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| Aufgabe | a) Es seien [mm] A,B,\alpha [/mm] >0. Sei f: [mm] \IC\to \IC [/mm] ganz und es gelte |f(z)| [mm] \le A+B|z|^\alpha [/mm] für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Zeigen Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a] beträgt.
b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm] \IC \setminus [/mm] {0} [mm] \to \IC [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] |g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm] |
Hallo 
zu Aufgabe a)
ich weiß, dass f holomorph und beschränkt ist, aber was genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm] \IC [/mm] oder Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
zu Aufgabe b)
kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man hier was mit Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
Vielen Dank
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Hiho,
> ich weiß, dass f holomorph und beschränkt ist, aber was
> genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> Funktionen?
Ich zitiere:
> a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0
Damit sind [mm] $A,B,\alpha$ [/mm] insbesondere Elemente aus [mm] $\IR$.
[/mm]
> Die Klammern in denen a steht
1.) Was ist a? Ich vermute du meinst [mm] $\alpha$
[/mm]
> sind übrigens oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur nicht ).
Doch: \lfloor und \rfloor und zusammen ergibt das dann [mm] $\lfloor\alpha\rfloor$ [/mm]
> Was bedeutet dieses Zeichen dann?
Die größte ganzzahlige Zahl, die kleiner ist als [mm] $\alpha$ [/mm] oder lapidar gesagt: Runde [mm] $\alpha$ [/mm] ab.
> zu Aufgabe b)
> kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man hier was mit
> Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
Multipliziere mit [mm] $\sqrt{|z|}$ [/mm] und wende a) an.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mi 15.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0. Sei f: [mm]\IC\to \IC[/mm] ganz und es
> gelte |f(z)| [mm]\le A+B|z|^\alpha[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen
> Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a]
> beträgt.
> b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm]\IC \setminus[/mm]
> {0} [mm]\to \IC[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm]
> Hallo
>
> zu Aufgabe a)
> ich weiß, dass f holomorph und beschränkt ist,
Hmmm...., da weißt Du etwas, das gar nicht stimmt !
Nimm mal f(z)=z
f ist holomorph auf [mm] \IC, [/mm] das stimmt, aber beschränkt .... ?
> aber was
> genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens
> oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur
> nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
Das hat Gono Dir gesagt.
>
> zu Aufgabe b)
> kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man hier was mit
> Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
Die Aufgabe hat es in sich...
Der Vorschlag von Gono ist in meinen Augen nicht brauchbar, denn multiplizieren wir mit [mm] \wurzel{|z|} [/mm] durch, so bekommen wir
[mm] \wurzel{|z|}|g(z)| \le [/mm] 1+|z| für z [mm] \ne [/mm] 0.
Wenn wir nun a) anwenden wollen, brauchen wir eine ganze Funktion f. Aber welch soll das sein ? Es bietet sich natürlich [mm] \wurzel{z}g(z) [/mm] an. Das macht aber Probleme, denn g ist in 0 nicht definiert und welche (holomorphe) Wurzel nehmen wir .. ?
Wir multiplizieren mit z durch und bekommen, mit h(z):=zg(z):
(*) $ |h(z)| [mm] \le [/mm] z [mm] \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}$ [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0.
Edit: es lautet natürlich so:
(*) $ |h(z)| [mm] \le [/mm] |z| [mm] \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}$ [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0.
h hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, mit (*), dass diese Singularität hebbar ist.
h kann also durch h(0):=0 zu einer ganzen Funktion fortgesetzt werden.
Für z [mm] \ne [/mm] 0 ist
[mm] g(z)=\bruch{h(z)}{z}=\bruch{h(z)-h(0)}{z-0} \to [/mm] h'(0) für z [mm] \to [/mm] 0.
g hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, dass diese Singularität hebbar ist.
g kann also durch g(0):=h'(0) zu einer ganzen Funktion fortgesetzt werden.
g ist dann auf [mm] \{z \in \IC: |z| \le 1 \} [/mm] beschränkt. Es gibt also ein c>0 mit
|g(z)| [mm] \le [/mm] c für |z| [mm] \le [/mm] 1,
also auch
|g(z)| [mm] \le [/mm] c +|z| für |z| [mm] \le [/mm] 1.
Für |z| [mm] \ge [/mm] 1 folgt aus $ [mm] |g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm] $:
|g(z)| [mm] \le 1+\sqrt{|z|} \le [/mm] 1+|z|.
Setzt man A:= [mm] \max\{1,c\}, [/mm] so folgt
|g(z)| [mm] \le [/mm] A+|z| für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Jetzt können wir a) anwenden und sehen: es gibt a,b [mm] \in \IC [/mm] mit:
g(z)=a+bz.
Jetzt müssen wir noch genaueres über a und b rauskitzeln.
