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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gradient
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Gradient: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mi 26.05.2010
Autor: monstre123

Aufgabe
Für [mm] x\not=0 [/mm] sei f(x,y)=arctan(y/x).

i) Bestimmen Sie den Gradienten [mm] \Delta [/mm] f(x,y).

ii) Zeigen Sie: Falls [mm] x\not=0 [/mm] folgt [mm] \parallel\Delta f(x,y)\parallel= 1/\parallel(x,y)\parallel [/mm] und [mm] |xf_{x}(x,y)+yf_{y}(x,y)|\le1. [/mm]

*Anmerkung: Dieses Zeichen [mm] \Delta [/mm] soll umgedreht sein.

Hallo,
so meine Fragen sind bezüglich der Aufgabe folgende:

i) Wie bestimmt man den Gradienten? Was soll ein Gradient überhaupt ausdrücken?

ii) ???


Vielen Dank.

        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mi 26.05.2010
Autor: fred97

In Deinem Fall ist

       [mm] $\nabla [/mm] f(x,y)= [mm] (f_x(x,y),f_y(x,y))$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mi 26.05.2010
Autor: monstre123

muss ich das jetzt mit der jakobi matrix bestimmen?

Bezug
                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Mi 26.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo monstre123,

> muss ich das jetzt mit der jakobi matrix bestimmen?

Nein, was hat Fred denn geschrieben?

Hast du das nicht gelesen??

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion nach x und y und packe sie in einen Vektor.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Gradient: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 So 30.05.2010
Autor: monstre123

hi,

so meine lösungen hierfür:

>> In Deinem Fall ist
>> [mm] \nabla [/mm] f(x,y)= [mm] (f_x(x,y),f_y(x,y)) [/mm]

[mm] f_{x}(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] ,  [mm] f_{y}(x,y)=\bruch{1}{1+y^{2}} [/mm]

[mm] \nabla [/mm] f(x,y)= [mm] (\bruch{1}{1+x^{2}}, \bruch{1}{1+y^{2}}) [/mm]


richtig...?


und zur ii) was soll ich hierfür machen?

Bezug
                                        
Bezug
Gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 So 30.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> hi,
>  
> so meine lösungen hierfür:
>  
> >> In Deinem Fall ist
> >> [mm]\nabla[/mm] f(x,y)= [mm](f_x(x,y),f_y(x,y))[/mm]
>  
> [mm]f_{x}(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] ,  
> [mm]f_{y}(x,y)=\bruch{1}{1+y^{2}}[/mm] [notok]

Beides falsch, du musst schon die Kettenregel beachten:

[mm] $\frac{\partial \arctan\left(\frac{y}{x}\right)}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\cdot{}\text{innere Ableitung nach x}$ [/mm]


>  
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y)= [mm](\bruch{1}{1+x^{2}}, \bruch{1}{1+y^{2}})[/mm]
>  
>
> richtig...?
>  
>
> und zur ii) was soll ich hierfür machen?

Einfach beides geradeheraus ausrechnen.

Nimm die euklidische Norm [mm] $||\cdot{}||_2$ [/mm] ...

Gruß

schachuzipus


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