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| Aufgabe | | Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm] \alpha,\beta\in [/mm] K über k algebraische Elemente. Zeigen Sie: Sind die Grade [mm] [k(\alpha):k],[k(\beta):k] [/mm] teilerfremd, so gilt [mm] [k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha):k][k(\beta):k]. [/mm] |
Hallo,
ich drehe mich hier etwas im Kreis. Zunächst gilt nach Gradsatz:
[mm] [k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k]. [/mm] Also muss am Ende irgendwie [mm] [k(\alpha,\beta):k(\beta)]=[k(\alpha):k] [/mm] rauskommen. Gilt [mm] ggT([k(\alpha):k],[k(\beta):k])=1, [/mm] so gibt es ganze Zahlen x,y mit [mm] x[k(\alpha):k]+y[k(\beta):k]=1. [/mm]
Wenn man das dann in [mm] [k(\alpha,\beta):k(\alpha)]\cdot1 [/mm] einsetzt, kommt man zu: [mm] [k(\alpha,\beta):k(\alpha)]=[k(\beta):k]\{y[k(\alpha,\beta):k(\beta)]+y[k(\alpha,\beta):k(\alpha)]\}. [/mm] Dann müsste [mm] \{y[k(\alpha,\beta):k(\beta)]+y[k(\alpha,\beta):k(\alpha)]\}=1 [/mm] sein, damit die Aussage stimmt. Aber das konnte ich bisher nicht zeigen.
Braucht man dafür noch mehr Theorie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:49 Sa 25.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]\alpha,\beta\in[/mm] K
> über k algebraische Elemente. Zeigen Sie: Sind die Grade
> [mm][k(\alpha):k],[k(\beta):k][/mm] teilerfremd, so gilt
> [mm][k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha):k][k(\beta):k].[/mm]
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> ich drehe mich hier etwas im Kreis. Zunächst gilt nach
> Gradsatz:
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> [mm][k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k].[/mm]
Genau. Damit bist du auch schon fast fertig.
Damit sind naemlich [mm] $[k(\alpha) [/mm] : k]$ und [mm] $[k(\beta) [/mm] : k]$ Teiler von [mm] $[k(\alpha, \beta) [/mm] : k]$, und somit auch ihr kgV. Und das ist das Produkt, weil sie teilerfremd sind.
Du musst also nur noch zeigen, dass [mm] $[k(\alpha, \beta) [/mm] : k] [mm] \le [k(\alpha) [/mm] : k] [mm] \cdot [k(\beta) [/mm] : k]$ ist.
LG Felix
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> Moin!
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> > Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]\alpha,\beta\in[/mm] K
> > über k algebraische Elemente. Zeigen Sie: Sind die Grade
> > [mm][k(\alpha):k],[k(\beta):k][/mm] teilerfremd, so gilt
> > [mm][k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha):k][k(\beta):k].[/mm]
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> > ich drehe mich hier etwas im Kreis. Zunächst gilt nach
> > Gradsatz:
> >
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> [mm][k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k].[/mm]
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> Genau. Damit bist du auch schon fast fertig.
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> Damit sind naemlich [mm][k(\alpha) : k][/mm] und [mm][k(\beta) : k][/mm]
> Teiler von [mm][k(\alpha, \beta) : k][/mm], und somit auch ihr kgV.
> Und das ist das Produkt, weil sie teilerfremd sind.
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> Du musst also nur noch zeigen, dass [mm][k(\alpha, \beta) : k] \le [k(\alpha) : k] \cdot [k(\beta) : k][/mm]
> ist.
>
> LG Felix
>
Ok, danke. Dazu nur noch eine kleine Nachfrage. Es gilt doch: [mm] k(\alpha,\beta)=k(\{\alpha\}\cup\{\beta\})=k(\alpha)k(\beta)=\{\sum_{i}a_{i}b_{i}|a_{i}\in k(\alpha),b_{i}\in k(\beta)\} [/mm] oder? Wobei [mm] k(\alpha)k(\beta) [/mm] symbolisch als das Kopositum zu verstehen ist, also der kleinste Körper, der die beiden Zwischenkörper enthält.Damit komme ich schnell auf ein Erzeugendensystem und bin eigtl schnell fertig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 26.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]\alpha,\beta\in[/mm] K
> > > über k algebraische Elemente. Zeigen Sie: Sind die Grade
> > > [mm][k(\alpha):k],[k(\beta):k][/mm] teilerfremd, so gilt
> > > [mm][k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha):k][k(\beta):k].[/mm]
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> > > ich drehe mich hier etwas im Kreis. Zunächst gilt nach
> > > Gradsatz:
> > >
> > >
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> [mm][k(\alpha,\beta):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k].[/mm]
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> > Genau. Damit bist du auch schon fast fertig.