Aus
$ [mm] |a+bz|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm] $ für z [mm] \ne [/mm] 0
folgt
$ [mm] |a+bz^2|\le |z|+\frac{1}{|z|} [/mm] $ für z [mm] \ne [/mm] 0
Das liefert
[mm] $|az+bz^3| \le 1+|z|^2$ [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0.
Mit z [mm] \to [/mm] 0 sieht man dann
[mm] $|az+bz^3| \le 1+|z|^2$ [/mm] für alle z .
Aufgabenteil a) liefert nun b=0. Das hat zur Folge
$ [mm] |a|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm] $ für z [mm] \ne [/mm] 0
oder
$|a| [mm] \le \bruch{1}{r}+r$ [/mm] für alle r>0
Überlege Dir: [mm] \min\{ \bruch{1}{r}+r: r>0\}=2.
[/mm]
Welche Funktionen g sind nun die gesuchten ?
FRED
>
>
> Vielen Dank
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> > a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0. Sei f: [mm]\IC\to \IC[/mm] ganz und es
> > gelte |f(z)| [mm]\le A+B|z|^\alpha[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen
> > Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a]
> > beträgt.
> > b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm]\IC \setminus[/mm]
> > {0} [mm]\to \IC[/mm] mit der Eigenschaft
> > [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm]
> > Hallo
>
> >
> > zu Aufgabe a)
> > ich weiß, dass f holomorph und beschränkt ist,
>
> Hmmm...., da weißt Du etwas, das gar nicht stimmt !
>
> Nimm mal f(z)=z
>
> f ist holomorph auf [mm]\IC,[/mm] das stimmt, aber beschränkt ....
> ?
>
>
>
>
> > aber was
> > genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> > Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens
> > oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur
> > nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
>
> Das hat Gono Dir gesagt.
>
>
> >
> > zu Aufgabe b)
> > kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man hier was mit
> > Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> > schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
>
> Die Aufgabe hat es in sich...
>
> Der Vorschlag von Gono ist in meinen Augen nicht brauchbar,
> denn multiplizieren wir mit [mm]\wurzel{|z|}[/mm] durch, so bekommen
> wir
>
> [mm]\wurzel{|z|}|g(z)| \le[/mm] 1+|z| für z [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Wenn wir nun a) anwenden wollen, brauchen wir eine ganze
> Funktion f. Aber welch soll das sein ? Es bietet sich
> natürlich [mm]\wurzel{z}g(z)[/mm] an. Das macht aber Probleme,
> denn g ist in 0 nicht definiert und welche (holomorphe)
> Wurzel nehmen wir .. ?
>
>
> Wir multiplizieren mit z durch und bekommen, mit
> h(z):=zg(z):
>
> (*) [mm]|h(z)| \le z \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
Warum?
Ich erhalte da für
[mm] |h(z)|\le\wurzel{|z|}*z+\frac{z}{\wurzel{|z|}}
[/mm]
>
> h hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, mit (*),
> dass diese Singularität hebbar ist.
Ok ich setzt mich gleich ran 
>
> h kann also durch h(0):=0 zu einer ganzen Funktion
> fortgesetzt werden.
>
> Für z [mm]\ne[/mm] 0 ist
>
> [mm]g(z)=\bruch{h(z)}{z}=\bruch{h(z)-h(0)}{z-0} \to[/mm] h'(0)
> für z [mm]\to[/mm] 0.
>
> g hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, dass
> diese Singularität hebbar ist.
>
> g kann also durch g(0):=h'(0) zu einer ganzen Funktion
> fortgesetzt werden.
>
> g ist dann auf [mm]\{z \in \IC: |z| \le 1 \}[/mm] beschränkt. Es
> gibt also ein c>0 mit
>
> |g(z)| [mm]\le[/mm] c für |z| [mm]\le[/mm] 1,
>
> also auch
>
> |g(z)| [mm]\le[/mm] c +|z| für |z| [mm]\le[/mm] 1.
>
> Für |z| [mm]\ge[/mm] 1 folgt aus [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm]:
>
> |g(z)| [mm]\le 1+\sqrt{|z|} \le[/mm] 1+|z|.
>
> Setzt man A:= [mm]\max\{1,c\},[/mm] so folgt
>
> |g(z)| [mm]\le[/mm] A+|z| für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Jetzt können wir a) anwenden und sehen: es gibt a,b [mm]\in \IC[/mm]
> mit:
>
> g(z)=a+bz.
>
> Jetzt müssen wir noch genaueres über a und b
> rauskitzeln.
>
>
> Aus
>
> [mm]|a+bz|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
>
> folgt
>
> [mm]|a+bz^2|\le |z|+\frac{1}{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
>
> Das liefert
>
> [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Mit z [mm]\to[/mm] 0 sieht man dann
>
> [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z .
>
> Aufgabenteil a) liefert nun b=0.
Das verstehe ich leider noch nicht, warum b=0?
