Gradientenfeld < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Leider wieder verältnismäßig spät beschäftige ich mich jetzt mit meinem derzeitigen Übungsblatt und weiß direkt bei der ersten Aufgabe nicht so wirklich wie ich anfangen muss...
Es sei [mm] F(x,y,z):=(ay^2+2x(1+2z),2x(ay+b),2x(x-b)) [/mm] für [mm] (x,y,z)\in\IR^3, (a,b)\in\IR^2. [/mm] Bestimme b=b(a) derart, dass F ein Gradientenfeld ist, und finde eine Stammfunktion.
Ich weiß zwar nicht so wirklich, was genau ein Gradientenfeld ist, aber meine bisherigen "Nachforschungen" lassen mich vermuten, dass ich hier "einfach nur" b so bestimmen muss, das eine Stammfunktion existiert - und diese soll ich dann offensichtlich auch noch angeben. Nun weiß ich aber im Moment nicht, wie ich das mache!? Vielleicht wusste ich das mal und es ist nur im Moment schon wieder zu spät abends, so dass es mir nicht einfällt, aber vielleicht weiß ich es auch gar nicht, deswegen wäre es schön, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
hast du schön warm?
Wenn nicht, dann mach doch einfach ein kleines Feuer in deinem Ofen. Nach einer gewissen Zeit wird sich die Luft in deiner guten Stube sicher etwas erwärmen. Du kannst das überprüfen, wenn du mit einem supersensiblen Thermometer an verschiedenen Stellen, idealerweise an allen Stellen, im Raum die Temperatur misst. In Gedanken kannst du jedem Punkt im Raum eine Temperatur T zuordnen. Diese Temperatur ist natürlich abhängig vom Ort, wo die Messung stattgefunden hat (die Zeit lasse ich mal weg, du hast ja so schnell gemessen, dass wir die mal als konstant annehmen dürfen). Wir haben also ein Temperaturfeld $T(x,y,z)_$
Wichtig dabei ist, dass wir eine Abbildung [mm] $\IR^3 \to \IR$ [/mm] haben, also nicht etwa ein Vektorfeld, sondern ein Skalarenfeld.
Du hast sicher festgestellt, dass deine Temperatur in der Nähe des Ofens etwas höher ist als in grösserer Entfernung. Ganz nahe hast du 30°, etwas weiter entfernt nur noch 25°, und an deinem Sofa, wo du dich gemütlich niedergelassen hast, sind es noch 19°. Schön wohlig! 
Du kannst dir also vorstellen, dass sich die Temperaturniveaus, so wie Zwiebelschalen, um den Ofen ansammeln. Der Bereich mit 30° bildet eine Fläche im Raum, der Bereich mit 25° ebenso. Das sind die Niveauflächen deiner Temperaturfunktion. Man könnte diese Flächen auch als Potentialflächen deiner Temperatur bezeichen.
Kannst du den Gradienten deiner Temperaturfunktion bilden? Ja klar, das ist doch der Vektor, der so definiert ist:
$grad (T) = [mm] \vektor{\bruch{\delta T}{\delta x}\\ \bruch{\delta T}{\delta y}\\ \bruch{\delta T}{\delta z}}$
[/mm]
Der Gradient heftet also an jeden Punkt im Raum einen Vektor an. Wir haben also ein Vektorfeld.
Der Zusammenhang zwischen diesem Vektorfeld und der Temperatur lässt sich bekanntlich so deuten: Der Gradient steht senkrecht auf eine Niveaulinie resp. Niveaufläche und zeigt in Richtung der grössten Zunahme. Unsere Vektoren zeigen also in jedem Punkt im Raum senkrecht auf unsere Zwiebelschalen, und sie müssten in Richtung des Ofens zeigen, da die Temperatur ja gegen den Ofen hin zunimmt!
Weil unser so konstruiertes Vektorfeld in jedem Punkt der Gradient einer differenzierbaren Funktion ist (unsere Temperatur T), kann man dieses Vektorfeld mit Fug und Recht als Gradientenfeld bezeichnen!
Nicht jedes Vektorfeld muss ein Gradientenfeld sein. Wenn es aber eines ist, dann muss es eine Funktion geben (hier die Temperaturfunktion T), von der es in jedem Punkt des Raumes der Gradient bedeutet.
