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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Di 08.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Das Gram-Schmidt-Verfahren liefert
[mm] q_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] und [mm] q_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}
[/mm]
Beschreiben Sie alle möglichen Eingabevektoren [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2. [/mm] |
Hallo,
die beiden Vektoren zusammen ergeben eine Drehmatrix, die Determinante desssen ergibt 1, also invertierbar.
Bringt mir diese Überlegung irgendetwas?
Die beiden Vektoren sind normiert (Länge 1) und orthogonal zueinander.
Wenn man zwei Vektoren hat und auf diese das Gram-Schmidt-Verfahren anwendet, hat man zum Schluss zwei Vektoren die senkrecht zueinander sind und die Länge Eins haben.
Ich habe aber ein Problem damit, alle möglich Eingabevektoren [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] zu beschreiben.
Also Vektoren mit zwei Komponenten, die Winkelfunktionen [mm] cos(\alpha) [/mm] und [mm] sin(\alpha) [/mm] enthalten? Wäre das schon eine richtige Beschreibung aller möglicher Eingabevektoren?
Ich habe auch versucht, das Gram-Schmidt-Verfahren rückwarts anzuwenden, da kam allerdings nichts vernünftiges heraus.
Gruß
itse
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> Das Gram-Schmidt-Verfahren liefert
>
> [mm]q_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]q_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Beschreiben Sie alle möglichen Eingabevektoren [mm]a_1[/mm] und
> [mm]a_2.[/mm]
Hallo,
schon wieder von Deinen Aufgaben, die ich "komisch" finde...
Beim Gram-Schmidt-Verfahren passiert ja mit dem ersten Vektor nichts, außer daß er normiert wird.
Also muß der erste Eingabevektor ja sein [mm] a_1=r*\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] mit r>0.
Der zweite Eingabevektor darf natürlich kein Vielfaches von [mm] a_1 [/mm] sein. Sofern er das nicht ist, können nach der Anwendung von Gram-Schmidt ja nur die Vektoren [mm] q_2 [/mm] oder [mm] -q_2 [/mm] herauskommen, denn andere zu [mm] q_1 [/mm] senkrechte Einheitsvektoren gibt's ja nicht.
Unter welchen Bedingungen man nun welchen erhält, müßtest Du noch untersuchen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Das Gram-Schmidt-Verfahren liefert
> >
> > [mm]q_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> > und [mm]q_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Beschreiben Sie alle möglichen Eingabevektoren [mm]a_1[/mm] und
> > [mm]a_2.[/mm]
>
> Hallo,
>
> schon wieder von Deinen Aufgaben, die ich "komisch"
> finde...
Da kann ich nur zustimmen
>
> Beim Gram-Schmidt-Verfahren passiert ja mit dem ersten
> Vektor nichts, außer daß er normiert wird.
>
> Also muß der erste Eingabevektor ja sein
> [mm]a_1=r*\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> mit r>0.
Hallo Angela,
r<0
ist auch zulässig.
FRED
>
>
> Der zweite Eingabevektor darf natürlich kein Vielfaches
> von [mm]a_1[/mm] sein. Sofern er das nicht ist, können nach der
> Anwendung von Gram-Schmidt ja nur die Vektoren [mm]q_2[/mm] oder
> [mm]-q_2[/mm] herauskommen, denn andere zu [mm]q_1[/mm] senkrechte
> Einheitsvektoren gibt's ja nicht.
>
> Unter welchen Bedingungen man nun welchen erhält,
> müßtest Du noch untersuchen.
>
> Gruß v. Angela
>
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> > Beim Gram-Schmidt-Verfahren passiert ja mit dem ersten
> > Vektor nichts, außer daß er normiert wird.
> >
> > Also muß der erste Eingabevektor ja sein
> > [mm]a_1=r*\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> > mit r>0.
>
>
> Hallo Angela,
>
> r<0
>
> ist auch zulässig.
>
> FRED
Hallo,
ja, aber wenn ich mit [mm] a_1= -|r|\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] starte und streng nach Vorschrift das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren anwende, dann bekomme ich als ersten Vektor [mm] v_1 [/mm] den Vektor [mm] v_1= -\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}, [/mm] welcher ungleich dem von itses Chefs gewünschten Vektor [mm] a_1 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
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> > > Beim Gram-Schmidt-Verfahren passiert ja mit dem ersten
> > > Vektor nichts, außer daß er normiert wird.
> > >
> > > Also muß der erste Eingabevektor ja sein
> > > [mm]a_1=r*\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> > > mit r>0.
