Gram-Schmidt mit VR d Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
bei der folgenden Aufgabe finde ich ist die Aufgabenstellung sehr knapp ausgefallen. Ich weiß gar nicht, womit was gemeint ist. Vielleicht können diejenigen unter euch mit etwas mehr Erfahrung mir helfen?!
Aufgabe:
Es sei V der VR der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens drei, versehen mit dem Skalarprodukt
[mm] \left\langle f|g \right\rangle= \integral_{0}^{1} [/mm] {f(t)g(t) dt}.
Wenden sie auf die Basis [mm] {1,x,x^{2},x^{3}} [/mm] von V das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren an.
Ich frage mich jetzt, was genau das (t), bzw. f und g sind.
Ich habe ja [mm] \IB [/mm] und suche [mm] \hat \IB. [/mm] Wenn [mm] {u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}} ={1,x,x^{2},x^{3}}, [/mm] dann ist doch mein gesuchtes [mm] v_{1}=1, [/mm] weil [mm] v_{1}= \bruch{u_{1}}{\left| \left| u_{1} \right| \right|}
[/mm]
Nun komme ich leider ins Straucheln.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Also das t ist das x und f und g sind polynome. Das Skalarprodukt zweier Funktionen ist also als Inegral ihres Produktes zwischen 0 und 1 definiert
Ok mal zum Anfang der Betrag von x
[mm] ||x||^2 =(x|x)=\int_0^1 x^2 dx=[\bruch{1}{3}x^3]_0^1=\bruch{1}{3} [/mm] Also wäre jetzt [mm] \wurzel{3}x [/mm] ein Normierter Vektor. Allerdings ist der nicht Orthogonal zu 1 ich muss also ein Pol. 1. Gradesfinden dessen integral von 0 bis 1 0 ergibt. Ich würde mal x-0.5 voschlagen das muss man dann halt wieder normieren...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Olek |
Wieso ist es denn wichtig, warum [mm] ||x||^2 =(x|x)=\int_0^1 x^2 dx=[\bruch{1}{3}x^3]_0^1=\bruch{1}{3} [/mm] ist? Und wie kommst du davon auf [mm] \wurzel{3}x?
[/mm]
Ich erkenne da noch keinen Zusammenhang zu Gram-Schmidt.
Trotzdem schonmal Dankeschön für deine Mühe.
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> Wieso ist es denn wichtig, warum [mm]||x||^2 =(x|x)=\int_0^1 x^2 dx=[\bruch{1}{3}x^3]_0^1=\bruch{1}{3}[/mm]
> ist? Und wie kommst du davon auf [mm]\wurzel{3}x?[/mm]
> Ich erkenne da noch keinen Zusammenhang zu Gram-Schmidt.
> Trotzdem schonmal Dankeschön für deine Mühe.
Also prinzipiell mußt Du beim Orthonormalisierungsverfahren von Gram/Schmidt erstmal orthogonale Vektoren finden, die denselben Raum aufspannen wie das System, das Du vorher hattest.
Das wurde aber in den anderen Beiträgen schon zu Genüge erklärt.
Was Kathrin da gemacht hat, ist, den Vektor zu normieren, d.h. ihn mit "Länge" 1 zu versehen.
Dazu müssen wir die Norm des Vektors ausrechnen und dadurch teilen.
Die verwendete Norm ist hierbei die vom Skalarprodukt (,) induzierte Norm, d.h. [mm] $||x||:=\wurzel{(x,x)}$.
[/mm]
Genau das ist es was Kathrin auch gemacht hat, nur hat sie erst das Skalarprodukt ausgerechnet und dann in einem Schritt (was dir wahrscheinlich den Zugang dazu versperrt hat) die Wurzel gezogen und dadurch geteilt, d.h. im Klartext: x hat die Norm [mm] $\wurzel{\frac{1}{3}}$, [/mm] und wenn wir nun den Vektor x durch seine Norm teilen, haben wir natürlich [mm] $\wurzel{3}*x$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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Hallo!
Wie du schon ganz richtig festgestellt hast, ist [mm] $u_1=1,\ u_2=X,\ u_3=X^2,\ u_4=X^3$.
[/mm]
Wegen [mm] $\langle 1|1\rangle=\int_0^1 [/mm] 1dt=1$ ist [mm] $v_1=1$ [/mm] dein erster normalisierter Vektor.
