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| Aufgabe | b)Berechnen Sie:
i)
[mm] |\vec{\nabla}\frac{1}{r}|^2
[/mm]
ii)
[mm] |\frac{1}{r}\vec{\nabla} [/mm] | [mm] \vec{\nabla}\frac{1}{r}|| [/mm]
iii)
[mm] \frac{1}{r} \vec{e_{r}}\cdot \vec{\nabla} (\vec{e_{r}}\cdot \vec{ \nabla} \frac{1}{r}) [/mm]
wobei r = [mm] |\vec{r}| [/mm] und [mm] \vec{e_{r}} [/mm] = [mm] \frac{\vec{r}}{r} [/mm] |
Hallo Mathefreunde :)
Also ich fang mal bei der i) an, da weiß ich nicht genau was ich mit dem Betrag anfangen soll. Der Gradient ist doch
[mm] \bruch{\vec{r}}{r^3} [/mm] und jetzt muss ich ja erstmal den Betrag davon nehmen:
Ist das dann:
[mm] \wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}
[/mm]
Kommt mir doch ein wenig seltsam vor, könnte ich das noch irgendwie vereinfachen? hm
Gruß und schönen Abend noch :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 09.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> b)Berechnen Sie:
> i)
> [mm]|\vec{\nabla}\frac{1}{r}|^2[/mm]
>
> ii)
> [mm]|\frac{1}{r}\vec{\nabla}[/mm] | [mm]\vec{\nabla}\frac{1}{r}||[/mm]
>
> iii)
> [mm]\frac{1}{r} \vec{e_{r}}\cdot \vec{\nabla} (\vec{e_{r}}\cdot \vec{ \nabla} \frac{1}{r})[/mm]
>
> wobei r = [mm]|\vec{r}|[/mm] und [mm]\vec{e_{r}}[/mm] = [mm]\frac{\vec{r}}{r}[/mm]
> Hallo Mathefreunde :)
>
> Also ich fang mal bei der i) an, da weiß ich nicht genau
> was ich mit dem Betrag anfangen soll. Der Gradient ist
> doch
> [mm]\bruch{\vec{r}}{r^3}[/mm] und jetzt muss ich ja erstmal den
nicht ganz:
[mm] $\nabla\frac{1}{r}={\color{red}-}\frac{\vec{r}}{r^{3}}$
[/mm]
mit [mm] $r:=\left|\vec{r}\right|$
[/mm]
> Betrag davon nehmen:
> Ist das dann:
>
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}[/mm]
Das stimmt, sieht aber nicht sehr elegant aus.
>
> Kommt mir doch ein wenig seltsam vor, könnte ich das noch
> irgendwie vereinfachen? hm
In Nenner steht schon etwas positives, also musst Du nur noch den Betrag des Zählers bestimmen:
[mm] $\left|-\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right|=\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}$
[/mm]
Den Rest bekommst Du sicher alleine hin.
>
> Gruß und schönen Abend noch :)
Gruß,
notinX
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Hallo notinx, danke für deine Antwort zur späten Stunde :)
Bedeutet das das ich dann das hier skalar multiplizieren muss:
[mm] \wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}
[/mm]
also jetzt das [mm] \frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3} [/mm] * [mm] \frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3} [/mm] ausgeschrieben, dann würde ich ja:
[mm] \bruch{x^2+y^2+z^2}{r^6} [/mm] rausbekommen, stimmt das??
Lg !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 09.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinx, danke für deine Antwort zur späten Stunde
> :)
>
> Bedeutet das das ich dann das hier skalar multiplizieren
> muss:
>
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}[/mm]
> *
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}[/mm]
>
> also jetzt das [mm]\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}[/mm] *
> [mm]\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}[/mm] ausgeschrieben, dann
> würde ich ja:
>
> [mm]\bruch{x^2+y^2+z^2}{r^6}[/mm] rausbekommen, stimmt das??
Nein, das bedeutet:
[mm] $\left|-\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right|=\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}=\frac{r}{r^3}=\frac{1}{r^2}$
[/mm]
>
> Lg !
>
>
>
Gruß,
notinX
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Achso, oh man, also ist die Lösung dann am Ende ein ganz normales Produkt:
[mm] 1/r^4 [/mm] ?
Gruß ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 09.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Achso, oh man, also ist die Lösung dann am Ende ein ganz
> normales Produkt:
>
> [mm]1/r^4[/mm] ?
Nein!
Die Lösung ist: [mm] $\frac{1}{r^2}$
[/mm]
>
> Gruß ^^
Gruß,
notinX
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Hallo nochmal :)
Ok, aber mach ich nicht am Ende: [mm] \frac{1}{r^2} [/mm] * [mm] \frac{1}{r^2} [/mm] ?
Gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 09.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo nochmal :)
>
> Ok, aber mach ich nicht am Ende: [mm]\frac{1}{r^2}[/mm] *
> [mm]\frac{1}{r^2}[/mm] ?
Oh, ja. Entschuldige, ich habe das Quadrat um den Betrag übersehen. Also [mm] $1/r^4$ [/mm] stimmt.
>
> Gruß :)
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mi 09.05.2012 | | Autor: | PhysikGnom |
Ah Klasse, vielen Dank für deine zügige Hilfe fand ich echt super :)
Eine gute Nacht dann noch, und frohes erwachen :)
Lg
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