> Das hat zur Folge
>
> [mm]|a|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
>
> oder
>
> [mm]|a| \le \bruch{1}{r}+r[/mm] für alle r>0
>
> Überlege Dir: [mm]\min\{ \bruch{1}{r}+r: r>0\}=2.[/mm]
>
> Welche Funktionen g sind nun die gesuchten ?
>
> FRED
>
>
> >
> >
> > Vielen Dank
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Do 16.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0. Sei f: [mm]\IC\to \IC[/mm] ganz und es
> > > gelte |f(z)| [mm]\le A+B|z|^\alpha[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen
> > > Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a]
> > > beträgt.
> > > b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm]\IC \setminus[/mm]
> > > {0} [mm]\to \IC[/mm] mit der Eigenschaft
> > > [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm]
> > >
> Hallo
> >
> > >
> > > zu Aufgabe a)
> > > ich weiß, dass f holomorph und beschränkt ist,
> >
> > Hmmm...., da weißt Du etwas, das gar nicht stimmt !
> >
> > Nimm mal f(z)=z
> >
> > f ist holomorph auf [mm]\IC,[/mm] das stimmt, aber beschränkt ....
> > ?
> >
> >
> >
> >
> > > aber was
> > > genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> > > Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens
> > > oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur
> > > nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
> >
> > Das hat Gono Dir gesagt.
> >
> >
> > >
> > > zu Aufgabe b)
> > > kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man hier was
> mit
> > > Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> > > schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
> >
> > Die Aufgabe hat es in sich...
> >
> > Der Vorschlag von Gono ist in meinen Augen nicht brauchbar,
> > denn multiplizieren wir mit [mm]\wurzel{|z|}[/mm] durch, so bekommen
> > wir
> >
> > [mm]\wurzel{|z|}|g(z)| \le[/mm] 1+|z| für z [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Wenn wir nun a) anwenden wollen, brauchen wir eine ganze
> > Funktion f. Aber welch soll das sein ? Es bietet sich
> > natürlich [mm]\wurzel{z}g(z)[/mm] an. Das macht aber Probleme,
> > denn g ist in 0 nicht definiert und welche (holomorphe)
> > Wurzel nehmen wir .. ?
> >
> >
> > Wir multiplizieren mit z durch und bekommen, mit
> > h(z):=zg(z):
> >
> > (*) [mm]|h(z)| \le z \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
Ich hatte mich oben verschrieben. Es lautet natürlich
(*) $ |h(z)| [mm] \le [/mm] |z| [mm] \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}$ [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0.
>
> Warum?
> Ich erhalte da für
> [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*z+\frac{z}{\wurzel{|z|}}[/mm]
Es soll so lauten (Beträge !)
[mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*|z|+\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}[/mm]
Weiter ist [mm] \frac{|z|}{\wurzel{|z|}}=\wurzel{|z|}
[/mm]
> >
> > h hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, mit (*),
> > dass diese Singularität hebbar ist.
> Ok ich setzt mich gleich ran
> >
> > h kann also durch h(0):=0 zu einer ganzen Funktion
> > fortgesetzt werden.
> >
> > Für z [mm]\ne[/mm] 0 ist
> >
> > [mm]g(z)=\bruch{h(z)}{z}=\bruch{h(z)-h(0)}{z-0} \to[/mm] h'(0)
> > für z [mm]\to[/mm] 0.
> >
> > g hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, dass
> > diese Singularität hebbar ist.
> >
> > g kann also durch g(0):=h'(0) zu einer ganzen Funktion
> > fortgesetzt werden.
> >
> > g ist dann auf [mm]\{z \in \IC: |z| \le 1 \}[/mm] beschränkt. Es
> > gibt also ein c>0 mit
> >
> > |g(z)| [mm]\le[/mm] c für |z| [mm]\le[/mm] 1,
> >
> > also auch
> >
> > |g(z)| [mm]\le[/mm] c +|z| für |z| [mm]\le[/mm] 1.
> >
> > Für |z| [mm]\ge[/mm] 1 folgt aus [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm]:
>
> >
> > |g(z)| [mm]\le 1+\sqrt{|z|} \le[/mm] 1+|z|.
> >
> > Setzt man A:= [mm]\max\{1,c\},[/mm] so folgt
> >
> > |g(z)| [mm]\le[/mm] A+|z| für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> >
> > Jetzt können wir a) anwenden und sehen: es gibt a,b [mm]\in \IC[/mm]
> > mit:
> >
> > g(z)=a+bz.
> >
> > Jetzt müssen wir noch genaueres über a und b
> > rauskitzeln.
> >
> >
> > Aus
> >
> > [mm]|a+bz|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> >
> > folgt
> >
> > [mm]|a+bz^2|\le |z|+\frac{1}{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> >
> > Das liefert
> >
> > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Mit z [mm]\to[/mm] 0 sieht man dann
> >
> > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z .