Die Formel besagt: [mm] $\tilde v_2=u_2-\langle u_2|v_1\rangle v_1$ [/mm] und [mm] $v_2=\bruch{\tilde v_2}{\|\tilde v_2\|}$. [/mm] Da setzen wir jetzt einfach ein:
[mm] $\tilde v_2=u_2-\langle u_2|v_1\rangle v_1= X-\int_0^1 t*1dt*1=X-\left[\bruch{t^2}{2}\right]_0^1*1=X-\bruch{1}{2}*1$.
[/mm]
Jetzt muss das noch normalisiert werden:
[mm] $\left< X-\bruch{1}{2}|X-\bruch{1}{2}\right>=\int_0^1\left(t-\bruch{1}{2}\right)^2dt=\int_0^1 t^2-t+ \bruch{1}{4}dt= \left[\bruch{t^3}{3}-\bruch{t^2}{2}+\bruch{t}{4}\right]_0^1=\bruch{1}{12}$.
[/mm]
Also ist [mm] $v_2=\sqrt{12}\left(X-\bruch{1}{2}\right)$.
[/mm]
Das die Zahlen so hässlich sind ist bei orthogonalen Polynomen leider ziemlich normal. Besser wäre her dennoch das Intervall $[-1;1]$ als Träger, damit käme man auf die sogenannten Legendre-Polynome und wenigstens etwas hübschere Zahlen...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Olek |
Cool,
das habe ich glaube ich verstanden. Wird sich gleich zeigen, wenn ich es auf die weiteren Vektoren anwende.
Wie bist du allerdings von [mm] \tilde v_2=u_2-\langle u_2|v_1\rangle v_1 [/mm] nach [mm] X-\int_0^1 t\cdot{}1dt\cdot{}1 [/mm] gekommen? [mm] u_{2} [/mm] ist doch x, wo ist das denn hin? Das g(t) und f(t) verwirrt mich noch mächtig, den Rest konnte ich aber nachvollziehen!
Aber kann es sein, dass sich bei dir im Ergebnis ein Vorzeichenfehler eingeschlichen hat? Du hattest di ganze Zeit x- 1/2 und dann auf einmal x+ 1/2. Ich habe das gerade nachgerechnet und bin nicht auf das Plus gekommen!?
Ansonsten supervielen Dank,
Olek
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Hallo Olek!
> Cool,
> das habe ich glaube ich verstanden. Wird sich gleich
> zeigen, wenn ich es auf die weiteren Vektoren anwende.
> Wie bist du allerdings von [mm]\tilde v_2=u_2-\langle u_2|v_1\rangle v_1[/mm]
> nach [mm]X-\int_0^1 t\cdot{}1dt\cdot{}1[/mm] gekommen? [mm]u_{2}[/mm] ist
> doch x, wo ist das denn hin?
Ich ersetze [mm] $u_2$ [/mm] durch $X$ (alte Gewohnheit: Ich bezeichne Polynome immer mit $X$, um sie von Funktionen zu unterscheiden. Ist noch eine alte Krankheit aus meinem Lineare-Algebra-Kurs, dort wurde auf solche Feinheiten großen wert gelegt...), also in deiner Notation durch $x$, sowie [mm] $v_1$ [/mm] durch $1$. Jetzt fasse ich [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] als zwei Funktionen auf, aus denen ich das Skalarprodukt bilden kann. Dieses ist definiert über das Integral.
> Das g(t) und f(t) verwirrt
> mich noch mächtig, den Rest konnte ich aber
> nachvollziehen!
Das freut mich! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> Aber kann es sein, dass sich bei dir im Ergebnis ein
> Vorzeichenfehler eingeschlichen hat? Du hattest di ganze
> Zeit x- 1/2 und dann auf einmal x+ 1/2. Ich habe das gerade
> nachgerechnet und bin nicht auf das Plus gekommen!?
Klassischer Fall von Tippfehler... Korrigiere es gleich...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Chlors |
Hi,
ich habe auch diese Aufgabe. Allerdings habe ich für die vektoren nicht noch mal eine normalisierung vorgenommen.. die formel ist doch schon für normalisierte vektoren, warum dann nochmal normalisieren??
LG, Conny.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Do 28.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Ganz einfach nur weil die Vektoren die du reingibst länge 1 haben, heisst das noch lange nicht das der Rauskommende Vektor auch länge 1 hat.
Einfaches Beispiel [mm] v_1=\vektor{1\\0} u_2=\vektor{2^{-1/2}\\2^{-1/2}}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{2^{-1/2}\\2^{-1/2}}-(2^{-1/2}*1)\vektor{1\\0}=\vektor{0\\2^{-1/2}} [/mm] und damit ist die Länge von [mm] v_2=2^{-1/2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
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