Und genau das muss in deiner Aufgabe gemacht werden. Gegeben ist ein willkürlich vorgegebenes Vektorfeld, und gesucht ist die Temperaturfunktion. Dies geht aber nicht für alle Werte von $a_$ und $b_$. Zunächst muss also ein $b_$ bestimmt werden, so dass das überhaupt möglich ist.
Ich habe in meinen Unterlagen, unter dem Kapitel "Der Satz von Stokes" folgenden Satz gefunden:
Ein stetig differenzierbares Vektorfeld K auf einer einfach zusammenhängenden Menge $A [mm] \subset \IR^n$ [/mm] ist genau dann konservativ (und besitzt damit ein Potential), wenn seine infinitesimale Zirkulation Rot K identisch verschwindet.
Im dreidimensionalen Fall bedeutet das, dass folgendes gelten muss.
[mm] $\vektor{K_{3.2}-K_{2.3}\\K_{1.3}-K_{3.1}\\K_{2.1}-K_{1.2}}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Dabei bedeutet [mm] $K_{i,j}$ [/mm] die partielle Ableitung der i-ten Komponente nach der j-ten Variablen.
Oder kurz gesagt: es muss gelten: [mm] $K_{i.j}=K_{j.i}$ [/mm] für alle i-j-Kombinationen.
> Es sei [mm]F(x,y,z):=(ay^2+2x(1+2z),2x(ay+b),2x(x-b))[/mm] für
> [mm](x,y,z)\in\IR^3, (a,b)\in\IR^2.[/mm] Bestimme b=b(a) derart,
> dass F ein Gradientenfeld ist, und finde eine
> Stammfunktion.
>
Die Stammfunktion ist unsere Temperatur.
Um den obigen Satz anzuwenden, müssen wir also folgende Gleichungen lösen, um eine Bedingung für das $b_$ zu erhalten:
[mm] $\bruch{\delta}{\delta y}(2x(x-b)) [/mm] = [mm] \bruch{\delta}{\delta z}(2x(ay+b))$
[/mm]
[mm] $\bruch{\delta}{\delta z}(ay^2+2x(1+2z)) [/mm] = [mm] \bruch{\delta}{\delta x}(2x(x-b))$
[/mm]
[mm] $\bruch{\delta}{\delta x}(2x(ay+b)) [/mm] = [mm] \bruch{\delta}{\delta y}(ay^2+2x(1+2z))$
[/mm]
Liebe Christiane, kannst du bis hierhin das mal nachvollziehen und die konkrete Rechnung machen?
Wenn du $b_$ bestimmt hast (nach meiner Rechnung hängt es nicht von $a_$ ab), brauchst du nur noch eine "Temperaturfunktion" zu finden. Sie ist nur bis auf eine additative Konstante bestimmt.
Also die Funktion, deren sämtliche partiellen Ableitungen zu unserem Gradienten passen.
Nach meinem Schmierzettel ist das diese Funktion:
[mm] $axy^2+x^2+2x^2z+C$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 05.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
Vielen Dank für deine schöne Antwort! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Vielleicht solltest du wirklich mal ein Buch rausgeben - oder wir veröffentlichen deine Beiträge demnächst mal in der MatheZeit. Ich denke, du könntest sicher auch ein paar schwer zu verstehende Begriffe in so einer Weise erklären, dass Studenten sie schneller verstehen und evtl. sogar schon Schüler sie verstehen. Jedenfalls finde ich, dass das nicht so versteckt hier bei uns bleiben soll! 
Übrigens hatte ich deine Antwort schon gestern gelesen und auch schon rumgerechnet, allerdings war ich nicht dazu gekommen, eine Antwort zu schreiben - andere Antworten bzw. Fragen gingen da irgendwie schneller - denn auf so eine schöne Antwort kann ich ja schlecht nur zwei Worte als Reaktion schreiben...
So, jetzt aber:
> Weil unser so konstruiertes Vektorfeld in jedem Punkt der
> Gradient einer differenzierbaren Funktion ist (unsere
> Temperatur T), kann man dieses Vektorfeld mit Fug und Recht
> als Gradientenfeld bezeichnen!