> >
> > Aufgabenteil a) liefert nun b=0.
> Das verstehe ich leider noch nicht, warum b=0?
Aus [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z folgt mit a):
[mm] az+bz^3 [/mm] ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 2.
Dann muss b=0 sein
FRED
> > Das hat zur Folge
> >
> > [mm]|a|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> >
> > oder
> >
> > [mm]|a| \le \bruch{1}{r}+r[/mm] für alle r>0
> >
> > Überlege Dir: [mm]\min\{ \bruch{1}{r}+r: r>0\}=2.[/mm]
> >
> > Welche Funktionen g sind nun die gesuchten ?
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > >
> > > Vielen Dank
> >
>
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> > > > a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0. Sei f: [mm]\IC\to \IC[/mm] ganz und es
> > > > gelte |f(z)| [mm]\le A+B|z|^\alpha[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen
> > > > Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a]
> > > > beträgt.
> > > > b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm]\IC \setminus[/mm]
> > > > {0} [mm]\to \IC[/mm] mit der Eigenschaft
> > > > [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm]
> > >
> >
> > Hallo
> > >
> > > >
> > > > zu Aufgabe a)
> > > > ich weiß, dass f holomorph und beschränkt ist,
> > >
> > > Hmmm...., da weißt Du etwas, das gar nicht stimmt !
> > >
> > > Nimm mal f(z)=z
> > >
> > > f ist holomorph auf [mm]\IC,[/mm] das stimmt, aber beschränkt ....
> > > ?
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > aber was
> > > > genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> > > > Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens
> > > > oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur
> > > > nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
> > >
> > > Das hat Gono Dir gesagt.
> > >
> > >
> > > >
> > > > zu Aufgabe b)
> > > > kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man hier
> was
> > mit
> > > > Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> > > > schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
> > >
> > > Die Aufgabe hat es in sich...
> > >
> > > Der Vorschlag von Gono ist in meinen Augen nicht brauchbar,
> > > denn multiplizieren wir mit [mm]\wurzel{|z|}[/mm] durch, so bekommen
> > > wir
> > >
> > > [mm]\wurzel{|z|}|g(z)| \le[/mm] 1+|z| für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > >
> > > Wenn wir nun a) anwenden wollen, brauchen wir eine ganze
> > > Funktion f. Aber welch soll das sein ? Es bietet sich
> > > natürlich [mm]\wurzel{z}g(z)[/mm] an. Das macht aber Probleme,
> > > denn g ist in 0 nicht definiert und welche (holomorphe)
> > > Wurzel nehmen wir .. ?
> > >
> > >
> > > Wir multiplizieren mit z durch und bekommen, mit
> > > h(z):=zg(z):
> > >
> > > (*) [mm]|h(z)| \le z \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
>
>
> Ich hatte mich oben verschrieben. Es lautet natürlich
>
> (*) [mm]|h(z)| \le |z| \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm]
> 0.
>
>
>
> >
> > Warum?
> > Ich erhalte da für
> > [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*z+\frac{z}{\wurzel{|z|}}[/mm]
>
>
> Es soll so lauten (Beträge !)
>
> [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*|z|+\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}[/mm]
>
> Weiter ist [mm]\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}=\wurzel{|z|}[/mm]
>
>
>
> > >
> > > h hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, mit (*),
> > > dass diese Singularität hebbar ist.
> > Ok ich setzt mich gleich ran
Da ich mit Singularitäten noch nicht vertraut bin (kam noch nicht in der VL vor) habe ich mir mal ein paar Beispielaufgaben angeguckt und festgestellt, dass oftmals Ableitungen gebildet werden und wenn die beschränkt waren (ich glaube in dem Punkt, wo die Singularität liegt) dann handelte es sich um eine hebbare Singularität. Aber kann man immer so vorgehen? In den BEispielaufgaben die ich mir angeschaut hatte, ging es oftmals um Brüche, wo im Nenner dann die Singularität stand und mit der Regel von Hopital gearbeitet wurde....
> > >
> > > h kann also durch h(0):=0 zu einer ganzen Funktion
> > > fortgesetzt werden.
> > >
> > > Für z [mm]\ne[/mm] 0 ist
> > >
> > > [mm]g(z)=\bruch{h(z)}{z}=\bruch{h(z)-h(0)}{z-0} \to[/mm] h'(0)
> > > für z [mm]\to[/mm] 0.
> > >
> > > g hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, dass
> > > diese Singularität hebbar ist.
> > >
Wenn ich das richtig verstanden habe, könnte man die ABleitung mittels der Regel von Hopital bilden und man hätte [mm] \frac{h'(z)}{1} [/mm] wobei |h(z)| ja schon beschränkt ist und dann auch h'(z) beschränkt sein muss und damit folgt die hebbarkeit?!
