steht, scheinst Du Erweiterungskörper und Körper zu verwechseln.
> Hi
>
> Danke für die Antwort
>
>
>
> >
> > In diesem schritt ist meiner Meinung nach der Folgepfeil
> > falsch: Um zu zeigen, dass [mm]f_1,...f_r[/mm] eine Basis von
> > [mm]F[f_1,...f_r][/mm] ist. Fehlt noch das es sich um ein
> > Erzeugendensystem als [mm]F[/mm]-Vektorraum handelt. Das ist aber
> > nicht so schwierig, denn [mm]1, f_i, f_i f_j,...[/mm] (i.e. Monome
> > in den [mm]f_i[/mm]) erzeugen den Körper per Definition als
> > [mm]F[/mm]-Vektorraum. Aber diese Ausdrücke liegen sämtlich in [mm]A[/mm]
> > können also sogar als [mm]B[/mm]-lineare Kombination der [mm]f_i[/mm]
> > geschrieben werden. Das ist wohl die Bedeutung dieser
> > Zeile.
>
> Was mir jetzt noch nicht klar ist:
> Wir adjungieren ja zu F (= Quot(B)) [mm]f_1,...,f_r[/mm] Damit wird
> F doch größer. Wie kann es jetzt aber sein, dass wir
> später zeigen wollen das [mm]E=F[f_1,...,f_r][/mm] wo doch [E:F]
> eine endliche Erweiterung ist, also E kleiner als F ist?
F = Quot(B) und E = Quot(A)
B Unterring von A
F Unterkörper von E
A ist freier B-Modul vom Rang r
Finde Dimension von E als F-Vektorraum
> Wie zeige ich denn, das [mm]E=F[f_1,...,f_r][/mm]?
> Und wieso erzeugen die [mm]f_i[/mm] die ja Erzeuger von A sind,
> auch ohne weiteres den Quotientenkörper von B. Wir können
> damit doch nicht alle Brüche aus F erzeugen?
>
> Könnte mir vielleicht jemand den Beweis einigermaßen
> aufschreiben? Ich muss morgen einen Seminarvortrag halten,
> und verzweifel bisher noch an dieser Aufgabe.
>
> Viele Grüße
> algieba
>
>
Grüße meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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