Ich glaub', jetzt hab' ich das endlich mal verstanden:
Also, bei einem Vektorfeld wird jedem Punkt ein Vektor zugeordnet (unser Prof hat uns da immer erzählt, wie er als Schuljunge auf der Rheinbrücke gestanden hat und Berlapsamen (hieß das so?) oder so ähnlich in den Rhein geworfen hat, und so, wie die sich dann bewegt haben, das war dann irgendwie das Vektorfeld. (Wir haben ihm übrigens zum Abschied, er ist jetzt nämlich pensioniert, auch solche Samen geschenkt. ). Und jedes Gradientenfeld ist ein Vektor, aber bei einem Gradientenfeld ist der Vektor, der dem Punkt zugeordnet wird, nicht irgendein Vektor, sondern genau der Gradient!
Stimmt doch so, oder?
> Ich habe in meinen Unterlagen, unter dem Kapitel "Der Satz
> von Stokes" folgenden Satz gefunden:
>
> Ein stetig differenzierbares Vektorfeld K auf einer einfach
> zusammenhängenden Menge [mm]A \subset \IR^n[/mm] ist genau dann
> konservativ (und besitzt damit ein Potential), wenn seine
> infinitesimale Zirkulation Rot K identisch verschwindet.
Leider habe ich diesen Satz noch nirgendwo gefunden, und er beinhaltet auch etliche Begriffe, mit denen ich nichts anfangen kann, aber du hast ja noch genau beschrieben, was ich hier konkret machen muss.
> Im dreidimensionalen Fall bedeutet das, dass folgendes
> gelten muss.
>
> [mm]\vektor{K_{3.2}-K_{2.3}\\K_{1.3}-K_{3.1}\\K_{2.1}-K_{1.2}}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> Dabei bedeutet [mm]K_{i,j}[/mm] die partielle Ableitung der i-ten
> Komponente nach der j-ten Variablen.
>
> Oder kurz gesagt: es muss gelten: [mm]K_{i.j}=K_{j.i}[/mm] für alle
> i-j-Kombinationen.
Im Königsberger ist rot allerdings genau andersrum definiert, was aber wohl eigentlich egal ist, oder?
> > Es sei [mm]F(x,y,z):=(ay^2+2x(1+2z),2x(ay+b),2x(x-b))[/mm] für
> > [mm](x,y,z)\in\IR^3, (a,b)\in\IR^2.[/mm] Bestimme b=b(a) derart,
> > dass F ein Gradientenfeld ist, und finde eine
> > Stammfunktion.
>
> Die Stammfunktion ist unsere Temperatur.
>
> Um den obigen Satz anzuwenden, müssen wir also folgende
> Gleichungen lösen, um eine Bedingung für das [mm]b_[/mm] zu
> erhalten:
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta y}(2x(x-b)) = \bruch{\delta}{\delta z}(2x(ay+b))[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta z}(ay^2+2x(1+2z)) = \bruch{\delta}{\delta x}(2x(x-b))[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta x}(2x(ay+b)) = \bruch{\delta}{\delta y}(ay^2+2x(1+2z))[/mm]
>
> Liebe Christiane, kannst du bis hierhin das mal
> nachvollziehen und die konkrete Rechnung machen?
Klar! Etwas muss ich ja auch noch tun!
Also, ich finde zwar gerade meinen Schmierzettel von gestern nicht, aber ich hatte b=0 erhalten. Das kam mir zwar etwas komisch vor, aber es müsste wohl stimmen. Und warum schreiben die da noch b(a)? Nur noch zur Verwirrung? Oder ist es Zufall, dass hier b=0 ist? Aber ist ja auch nicht ganz so wichtig...
> Wenn du [mm]b_[/mm] bestimmt hast (nach meiner Rechnung hängt es
> nicht von [mm]a_[/mm] ab), brauchst du nur noch eine
> "Temperaturfunktion" zu finden. Sie ist nur bis auf eine
> additative Konstante bestimmt.
>
> Also die Funktion, deren sämtliche partiellen Ableitungen
> zu unserem Gradienten passen.
Tja - aber wie finde ich diese denn? Ich hatte ganz am Anfang schon mal versucht, einfach jede Komponente (nennt man das hier so?) einzeln zu integrieren, dann erhalte ich allerdings drei "Stammfunktionen". Wenn ich mir davon dann mal die ersten beiden angucke, dann stelle ich fest (jedenfalls, nachdem ich b=0 errechnet habe), dass die zweite quasi in der ersten enthalten ist, also dass ich, wenn ich nur zwei Komponenten hätte, deine Funktion als Stammfunktion nehmen kann.