> >
> > Damit sind naemlich [mm][k(\alpha) : k][/mm] und [mm][k(\beta) : k][/mm]
> > Teiler von [mm][k(\alpha, \beta) : k][/mm], und somit auch ihr kgV.
> > Und das ist das Produkt, weil sie teilerfremd sind.
> >
> > Du musst also nur noch zeigen, dass [mm][k(\alpha, \beta) : k] \le [k(\alpha) : k] \cdot [k(\beta) : k][/mm]
> > ist.
> >
> > LG Felix
> >
>
> Ok, danke. Dazu nur noch eine kleine Nachfrage. Es gilt
> doch:
> [mm]k(\alpha,\beta)=k(\{\alpha\}\cup\{\beta\})=k(\alpha)k(\beta)=\{\sum_{i}a_{i}b_{i}|a_{i}\in k(\alpha),b_{i}\in k(\beta)\}[/mm]
> oder? Wobei [mm]k(\alpha)k(\beta)[/mm] symbolisch als das Kopositum
> zu verstehen ist, also der kleinste Körper, der die beiden
> Zwischenkörper enthält.Damit komme ich schnell auf ein
> Erzeugendensystem und bin eigtl schnell fertig.
Ja. Noch einfacher geht es aber ueber's Minimalpolynom. Das MiPo von [mm] $\beta$ [/mm] ueber [mm] $k(\alpha)$ [/mm] ist sicher ein Teiler des Mipos von [mm] $\beta$ [/mm] ueber $k$. Damit ist [mm] $[k(\alpha, \beta) [/mm] : [mm] k(\alpha)] \le [k(\beta) [/mm] : k]$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mi 16.11.2011 | | Autor: | schnatta |
Könntest du bitte die letzte Aussage noch einmal ausformulieren. Wir wissen jetzt nämlich nicht wie wir das Minimalpolynom anwenden sollen.
Liebe Grüße Natalie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 18.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Natalie
> Könntest du bitte die letzte Aussage noch einmal
> ausformulieren. Wir wissen jetzt nämlich nicht wie wir das
> Minimalpolynom anwenden sollen.
Sei $f [mm] \in k(\alpha)[T]$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\beta$ [/mm] ueber [mm] $k(\alpha)$, [/mm] und sei $g [mm] \in [/mm] k[T]$ das Minimalpolynom von [mm] $\beta$ [/mm] ueber $k$. Es gilt also [mm] $f(\beta) [/mm] = 0 = [mm] g(\beta)$.
[/mm]
Nun ist ebenfalls $g [mm] \in k(\alpha)[T]$, [/mm] womit es $q, r [mm] \in k(\alpha)[T]$ [/mm] mit [mm] $\deg_T [/mm] r < [mm] \deg_T [/mm] f$ gibt mit $g = q f + r$, und es gilt $0 = [mm] g(\beta) [/mm] = [mm] q(\beta) \cdot f(\beta) [/mm] + [mm] r(\beta) [/mm] = [mm] r(\beta)$. [/mm] Nun ist $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\beta$ [/mm] ueber [mm] $k(\alpha)$, [/mm] womit es kein Polynom mit Grad kleiner als [mm] $\deg_T [/mm] f$ gibt mit Koeffizienten in [mm] $k(\alpha)$, [/mm] welches [mm] $\beta$ [/mm] als Nullstelle hat - ausser das Nullpolynom. Also gilt $r = 0$ und somit ist $g = q f$, also $g [mm] \mid [/mm] f$ in [mm] $k(\alpha)[T]$.
[/mm]
Die Beziehung der Minimalpolynome zu den Koerpergraden kennst du, oder?
LG Felix
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