Gram-Schmidtsches Orthog. < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 25.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Bestimmen Sie aus der Basis
[mm]f_1(x)\equiv 1, f_2(x)\equiv x, f_3(x)\equiv x^2[/mm]
des Raumes der Polynome zweiten Grades als Teilmenge des [mm] L_2([-1,1]) [/mm] durch Gram-Schmidt-Orthogonalisierung die zugehörige Orthonomalbasis. |
Hallo,
also [mm]f_1(x)\equiv 1, f_2(x)\equiv x, f_3(x)\equiv x^2[/mm] das bedeutet doch, ich haben eine Basis [mm] v_B=\vektor{1 \\ x \\ x^2}.
[/mm]
Nun habe ich bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia geschaut wie ich die Orthonormalbasis berechnen kann.
Mein Problem ist gerade, was ist denn bei mir [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] w_2, [/mm] etc? Da es ja eine Teilmenge von [mm] L_2([-1,1]) [/mm] ist, bedeutet das für mich, dass
[mm] w_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] w_2=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}? [/mm] Ich mein damit könnte ich dann ja auch ohne Probleme [mm] v_1, [/mm] ... bestimmen oder?
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Bei Dir ist [mm] w_i=f_i [/mm] (i=1,2,3)
[mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] ist die gesuchte ONB
Z.B ist
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} [/mm]
[mm] v_2^\prime [/mm] = [mm] w_2 [/mm] - [mm] \langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1 [/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} [/mm]
Dabei ist $<f,g>= [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x)*g(x) dx}$ [/mm] und $||f||= [mm] \wurzel{}$
[/mm]
FRED
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 25.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo FRED,
> Dabei ist [mm]= \integral_{-1}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm] und
> [mm]||f||= \wurzel{}[/mm]
Damit komm ich dann auf
[mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{1} =1 [/mm]
[mm]v_2^\prime[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]\langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1= x - \integral_{-1}^{1}{1*x dx}*1 = x-1 [/mm]
[mm]v_2[/mm] = [mm]\frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \bruch{x-1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(x-1)^2 dx}}} = \bruch{x-1}{\wurzel{\bruch{8}{3}}}[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Kayle
>
> FRED
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Hallo Kayle,
> Hallo FRED,
>
> > Dabei ist [mm]= \integral_{-1}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm] und
> > [mm]||f||= \wurzel{}[/mm]
>
> Damit komm ich dann auf
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{1} =1[/mm]
Das stimmt nicht, denn
[mm]= \integral_{-1}^{1}{1*1 \ dx}=2[/mm]
Demnach
[mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]v_2^\prime[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]\langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1= x - \integral_{-1}^{1}{1*x dx}*1 = x-1[/mm]
>
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \bruch{x-1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(x-1)^2 dx}}} = \bruch{x-1}{\wurzel{\bruch{8}{3}}}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Leider nicht.
>
> Kayle
>
>
> >
> > FRED
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 25.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo Mathepower,
> Hallo Kayle,
>
> > Hallo FRED,
> >
> > > Dabei ist [mm]= \integral_{-1}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm] und
> > > [mm]||f||= \wurzel{}[/mm]
> >
> > Damit komm ich dann auf
> >
> > [mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{1} =1[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht, denn
>
> [mm]= \integral_{-1}^{1}{1*1 \ dx}=2[/mm]
>
> Demnach
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
Ist natürlich richtig, da war ich etwas beim Skalarprodukt von Vektoren.
> >
> > [mm]v_2^\prime[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]\langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1= x - \integral_{-1}^{1}{1*x dx}*1 = x-1[/mm]
>
> >
> > [mm]v_2[/mm] = [mm]\frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \bruch{x-1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(x-1)^2 dx}}} = \bruch{x-1}{\wurzel{\bruch{8}{3}}}[/mm]
>
> >
> > Ist das soweit korrekt?
>
>
> Leider nicht.
[mm]v_2^\prime[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]\langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1= x - \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{2}}x dx}*\bruch{1}{\wurzel{2}} = x-\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}) = x[/mm]
[mm]v_2[/mm] = [mm]\frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \bruch{x}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(x)^2 dx}}} = \bruch{x}{\wurzel{\bruch{2}{3}}}[/mm]
Ist jetzt besser oder hab ich mich wieder vertan?
Kayle
> >
> > Kayle
> >
> >
> > >
> > > FRED
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Kayle,
> Hallo Mathepower,
>
> > Hallo Kayle,
> >
> > > Hallo FRED,
> > >
> > > > Dabei ist [mm]= \integral_{-1}^{1}{f(x)*g(x) dx}[/mm] und
> > > > [mm]||f||= \wurzel{}[/mm]
> > >
> > > Damit komm ich dann auf
> > >
> > > [mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{1} =1[/mm]
>
> >
> >
> > Das stimmt nicht, denn
> >
> > [mm]= \integral_{-1}^{1}{1*1 \ dx}=2[/mm]
> >
> > Demnach
> >
> > [mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> >
> Ist natürlich richtig, da war ich etwas beim Skalarprodukt
> von Vektoren.
> > >
> > > [mm]v_2^\prime[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]\langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1= x - \integral_{-1}^{1}{1*x dx}*1 = x-1[/mm]
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> >
> > >
> > > [mm]v_2[/mm] = [mm]\frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \bruch{x-1}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(x-1)^2 dx}}} = \bruch{x-1}{\wurzel{\bruch{8}{3}}}[/mm]
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> > >
> > > Ist das soweit korrekt?
> >
> >
> > Leider nicht.
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> [mm]v_2^\prime[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]\langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1= x - \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{2}}x dx}*\bruch{1}{\wurzel{2}} = x-\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}) = x[/mm]
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> [mm]v_2[/mm] = [mm]\frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \bruch{x}{\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(x)^2 dx}}} = \bruch{x}{\wurzel{\bruch{2}{3}}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ist jetzt besser oder hab ich mich wieder vertan?
Das ist jetzt viel besser.
>
> Kayle
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Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 25.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Ich danke euch :)
Viele Grüße und einen schönen Abend!
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