Gradient, Niveauflächen 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:00 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Dogge |
| Aufgabe 1 | Seien [mm] $M\subset R^n$ [/mm] offen$ [mm] f\in C^1(M,R)$ [/mm] und [mm] $x_0 \in [/mm] M, [mm] c\in [/mm] R$
Zu zeigen ist [mm] $\nabla f(x_0)$ [/mm] senkrecht auf Niveaufläche [mm] $N_f(c):= \left\{x \in M|f(x)=c \right\}$ [/mm] steht. D.h. Für alle Abbildungen mit [mm] $\phi \in C^1((-\epsilon,\epsilon),R^n)$ [/mm] mit [mm] $\epsilon [/mm] >0 $ und [mm] $\phi(0)=x_0 [/mm] $ und [mm] $\phi(-\epsilon,\epsilon)\subset N_f(c)$ [/mm] gilt:< [mm] \phi^{'}(0),(\nabla f)^T(x_0)>=0$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | | $d [mm] \in R^n$, [/mm] ||d||=1, Bestimme das Min $min<d,( [mm] \nabla f)^T(x_0))>$ [/mm] |
Mein Ansatz ist: [mm] definiere:$\phi:R \rightarrow N_f(c), [/mm] t [mm] \rightarrow \phi(t)=(\phi_1(t),...,\phi_n(t)). [/mm] $ Da [mm] f(\phi(t)) [/mm] konstant f.a t [mm] \in [/mm] R$:
[mm] $0=\frac{d}{dt}f(\phi(t))=\partial_1 f(\phi(t))*\phi_1^{'}(t)+ \partial_2 f(\phi(t))*\phi_2^{'}(t)=\nabla f(\phi(t))*\phi^{'}(t)$
[/mm]
Wie kann ich jetzt noch die [mm] $\epsilon [/mm] $´s unterbringen? Darf ich das so machen?
Die Aufgabe 2 ist offensichtlich eine Anwendung von der 1. Wie kann ich das zeigen? Das d müsste in Richtung von [mm] $-(\nabla [/mm] f)$ zeigen, oder? Aber wie kann ich das mathematisch zeigen und formulieren? Extrema habe ich noch nicht gehabt...
MfG
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 02.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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