Aber wenn ich mir die dritte "Stammfunktion" angucke, dann sehe ich nicht direkt, dass sie damit quasi auch schon abgedeckt ist. Das merke ich erst, wenn ich das Ganze ableite. Gibt es da ein allgemeines Prinzip, wie ich das rausbekomme? Oder muss man da einfach so etwas rumprobieren?
> Nach meinem Schmierzettel ist das diese Funktion:
>
> [mm]axy^2+x^2+2x^2z+C[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Jedenfalls stimmt das - wenn man es ableitet kommt genau das raus, was angegeben war. Aber ich hätte es dir auch blind geglaubt!
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 05.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Lieber Paul!
> Vielen Dank für deine schöne Antwort!
> Vielleicht solltest du wirklich mal ein Buch rausgeben -
> oder wir veröffentlichen deine Beiträge demnächst mal in
> der MatheZeit. Ich denke, du könntest sicher auch ein paar
> schwer zu verstehende Begriffe in so einer Weise erklären,
> dass Studenten sie schneller verstehen und evtl. sogar
> schon Schüler sie verstehen. Jedenfalls finde ich, dass das
> nicht so versteckt hier bei uns bleiben soll!
>
Danke für die Blumen! Ich meine halt, dass man manchmal schon eine konktete Vorstellung von etwas haben darf, bevor man damit einfach wild herumrechnet. Man versteht dann eher, was man macht, und mit der Zeit darf es dann schon etwas abstrakter werden. Man sollte aber langsam hinein wachsen können. Das versuche ich einfach, etwas herüber zu bringen. Vielleicht werde ich auch nur belächelt deswegen, aber wenn es dir hilft, ist der Zweck ja wohl erfüllt. Stefan behauptet jedenfalls, dass ihm mein Stil gefalle, so sehr sogar, dass er den auch schon mal kopiert hat, zum Beispiel für Astrid.
> Übrigens hatte ich deine Antwort schon gestern gelesen und
> auch schon rumgerechnet, allerdings war ich nicht dazu
> gekommen, eine Antwort zu schreiben - andere Antworten bzw.
> Fragen gingen da irgendwie schneller - denn auf so eine
> schöne Antwort kann ich ja schlecht nur zwei Worte als
> Reaktion schreiben...
>
Danke! Ich freue mich auch wirklich jedesmal ungemein, wenn eine so liebe Rückmeldung kommt! Manchmal stimmt es mich auch fast etwas frustriert, wenn überhaupt keine Reaktion kommt! Dann denke ich manchmal schon: wozu mache ich das eigentlich? Aber bei dir lohnt sich eine schöne Antwort wirklich immer! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
> So, jetzt aber:
>
> > Weil unser so konstruiertes Vektorfeld in jedem Punkt der
> > Gradient einer differenzierbaren Funktion ist (unsere
> > Temperatur T), kann man dieses Vektorfeld mit Fug und Recht
> > als Gradientenfeld bezeichnen!
>
> Ich glaub', jetzt hab' ich das endlich mal verstanden:
> Also, bei einem Vektorfeld wird jedem Punkt ein Vektor
> zugeordnet (unser Prof hat uns da immer erzählt, wie er als
> Schuljunge auf der Rheinbrücke gestanden hat und
> Berlapsamen (hieß das so?) oder so ähnlich in den Rhein
> geworfen hat, und so, wie die sich dann bewegt haben, das
> war dann irgendwie das Vektorfeld. (Wir haben ihm übrigens
> zum Abschied, er ist jetzt nämlich pensioniert, auch solche
> Samen geschenkt. ). Und jedes Gradientenfeld ist ein
> Vektor, aber bei einem Gradientenfeld ist der Vektor, der
> dem Punkt zugeordnet wird, nicht irgendein Vektor, sondern
> genau der Gradient!
>
> Stimmt doch so, oder?
>
Ja genau. Der Gradient einer differenzierbaren (natürlich, sonst könnte man ja den Gradienten gar nicht bilden) Skalarenfunktion.
>
> > Ich habe in meinen Unterlagen, unter dem Kapitel "Der Satz
> > von Stokes" folgenden Satz gefunden:
> >
> > Ein stetig differenzierbares Vektorfeld K auf einer einfach
> > zusammenhängenden Menge [mm]A \subset \IR^n[/mm] ist genau dann
> > konservativ (und besitzt damit ein Potential), wenn seine
> > infinitesimale Zirkulation Rot K identisch verschwindet.