> > > g kann also durch g(0):=h'(0) zu einer ganzen Funktion
> > > fortgesetzt werden.
> > >
> > > g ist dann auf [mm]\{z \in \IC: |z| \le 1 \}[/mm] beschränkt. Es
> > > gibt also ein c>0 mit
> > >
> > > |g(z)| [mm]\le[/mm] c für |z| [mm]\le[/mm] 1,
> > >
> > > also auch
> > >
> > > |g(z)| [mm]\le[/mm] c +|z| für |z| [mm]\le[/mm] 1.
> > >
> > > Für |z| [mm]\ge[/mm] 1 folgt aus [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm]:
>
> >
> > >
> > > |g(z)| [mm]\le 1+\sqrt{|z|} \le[/mm] 1+|z|.
> > >
> > > Setzt man A:= [mm]\max\{1,c\},[/mm] so folgt
> > >
> > > |g(z)| [mm]\le[/mm] A+|z| für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > >
> > > Jetzt können wir a) anwenden und sehen: es gibt a,b [mm]\in \IC[/mm]
> > > mit:
> > >
> > > g(z)=a+bz.
> > >
> > > Jetzt müssen wir noch genaueres über a und b
> > > rauskitzeln.
> > >
> > >
> > > Aus
> > >
> > > [mm]|a+bz|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > >
> > > folgt
> > >
> > > [mm]|a+bz^2|\le |z|+\frac{1}{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > >
> > > Das liefert
> > >
> > > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > >
> > > Mit z [mm]\to[/mm] 0 sieht man dann
> > >
> > > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z .
> > >
> > > Aufgabenteil a) liefert nun b=0.
> > Das verstehe ich leider noch nicht, warum b=0?
>
>
> Aus [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z folgt mit a):
>
> [mm]az+bz^3[/mm] ist ein Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] 2.
>
> Dann muss b=0 sein
>
> FRED
> > > Das hat zur Folge
> > >
> > > [mm]|a|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > >
> > > oder
> > >
> > > [mm]|a| \le \bruch{1}{r}+r[/mm] für alle r>0
> > >
> > > Überlege Dir: [mm]\min\{ \bruch{1}{r}+r: r>0\}=2.[/mm]
> > >
> > > Welche Funktionen g sind nun die gesuchten ?
> > >
> > > FRED
also ich suche praktisch Funktionen g die aus |a| bestehen und für die gilt |a| [mm] \le [/mm] 2, oder? Aber wenn das z jetzt gar nicht mehr in der Funktion g vorkommt, dann such ich doch nach Konstanten, dessen Betrag kleiner 2 ist, oder? Was ja dann die Antwort auf deine Frage und die AUfgabenstellung wäre
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > >
> >
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > > > a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0. Sei f: [mm]\IC\to \IC[/mm] ganz und es
> > > > > gelte |f(z)| [mm]\le A+B|z|^\alpha[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen
> > > > > Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a]
> > > > > beträgt.
> > > > > b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm]\IC \setminus[/mm]
> > > > > {0} [mm]\to \IC[/mm] mit der Eigenschaft
> > > > > [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm]
> >
> > >
> > >
> > > Hallo
> > > >
> > > > >
> > > > > zu Aufgabe a)
> > > > > ich weiß, dass f holomorph und beschränkt
> ist,
> > > >
> > > > Hmmm...., da weißt Du etwas, das gar nicht stimmt !
> > > >
> > > > Nimm mal f(z)=z
> > > >
> > > > f ist holomorph auf [mm]\IC,[/mm] das stimmt, aber beschränkt ....
> > > > ?
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > aber was
> > > > > genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> > > > > Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens
> > > > > oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur
> > > > > nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
> > > >
> > > > Das hat Gono Dir gesagt.
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > zu Aufgabe b)
> > > > > kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man
> hier
> > was
> > > mit
> > > > > Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> > > > > schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
> > > >
> > > > Die Aufgabe hat es in sich...
> > > >
> > > > Der Vorschlag von Gono ist in meinen Augen nicht brauchbar,
> > > > denn multiplizieren wir mit [mm]\wurzel{|z|}[/mm] durch, so bekommen
> > > > wir
> > > >
> > > > [mm]\wurzel{|z|}|g(z)| \le[/mm] 1+|z| für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > > >
> > > > Wenn wir nun a) anwenden wollen, brauchen wir eine ganze
> > > > Funktion f. Aber welch soll das sein ? Es bietet sich
> > > > natürlich [mm]\wurzel{z}g(z)[/mm] an. Das macht aber Probleme,
> > > > denn g ist in 0 nicht definiert und welche (holomorphe)
> > > > Wurzel nehmen wir .. ?
