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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 10.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | [mm] \overrightarrow{v_{1}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \overrightarrow{v_{2}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \overrightarrow{v_{3}}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \overrightarrow{v_{4}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wende das Gram Schmidt Verfahren auf die Basis [mm] B={\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}}, \overrightarrow{v_{4}}} [/mm] an ,um diese Basis in eine Orthonormalbasis [mm] B_{0}={{\overrightarrow{w_{1}}, \overrightarrow{w_{2}}, \overrightarrow{w_{3}}, \overrightarrow{w_{4}} }} [/mm] umzurechnen. |
Einen schönen Sonntag euch allen,
ich hab das gemacht und wollte wissen ob meine Lsg. richtig ist.
Da das sehr viel Tippaufwand ist, werd ich erstmal nur meinen Lösungsweg mit der dazugehörigen Lösung presntieren, wenn das ok ist.
Wenn ich fehler gemacht habe erläutere ich gern meine einzelnen Rchenschritte
also
[mm] \overrightarrow{v_{1}}\not=\overrightarrow{w_{1}}=\frac{\overrightarrow{v_{1}}}{||\overrightarrow{v_{1}}||}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{l_{2}}=\overrightarrow{v_{2}}-<\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{w_{1}}>\overrightarrow{w_{1}}=\overrightarrow{w_{2}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{l_{3}}=\overrightarrow{v_{3}}-<\overrightarrow{v_{3}},\overrightarrow{w_{1}}>\overrightarrow{w_{1}}-<\overrightarrow{v_{3}},\overrightarrow{w_{2}}>\overrightarrow{w_{2}}=\overrightarrow{w_{3}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{l_{4}}=\overrightarrow{v_{4}}-<\overrightarrow{v_{4}},\overrightarrow{w_{1}}>\overrightarrow{w_{1}}-<\overrightarrow{v_{4}},\overrightarrow{w_{2}}>\overrightarrow{w_{2}}-<\overrightarrow{v_{4}},\overrightarrow{w_{3}}>\overrightarrow{w_{3}}
[/mm]
[mm] \frac{\overrightarrow{l_{4}}}{||\overrightarrow{l_{4}}||}=\overrightarrow{w_{4}}
[/mm]
$ONB [mm] =(\vektor{\frac{1}{\wurzel{2}} \\ \frac{1}{\wurzel{2}} \\0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{-\frac{1}{2} \\ 0 \\ 0\\ 0},\vektor{0 \\ -\frac{2}{5} \\ 0 \\ \frac{4}{5}})$
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe Gruß hooover
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Für den Gramschmidt musst du noch ein Skalarprodukt angeben.
Ich nehme mal an, es sollte das Standardskalarprodukt sein (auch Euklidisches Skalarprodukt genannt). In diesem Fall hast du falsch gerechnet, denn ausser den letzten beiden Vektoren sind keine orthogonal zueinander.
Allgemein:
Man setzt (wie du richtig gemacht hast)
[mm] $l_{1}=v_{1}$
[/mm]
Die Formel für den jeweils nächsten Vektor berechnet sich zu
[mm] $l_{k+1}= v_{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{k} \bruch{(v_{k+1},l_{i})}{(l_{i},l_{i})}*l_{i}$
[/mm]
Wobei [mm] $v_{k}$ [/mm] die gegebenen "Startvektoren" sind und [mm] $l_{k}$ [/mm] der zu den bereits berechneten Vektoren orthogonale ist. Am Schluss muss man noch die Vektoren [mm] $l_{k}$ [/mm] normieren, damit du auch eine Orthonormalbasis hast.
Rechne das mal so durch und du kriegst (hoffentlich) etwas sinnvolleres 
Ciao
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 10.09.2006 | | Autor: | hooover |
Hallo,
ok ich habe das alles nochmal nachvollzogen und gesehen das ich da einige fehler gemacht habe
bin mir aber dennoch nicht sicher ob das stimmt,
hier ist die nachgebesserte Lsg.:
$ ONB [mm] =(\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1 \\0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\wurzel{2}\vektor{\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 0},\frac{1}{\wurzel{6}}\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }) [/mm] $
vielen DAnk gruß hooover
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> Hallo,
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> hier ist die nachgebesserte Lsg.:
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> [mm]ONB =(\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1 \\0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\wurzel{2}\vektor{\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 0},\frac{1}{\wurzel{6}}\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 })[/mm]
>
> vielen DAnk gruß hooover
Ja das sieht schon viel besser aus. Die ersten drei sind richtig, doch der letzte ist z.B. nicht orthogonal zum ersten Vektor. Das wäre der richtige:
[mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }$
[/mm]
Tipp: Der zweite Summand, den du abziehen musst, des letzten Schrittes von Gram-Schmidt ist Null, da [mm] $v_{4}$ [/mm] orthogonal zu [mm] $l_{2}$ [/mm] ist.
Tschüss
EvenSteven
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