> Leider habe ich diesen Satz noch nirgendwo gefunden, und
> er beinhaltet auch etliche Begriffe, mit denen ich nichts
> anfangen kann, aber du hast ja noch genau beschrieben, was
> ich hier konkret machen muss.
>
Kannst du dich an die Zwiebelschalenstruktur erinnern? Konservativ heisst einfach, dass die benötigte Energie, um von einer Schale zur anderen zu gelangen, nicht davon abhängt, wo und auf welchem Wege man von einer Schale zur anderen gelangt. Das heisst auch, dass, wenn man entlang einer geschlossenen Linie geht, die aufzuwendende Energie null ist. Diese Vorstellung kommt natürlich von der Arbeit, die man aufwenden muss, um sich in einem Kraftfeld zu bewegen, wo die Vektoren im Feld also eine Kraft bedeuten. In diesen Feldern gilt eben der Energieerhaltungssatz, die Energie bleibt erhalten, sie wird konserviert.
Und dann bedeutet dieses "Potential" etwas ähnliches wie unsere Zwiebelschalen. Die sind eben die sogenannten Potentialflächen. In einem elektrischen Feld ist dieser Begriff wohl eher geläufig. Potentialdifferenz heisst dann einfach die Differenz zwischen dem Funktionswert auf einer Zwiebelschale und dem Funktionswert auf einer anderen Schale, in der Elektrizitätslehre einfach als "Spannung" bezeichnet.
> > Im dreidimensionalen Fall bedeutet das, dass folgendes
> > gelten muss.
> >
> >
> [mm]\vektor{K_{3.2}-K_{2.3}\\K_{1.3}-K_{3.1}\\K_{2.1}-K_{1.2}}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
> >
> > Dabei bedeutet [mm]K_{i,j}[/mm] die partielle Ableitung der i-ten
> > Komponente nach der j-ten Variablen.
> >
> > Oder kurz gesagt: es muss gelten: [mm]K_{i.j}=K_{j.i}[/mm] für alle
> > i-j-Kombinationen.
>
> Im Königsberger ist rot allerdings genau andersrum
> definiert, was aber wohl eigentlich egal ist, oder?
>
Ich denke, es ist nur Sache der Konvention! Die Dinge verhalten sich ja in einer gespiegelten Welt gleich wie in der nicht-gespiegelten Welt. Links und rechts können nicht unterschieden werden, die Gesetze bleiben gleich!
> > > Es sei [mm]F(x,y,z):=(ay^2+2x(1+2z),2x(ay+b),2x(x-b))[/mm] für
> > > [mm](x,y,z)\in\IR^3, (a,b)\in\IR^2.[/mm] Bestimme b=b(a) derart,
> > > dass F ein Gradientenfeld ist, und finde eine
> > > Stammfunktion.
> >
> > Die Stammfunktion ist unsere Temperatur.
> >
> > Um den obigen Satz anzuwenden, müssen wir also folgende
> > Gleichungen lösen, um eine Bedingung für das [mm]b_[/mm] zu
> > erhalten:
> >
> > [mm]\bruch{\delta}{\delta y}(2x(x-b)) = \bruch{\delta}{\delta z}(2x(ay+b))[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\delta}{\delta z}(ay^2+2x(1+2z)) = \bruch{\delta}{\delta x}(2x(x-b))[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\delta}{\delta x}(2x(ay+b)) = \bruch{\delta}{\delta y}(ay^2+2x(1+2z))[/mm]
>
> >
> > Liebe Christiane, kannst du bis hierhin das mal
> > nachvollziehen und die konkrete Rechnung machen?
> Klar! Etwas muss ich ja auch noch tun!
> Also, ich finde zwar gerade meinen Schmierzettel von
> gestern nicht, aber ich hatte b=0 erhalten. Das kam mir
> zwar etwas komisch vor, aber es müsste wohl stimmen. Und
> warum schreiben die da noch b(a)? Nur noch zur Verwirrung?
Ich denke, nur um zu zeigen, dass b sicher nicht von x,y, oder z abhängt. Von a dürfte es abhängen, muss es aber nicht!
> Oder ist es Zufall, dass hier b=0 ist? Aber ist ja auch
> nicht ganz so wichtig...