> > > >
> > > >
> > > > Wir multiplizieren mit z durch und bekommen, mit
> > > > h(z):=zg(z):
> > > >
> > > > (*) [mm]|h(z)| \le z \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> >
> > Ich hatte mich oben verschrieben. Es lautet natürlich
> >
> > (*) [mm]|h(z)| \le |z| \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm]
> > 0.
> >
> >
> >
> > >
> > > Warum?
> > > Ich erhalte da für
> > > [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*z+\frac{z}{\wurzel{|z|}}[/mm]
> >
> >
> > Es soll so lauten (Beträge !)
> >
> > [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*|z|+\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}[/mm]
> >
> > Weiter ist [mm]\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}=\wurzel{|z|}[/mm]
> >
> >
> >
> > > >
> > > > h hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, mit (*),
> > > > dass diese Singularität hebbar ist.
> > > Ok ich setzt mich gleich ran
> Da ich mit Singularitäten noch nicht vertraut bin (kam
> noch nicht in der VL vor) habe ich mir mal ein paar
> Beispielaufgaben angeguckt und festgestellt, dass oftmals
> Ableitungen gebildet werden und wenn die beschränkt waren
> (ich glaube in dem Punkt, wo die Singularität liegt) dann
> handelte es sich um eine hebbare Singularität. Aber kann
> man immer so vorgehen? In den BEispielaufgaben die ich mir
> angeschaut hatte, ging es oftmals um Brüche, wo im Nenner
> dann die Singularität stand und mit der Regel von Hopital
> gearbeitet wurde....
> > > >
> > > > h kann also durch h(0):=0 zu einer ganzen Funktion
> > > > fortgesetzt werden.
> > > >
> > > > Für z [mm]\ne[/mm] 0 ist
> > > >
> > > > [mm]g(z)=\bruch{h(z)}{z}=\bruch{h(z)-h(0)}{z-0} \to[/mm] h'(0)
> > > > für z [mm]\to[/mm] 0.
> > > >
> > > > g hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, dass
> > > > diese Singularität hebbar ist.
> > > >
> Wenn ich das richtig verstanden habe, könnte man die
> ABleitung mittels der Regel von Hopital bilden
ich hab den Differenzenquotienten benutzt....
> und man
> hätte [mm]\frac{h'(z)}{1}[/mm] wobei |h(z)| ja schon beschränkt
> ist und dann auch h'(z) beschränkt sein muss und damit
> folgt die hebbarkeit?!
Nein. g ist in der nähe von 0 beschränkt.
> > > > g kann also durch g(0):=h'(0) zu einer ganzen Funktion
> > > > fortgesetzt werden.
> > > >
> > > > g ist dann auf [mm]\{z \in \IC: |z| \le 1 \}[/mm] beschränkt. Es
> > > > gibt also ein c>0 mit
> > > >
> > > > |g(z)| [mm]\le[/mm] c für |z| [mm]\le[/mm] 1,
> > > >
> > > > also auch
> > > >
> > > > |g(z)| [mm]\le[/mm] c +|z| für |z| [mm]\le[/mm] 1.
> > > >
> > > > Für |z| [mm]\ge[/mm] 1 folgt aus [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm]:
>
> >
> > >
> > > >
> > > > |g(z)| [mm]\le 1+\sqrt{|z|} \le[/mm] 1+|z|.
> > > >
> > > > Setzt man A:= [mm]\max\{1,c\},[/mm] so folgt
> > > >
> > > > |g(z)| [mm]\le[/mm] A+|z| für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > > >
> > > > Jetzt können wir a) anwenden und sehen: es gibt a,b [mm]\in \IC[/mm]
> > > > mit:
> > > >
> > > > g(z)=a+bz.
> > > >
> > > > Jetzt müssen wir noch genaueres über a und b
> > > > rauskitzeln.
> > > >
> > > >
> > > > Aus
> > > >
> > > > [mm]|a+bz|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > > >
> > > > folgt
> > > >
> > > > [mm]|a+bz^2|\le |z|+\frac{1}{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > > >
> > > > Das liefert
> > > >
> > > > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > > >
> > > > Mit z [mm]\to[/mm] 0 sieht man dann
> > > >
> > > > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z .
> > > >
> > > > Aufgabenteil a) liefert nun b=0.
> > > Das verstehe ich leider noch nicht, warum b=0?
> >
> >
> > Aus [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z folgt mit a):
> >
> > [mm]az+bz^3[/mm] ist ein Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] 2.
> >
> > Dann muss b=0 sein
> >
> > FRED
> > > > Das hat zur Folge
> > > >
> > > > [mm]|a|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > > >
> > > > oder
> > > >
> > > > [mm]|a| \le \bruch{1}{r}+r[/mm] für alle r>0
> > > >
> > > > Überlege Dir: [mm]\min\{ \bruch{1}{r}+r: r>0\}=2.[/mm]
> > >
> >
> > > > Welche Funktionen g sind nun die gesuchten ?
