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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 27.12.2012 | | Autor: | Mooish |
| Aufgabe | | Stellen Sie die separierbare Differentialgleichung [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] y(x) = [mm] \bruch{1+3x^{2}}{3y^{2}-6y} [/mm] grafisch dar (ohne Rechner). Die implizite Darstellung lautet [mm] -x-x^{3}+y^{3}-3y^{2}=c [/mm] |
Wie muss ich vorgehen, um diese DGL grafisch darstellen zu können?
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Du nimmst ein Koordinatensystem und wählst darin irgendeinen Punkt (x|y) aus, wo bei y sweder 0 noch 2 sein sollte, weil sonst der Nenner rechts 0 würde, z.B. (2|1). Jetzt rechnest du die rechte Seite aus und erhältst bei meinem Beispiel [mm] 13/(-3)=-4\bruch{1}{3}. [/mm] Wie dir nuin die linke Seite der Gleichung zeigt, ist das die Steigung des (jeweiligen) Funktionsgraphen. Im Koordinatensystem ziehst du nun durch den Punkt (2|1) eine kleine Strecke mit der Steigung [mm] -4\bruch{1}{3}. [/mm] So verfährst du mit vielen anderen Punkten. Wenn du dabei immer nur entweder den x- oder den Y-Wert änderst, geht die Berechnung schneller, weil du dann den Zähler bzw. Nenner vorübergehend beibehalten kannst.
Nun hast du ein Bild mit ganz vielen kleinen Strichen. Stell dir vor, es wären alles Fähnchen, die sich ein einer Windströmung ausgerichtet haben. Versuche, sie so durch geschlossenen Linienzüge zu verbinden, dass die "Windfähnchen" Tangentenstückchen bilden. Alle verschiedenen Linienzüge bilden verschiedene mögliche Lösungen, die sich in der angegebenen Lösung durch verschiedene c-Werte unterscheiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Do 27.12.2012 | | Autor: | Mooish |
Hervorragend, vielen Dank!
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Hier die Kurvenschar von c = -10 bis c = 10. Für y=0 und y=2 ist die Steigung jeweils unendlich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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