Grad einer Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo alle zusammen,
ich habe eine kleine Frage zu Körpererweiterungen und ich hoffe, mir kann jemand helfen:
Was ist der Grad der Körpererweiterung von [mm] K^+:=\IQ[\zeta_7+\zeta_7^6] [/mm] über [mm] \IQ?
[/mm]
Leider war meine Suche nach einem Minimalpolynom erfolglos, aber ich schreibe mal kurz meine Gedanken dazu auf:
Mir ist klar, dass die Körpererweiterung [mm] [\IQ[\zeta_7]:\IQ] [/mm] Grad 6 hat (Minimalpolynom [mm] x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1). [/mm] Da K^+ ein Zwischenkörper dieser Erweiterung ist, gilt nach nach dem Gradsatz: [mm] 6=[\IQ[\zeta_7]:\IQ] [/mm] = [mm] [\IQ[\zeta_7]:K^+] \cdot [K^+:\IQ]. [/mm] Weil aber K^+ von den beiden anderen Körpern verschieden ist, muss entweder [mm] [K^+:\IQ]=2 [/mm] oder [mm] [K^+:\IQ]=3 [/mm] gelten.
Das schränkt die Möglichkeiten bei der suche zwar ein, aber ein Minimalpolynom habe ich nicht gefunden. Ich habe auch erfolglos probiert das Minimalpolynom von [mm] [\IQ[\zeta_7]:K^+] [/mm] zu finden, womit man ja mit der Gradformel dann auch den Grad der anderen Erweiterung herausbekommen könnte.
Es wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße
Steffi
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Es sei [mm]\omega = \zeta_7[/mm] eine primitive siebte Einheitswurzel. Es gilt also
(*) [mm]\omega^7 = 1[/mm]
Gesucht ist das Minimalpolynom von
[mm]\vartheta = \omega + \omega^6[/mm]
Man kann nun die Potenzen von [mm]\vartheta[/mm] in Potenzen von [mm]\omega[/mm] ausdrücken, immer wieder jeden Exponenten >6 mittels (*) unter 7 drückend.
[mm]\vartheta = \omega + \omega^6[/mm]
[mm]\vartheta^2 = \omega^5 + \omega^2 + 2[/mm]
[mm]\vartheta^3 = 3 \omega^6 + \omega^4 + \omega^3 + 3 \omega[/mm]
Und jetzt kannst du mittels einer ganzzahligen Linearkombination von [mm]1, \vartheta, \vartheta^2, \vartheta^3[/mm] die Summe
[mm]1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 + \omega^5 + \omega^6 = 0[/mm]
erzeugen. Die Potenzen [mm]\omega^5[/mm] und [mm]\omega^2[/mm] können nur von [mm]\vartheta^2[/mm] kommen, die Potenzen [mm]\omega^4[/mm] und [mm]\omega^3[/mm] nur von [mm]\vartheta^3[/mm]. Dann muß man am Schluß noch korrigierend mit [mm]\vartheta[/mm] eingreifen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 So 28.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Steffi!
Mit ein wenig Galoistheorie kann man auch ganz ohne Rechnen zeigen, dass der Grad 3 ist:
sei $a := [mm] \zeta_7 [/mm] + [mm] \zeta_7^6 [/mm] = [mm] \zeta_7 [/mm] + [mm] \zeta_7^{-1} [/mm] = [mm] \zeta_7 [/mm] + [mm] \overline{\zeta_7}$. [/mm] Damit liegt $a$ offenbar im Fixkoerper der Untergruppe [mm] $\langle \sigma \rangle$ [/mm] von [mm] $Gal(\IQ[\zeta_7] [/mm] / [mm] \IQ)$, [/mm] wobei [mm] $\sigma$ [/mm] der durch die komplexe Konjugation induzierte Automorphismus ist. Damit hat [mm] $\sigma$ [/mm] die Ordnung 2, womit [mm] $\IQ[a]$ [/mm] ein Unterkoerper von $K' := [mm] Fix(\langle \sigma \rangle)$ [/mm] ist. Da $[K' : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \frac{[\IQ[\zeta_7] : \IQ]}{|\langle \sigma \rangle|} [/mm] = [mm] \frac{6}{2} [/mm] = 3$ ist, und der Grad von [mm] $\IQ[a]$ [/mm] nach dem Gradsatz ein Teiler von $[K' : [mm] \IQ]$ [/mm] ist, folgt $[K[a] : [mm] \IQ] \in \{ 1, 3 \}$.
[/mm]
LG Felix
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Vielen Dank für die Antworten. Das mit der Galois-Theorie habe ich erstanden, bin aber nicht auf die Idee gekommen. Die andere Lösung sieht auch vielversprechend aus. Das werde ich auch mal ausprobieren. Also nochmals vielen Dank euch beiden.
Steffi
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