> > > >
> > > > FRED
> also ich suche praktisch Funktionen g die aus |a| bestehen
> und für die gilt |a| [mm]\le[/mm] 2, oder?
Ja
> Aber wenn das z jetzt
> gar nicht mehr in der Funktion g vorkommt, dann such ich
> doch nach Konstanten, dessen Betrag kleiner 2 ist, oder?
Ja
> Was ja dann die Antwort auf deine Frage und die
> AUfgabenstellung wäre
Ja
FRED
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > >
> > >
> >
>
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> > > > > > a) Es seien [mm]A,B,\alpha[/mm] >0. Sei f: [mm]\IC\to \IC[/mm] ganz und es
> > > > > > gelte |f(z)| [mm]\le A+B|z|^\alpha[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen
> > > > > > Sie, dass f ein Polynom ist, dessen Grad höchstens [a]
> > > > > > beträgt.
> > > > > > b) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen g: [mm]\IC \setminus[/mm]
> > > > > > {0} [mm]\to \IC[/mm] mit der Eigenschaft
> > > > > > [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm]
>
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Hallo
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > zu Aufgabe a)
> > > > > > ich weiß, dass f holomorph und beschränkt
> > ist,
> > > > >
> > > > > Hmmm...., da weißt Du etwas, das gar nicht stimmt !
> > > > >
> > > > > Nimm mal f(z)=z
> > > > >
> > > > > f ist holomorph auf [mm]\IC,[/mm] das stimmt, aber beschränkt ....
> > > > > ?
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > aber was
> > > > > > genau ist A und B? sind das Elemente aus [mm]\IC[/mm] oder
> > > > > > Funktionen? Die Klammern in denen a steht sind übrigens
> > > > > > oben nicht geschlossen (dieses Zeichen gab es hier nur
> > > > > > nicht ). Was bedeutet dieses Zeichen dann?
> > > > >
> > > > > Das hat Gono Dir gesagt.
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > zu Aufgabe b)
> > > > > > kann mir jemand einen Tipp geben? Kann man
> > hier
> > > was
> > > > mit
> > > > > > Potenzeihen machen?Holomorphe FUnktionen lassen sich ja
> > > > > > schliesslich in eine Potenzreihe entwickeln....
> > > > >
> > > > > Die Aufgabe hat es in sich...
> > > > >
> > > > > Der Vorschlag von Gono ist in meinen Augen nicht brauchbar,
> > > > > denn multiplizieren wir mit [mm]\wurzel{|z|}[/mm] durch, so bekommen
> > > > > wir
> > > > >
> > > > > [mm]\wurzel{|z|}|g(z)| \le[/mm] 1+|z| für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > > > >
> > > > > Wenn wir nun a) anwenden wollen, brauchen wir eine ganze
> > > > > Funktion f. Aber welch soll das sein ? Es bietet sich
> > > > > natürlich [mm]\wurzel{z}g(z)[/mm] an. Das macht aber Probleme,
> > > > > denn g ist in 0 nicht definiert und welche (holomorphe)
> > > > > Wurzel nehmen wir .. ?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Wir multiplizieren mit z durch und bekommen, mit
> > > > > h(z):=zg(z):
> > > > >
> > > > > (*) [mm]|h(z)| \le z \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > >
> > >
> > > Ich hatte mich oben verschrieben. Es lautet natürlich
> > >
> > > (*) [mm]|h(z)| \le |z| \wurzel{|z|}+ \wurzel{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm]
> > > 0.
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Warum?
> > > > Ich erhalte da für
> > > > [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*z+\frac{z}{\wurzel{|z|}}[/mm]
> > >
> > >
> > > Es soll so lauten (Beträge !)
> > >
> > > [mm]|h(z)|\le\wurzel{|z|}*|z|+\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}[/mm]
> > >
> > > Weiter ist [mm]\frac{|z|}{\wurzel{|z|}}=\wurzel{|z|}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > h hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, mit (*),
> > > > > dass diese Singularität hebbar ist.
> > > > Ok ich setzt mich gleich ran
> > Da ich mit Singularitäten noch nicht vertraut bin (kam
> > noch nicht in der VL vor) habe ich mir mal ein paar
> > Beispielaufgaben angeguckt und festgestellt, dass oftmals
> > Ableitungen gebildet werden und wenn die beschränkt waren
> > (ich glaube in dem Punkt, wo die Singularität liegt) dann
> > handelte es sich um eine hebbare Singularität. Aber kann
> > man immer so vorgehen? In den BEispielaufgaben die ich mir
> > angeschaut hatte, ging es oftmals um Brüche, wo im Nenner
> > dann die Singularität stand und mit der Regel von Hopital
> > gearbeitet wurde....
> > > > >
> > > > > h kann also durch h(0):=0 zu einer ganzen Funktion
> > > > > fortgesetzt werden.