>
> > Wenn du [mm]b_[/mm] bestimmt hast (nach meiner Rechnung hängt es
> > nicht von [mm]a_[/mm] ab), brauchst du nur noch eine
> > "Temperaturfunktion" zu finden. Sie ist nur bis auf eine
> > additative Konstante bestimmt.
> >
> > Also die Funktion, deren sämtliche partiellen Ableitungen
> > zu unserem Gradienten passen.
>
> Tja - aber wie finde ich diese denn? Ich hatte ganz am
> Anfang schon mal versucht, einfach jede Komponente (nennt
> man das hier so?) einzeln zu integrieren, dann erhalte ich
> allerdings drei "Stammfunktionen". Wenn ich mir davon dann
> mal die ersten beiden angucke, dann stelle ich fest
> (jedenfalls, nachdem ich b=0 errechnet habe), dass die
> zweite quasi in der ersten enthalten ist, also dass ich,
> wenn ich nur zwei Komponenten hätte, deine Funktion als
> Stammfunktion nehmen kann.
> Aber wenn ich mir die dritte "Stammfunktion" angucke, dann
> sehe ich nicht direkt, dass sie damit quasi auch schon
> abgedeckt ist. Das merke ich erst, wenn ich das Ganze
> ableite. Gibt es da ein allgemeines Prinzip, wie ich das
> rausbekomme? Oder muss man da einfach so etwas
> rumprobieren?
>
Ja, das siehst du doch alles goldrichtig. Ich hatte für b auch null erhalten.
Dann heisst die Funktion also so:
[mm] $F(x,y,z):=(ay^2+2x(1+2z),2axy,2x^2)$
[/mm]
Gesucht ist also die Funktion f(x,y,z), deren ableitung nach x die erste Komponente von F(x,y,z) ist, und so weiter. Und um das zu finden, integriert man tatsächlich am besten. Was sonst?
So erhalte ich (und du ja auch) folgende drei Möglichkeiten:
[mm] $f(x,y,z)=axy^2+x^2+2x^2z+C_1$
[/mm]
[mm] $f(x,y,z)=axy^2+C_2$
[/mm]
$f(x,y,z)=2x^2z + [mm] C_3$
[/mm]
Die Kunst besteht jetzt nur noch, die drei Konstanten so zu wählen, dass über all die gleiche Funktion herausschaut. Sie muss ja schliesslich für alle drei Koeffizienten des Gradienten herhalten!
Die alles entscheidende Überlegung ist jetzt ganz einfach: In der ersten Gleichung darf ich auch beliegige Ausdrücke addieren, die y und z enthalten, aber einfach keine x. y und z gelten ja als konstant, wenn ich nach x ableite.
Entsprechend darf in bei der zweiten Gleichung alles addieren, das nicht von y abhängt, und bei der dritten Gleichung alles, was nicht von z abhängt.
Dazu schaust du einfach bei den anderen Funktionen, was noch da ist, aber nicht von der "eigenen Variablen" abhängt.
Wenn du mal von der ersten Funktion ausgehst, dann findest du in den übrigen nichts mehr, das fehlt, also nicht von x abhängt.
Wenn du von der 2. Funktion ausgehst, dann entdeckst du aus der ersten Funktion noch ein [mm] $x^2$ [/mm] und ein [mm] $2xz^2$. [/mm] Die musst du also einfach noch zu deiner mittleren Funktion hinzunehmen. Aus der dritten Funktion muss dann nichts mehr genommen werden.
Und nun gehen wir noch von der 3. Funktion aus. Hier fehlt ja nur noch das [mm] $axy^2$ [/mm] aus der 2. oder 1. Funktion, und das [mm] $x^2$ [/mm] aus der 1. Funktion. Die nehmen wir also noch hinzu.
Und schon sind wir fertig, wenn wir die verbleibenden Konstanten [mm] $C_1$, $C_2$ [/mm] und [mm] $C_3$ [/mm] alle mit dem schönen Namen $C_$ versehen, $C_$ wie Christiane!
Hinweis: die 2. und 3. Funktion hätten wir in Tat und Wahrheit nicht mehr zu behandeln brauchen, da wir ja auf den Satz von Stokes vertrauen dürfen.
War das einigermassen nachvollziehbar? Sonst musst du halt einfach nochmals ein kleines, wärmendes Feuer machen und etwas relaxen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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