> >
> >
> > Hallo Angela,
> >
> > r<0
> >
> > ist auch zulässig.
> >
> > FRED
>
> Hallo,
>
> ja, aber wenn ich mit [mm]a_1= -|r|\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> starte und streng nach Vorschrift das
> Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren anwende, dann
> bekomme ich als ersten Vektor [mm]v_1[/mm] den Vektor [mm]v_1= -\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix},[/mm]
> welcher ungleich dem von itses Chefs gewünschten Vektor
> [mm]a_1[/mm] ist.
Da hst Du recht. Ich war zu voreilig
FRED
>
> Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 09.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
also der erste Eingangsvektor muss [mm] a_1 [/mm] = r [mm] \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] mit r > 0 oder r < 0, damit der Normierungsfaktor am Schluss wieder aufgehoben wird.
A = r [mm] \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] (noch nicht normiert für die Gleichung später)
[mm] q_2 [/mm] ist nun [mm] \begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}, [/mm] also auch schon normiert.
Damit dieser Normierungsfaktor wieder aufgehoben wird mit z, B = z [mm] \begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}
[/mm]
Den zweiten orthornomalen Vektor zu [mm] q_1 [/mm] erhält man aus folgender Gleichung:
B = [mm] a_2 [/mm] - [mm] \bruch{A^T a_2}{A^T A} [/mm] A
z [mm] \begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \bruch{ r \begin{pmatrix} cos(\alpha) sin(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}{r \begin{pmatrix} cos(\alpha) sin(\alpha) \end{pmatrix} r \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}} [/mm] r [mm] \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}
[/mm]
Dies müsste ich doch nun so weiterführen?
Jedoch erhalte ich hierbei nichts passendes, wie müsste denn der zweite Eingabevektor [mm] a_2 [/mm] aussehen? Reicht nicht schon die Formulierung, nichts Vielfaches von [mm] a_1?
[/mm]
Gruß
itse
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> also der erste Eingangsvektor muss [mm]a_1[/mm] = r [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> mit r > 0 oder r < 0,
Hallo,
studiere meinen kl. Dialog mit Fred: es muß das r größer als 0 sein.
> Jedoch erhalte ich hierbei nichts passendes, wie müsste
> denn der zweite Eingabevektor [mm]a_2[/mm] aussehen? Reicht nicht
> schon die Formulierung, nichts Vielfaches von [mm]a_1?[/mm]
Nein, das reicht nicht.
Denn wie erwähnt gibt es ja noch einen zweiten Vektor, welcher senkrecht zu [mm] q_1 [/mm] ist, und Du sollst ja sagn, wie Du [mm] a_2 [/mm] wählen mußt, damit genau der angegebene Vektor herauskommt.
Durchgerechnet hab ich nichts.
Ich wird nicht Gram-Schmidt rückwärts versuchen.
Sondern: überlege Dir, daß der Vektor [mm] a_2 [/mm] sich darstellen läßt als [mm] a_2=s*\vektor{cos(\beta)\\sin(\beta)} [/mm] mit s>0.
Und jetzt würde ich mal das Verfahren durchlaufen lassen, und am Ende gucken, wie [mm] \beta [/mm] sein muß, damit sich der Vektor [mm] \q [/mm] ergibt.
Gruß v. Angela
damit der Normierungsfaktor am
> Schluss wieder aufgehoben wird.
>
> A = r [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> (noch nicht normiert für die Gleichung später)
>
> [mm]q_2[/mm] ist nun [mm]\begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix},[/mm]
> also auch schon normiert.
>
> Damit dieser Normierungsfaktor wieder aufgehoben wird mit
> z, B = z [mm]\begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Den zweiten orthornomalen Vektor zu [mm]q_1[/mm] erhält man aus
> folgender Gleichung:
>
>
> B = [mm]a_2[/mm] - [mm]\bruch{A^T a_2}{A^T A}[/mm] A
>
> z [mm]\begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] - [mm]\bruch{ r \begin{pmatrix} cos(\alpha) sin(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}{r \begin{pmatrix} cos(\alpha) sin(\alpha) \end{pmatrix} r \begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}}[/mm]
> r [mm]\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dies müsste ich doch nun so weiterführen?
>
> Jedoch erhalte ich hierbei nichts passendes, wie müsste
> denn der zweite Eingabevektor [mm]a_2[/mm] aussehen? Reicht nicht
> schon die Formulierung, nichts Vielfaches von [mm]a_1?[/mm]
>
> Gruß
> itse
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