> > > > >
> > > > > Für z [mm]\ne[/mm] 0 ist
> > > > >
> > > > > [mm]g(z)=\bruch{h(z)}{z}=\bruch{h(z)-h(0)}{z-0} \to[/mm] h'(0)
> > > > > für z [mm]\to[/mm] 0.
> > > > >
> > > > > g hat in 0 eine isolierte Singularität. Zeige Du, dass
> > > > > diese Singularität hebbar ist.
> > > > >
> > Wenn ich das richtig verstanden habe, könnte man die
> > ABleitung mittels der Regel von Hopital bilden
>
>
> ich hab den Differenzenquotienten benutzt....
>
>
> > und man
> > hätte [mm]\frac{h'(z)}{1}[/mm] wobei |h(z)| ja schon beschränkt
> > ist und dann auch h'(z) beschränkt sein muss und damit
> > folgt die hebbarkeit?!
>
>
> Nein. g ist in der nähe von 0 beschränkt.
>
>
Kann ich das untenstehende trotzdem mit L'Hopital folgern?
[mm] g(z)=\frac{h(z)}{z} [/mm] und mit L'Hopital gilt für [mm] \frac{h'(z)}{z'}=\frac{g'(z)*z+g(z)}{1} [/mm] und nun an der Singularität 0 gilt [mm] \frac{g'(0)*0+g(0)}{1}=\frac{0}{1}=0 [/mm] ist und die Singularität hebbar
> > > > > g kann also durch g(0):=h'(0) zu einer ganzen Funktion
> > > > > fortgesetzt werden.
> > > > >
> > > > > g ist dann auf [mm]\{z \in \IC: |z| \le 1 \}[/mm] beschränkt. Es
> > > > > gibt also ein c>0 mit
> > > > >
> > > > > |g(z)| [mm]\le[/mm] c für |z| [mm]\le[/mm] 1,
> > > > >
> > > > > also auch
> > > > >
> > > > > |g(z)| [mm]\le[/mm] c +|z| für |z| [mm]\le[/mm] 1.
> > > > >
> > > > > Für |z| [mm]\ge[/mm] 1 folgt aus [mm]|g(z)|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}} [/mm]:
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > |g(z)| [mm]\le 1+\sqrt{|z|} \le[/mm] 1+|z|.
> > > > >
> > > > > Setzt man A:= [mm]\max\{1,c\},[/mm] so folgt
> > > > >
> > > > > |g(z)| [mm]\le[/mm] A+|z| für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > > > >
> > > > > Jetzt können wir a) anwenden und sehen: es gibt a,b [mm]\in \IC[/mm]
> > > > > mit:
> > > > >
> > > > > g(z)=a+bz.
> > > > >
> > > > > Jetzt müssen wir noch genaueres über a und b
> > > > > rauskitzeln.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Aus
> > > > >
> > > > > [mm]|a+bz|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > > > >
> > > > > folgt
> > > > >
> > > > > [mm]|a+bz^2|\le |z|+\frac{1}{|z|}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > > > >
> > > > > Das liefert
> > > > >
> > > > > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0.
> > > > >
> > > > > Mit z [mm]\to[/mm] 0 sieht man dann
> > > > >
> > > > > [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z .
> > > > >
> > > > > Aufgabenteil a) liefert nun b=0.
> > > > Das verstehe ich leider noch nicht, warum b=0?
> > >
> > >
> > > Aus [mm]|az+bz^3| \le 1+|z|^2[/mm] für alle z folgt mit a):
> > >
> > > [mm]az+bz^3[/mm] ist ein Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] 2.
> > >
> > > Dann muss b=0 sein
> > >
> > > FRED
> > > > > Das hat zur Folge
> > > > >
> > > > > [mm]|a|\le \sqrt{|z|}+\frac{1}{\sqrt{|z|}}[/mm] für z [mm]\ne[/mm] 0
> > > > >
> > > > > oder
> > > > >
> > > > > [mm]|a| \le \bruch{1}{r}+r[/mm] für alle r>0
> > > > >
> > > > > Überlege Dir: [mm]\min\{ \bruch{1}{r}+r: r>0\}=2.[/mm]
> >
> > >
> > >
> > > > > Welche Funktionen g sind nun die gesuchten ?
> > > > >
> > > > > FRED
> > also ich suche praktisch Funktionen g die aus |a|
> bestehen
> > und für die gilt |a| [mm]\le[/mm] 2, oder?
>
>
> Ja
>
> > Aber wenn das z jetzt
> > gar nicht mehr in der Funktion g vorkommt, dann such ich
> > doch nach Konstanten, dessen Betrag kleiner 2 ist, oder?
>
>
> Ja
>
>
>
> > Was ja dann die Antwort auf deine Frage und die
> > AUfgabenstellung wäre
>
> Ja
>
>
> FRED
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 20.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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