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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Do 10.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Orthonormalisiere das folgende System von Vektoren in dieser Reihenfolge:
[mm] w_1=\vektor{1 \\-1 \\ 0}, w_2=\vektor{0 \\2 \\ -1}, w_3=\vektor{2 \\1 \\ -1} [/mm] |
Hallo.
Zunächst würde ich gerne wissen wofür man so etwas macht..
Laut Wikipedia, führt das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf eine orthogonale Basis.
Nun gut, ich bekomme also ein rechtwinkliges Koordinatensystem eines Vektorraumes.. Oder?
Wenn diese Basis normalisiert ist, dann entspricht sie beispielsweise der Kanonischen Basis, wo jeder Vektor normiert ist.
Was bringt so eine Normierung auf Standardlänge?
Wozu braucht man Orhogonale bzw. Orthonormale Basen..
Wieso ist die Reihenfolge entscheidend? Hat das was mit einem rechtshändigem bzw. linkshändigem Koordinatensystem zu tun?
Wie stark stehen die Begriffe Basis und Koordinatensystem in einer Beziehung?
Wäre froh wenn jemand Licht ins Dunkel bringen könnte :)
Laut Wikipedia gehe ich bei der Orthonormalisierung folgendermaßen vor:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \bruch{w_1}{|w_1|}
[/mm]
[mm] v_1 [/mm] = [mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\-1 \\ 0}
[/mm]
..also Vektor geteilt durch seine Länge. Das leuchtet mir ein, es ist die Normierung.
[mm] v'_2=w_2-*v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \bruch{v'_2}{|v'_2|}
[/mm]
[mm] v'_2=\vektor{0 \\2 \\ -1}-\wurzel{2}*\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\-1 \\ 0}=\vektor{-1 \\3 \\-1}
[/mm]
..normieren: [mm] v_2 [/mm] = [mm] \bruch{v'_2}{|v'_2|}= \bruch{1}{\wurzel{12}}*\vektor{-1 \\3 \\-1}=\bruch{\wurzel{3}}{6}*\vektor{-1 \\3 \\-1}
[/mm]
weiter..
[mm] v'_3=w_3--*v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] = [mm] \bruch{v'_3}{|v'_3|}
[/mm]
also..
[mm] v'_3=\vektor{2 \\1 \\ -1}- (\bruch{1}{\wurzel{2}})*\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\-1 \\ 0}-\bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{\wurzel{3}}{6}*\vektor{-1 \\3 \\-1}
[/mm]
[mm] v'_3=\vektor{\bruch{5}{3} \\ \bruch{7}{6}\\ -\bruch{5}{6}}
[/mm]
[mm] v_3=\bruch{\wurzel{174}}{6}*\vektor{\bruch{5}{3} \\ \bruch{7}{6}\\ -\bruch{5}{6}}
[/mm]
Also irgendwie kann das ganze nicht stimmen, da [mm] [/mm] = 0, [mm] [/mm] = 0 usw. sein sollte, da ja das Skalarprodukt von zwei orthogonalen Vektoren null ist.
Hmm..
Sei die Rechnung erstmal dahin gestellt.. Könntet Ihr mir die oben gestellten fragen beantworten, bzw. meine Aussagen verifizieren?
Vielen Dank
Grüße
stowoda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Phil_W |
> Hallo.
>
> Zunächst würde ich gerne wissen wofür man so etwas
> macht..
>
> Laut Wikipedia, führt das Gram-Schmidtsche
> Orthogonalisierungsverfahren auf eine orthogonale Basis.
> Nun gut, ich bekomme also ein rechtwinkliges
> Koordinatensystem eines Vektorraumes.. Oder?
Man kann es sich so vorstellen ja.
> Wenn diese Basis normalisiert ist, dann entspricht sie
> beispielsweise der Kanonischen Basis, wo jeder Vektor
> normiert ist.
>
Nur dass die Linearkombinationen aus deinen Vektoren anders aussehen
> Was bringt so eine Normierung auf Standardlänge?
Wenn du einen Würfel darstellen willst und die Basisvektoren als Achsen einzeichnest hat er tatsächlich gleichlange Kanten
> Wozu braucht man Orhogonale bzw. Orthonormale Basen..
Es ist angenehmer in ihnen zu rechnen da du dir z.B. über Winkel nicht mehr soviele Gedanken machen musst
> Wieso ist die Reihenfolge entscheidend? Hat das was mit
> einem rechtshändigem bzw. linkshändigem Koordinatensystem
> zu tun?
>
Eine Basis ist schlichtweg geordnet.
>
> Wie stark stehen die Begriffe Basis und Koordinatensystem
> in einer Beziehung?
>
Man kann sich die Basisvektoren als Achsen des Systems vorstellen
> Wäre froh wenn jemand Licht ins Dunkel bringen könnte :)
>
>
>
>
> Laut Wikipedia gehe ich bei der Orthonormalisierung
> folgendermaßen vor:
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\bruch{w_1}{|w_1|}[/mm]
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\-1 \\ 0}[/mm]
>
> ..also Vektor geteilt durch seine Länge. Das leuchtet mir
> ein, es ist die Normierung.
>
> [mm]v'_2=w_2-*v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] = [mm]\bruch{v'_2}{|v'_2|}[/mm]
>
> [mm]v'_2=\vektor{0 \\2 \\ -1}-\wurzel{2}*\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\-1 \\ 0}=\vektor{-1 \\3 \\-1}[/mm]
>
Da sollte nen + stehn da sich beim Skalarprodukt [mm] -\wurzel{2} [/mm] ergibt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 11.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Tatsächlich. Kein Wunder, dass der Rest nicht stimmt :/ Danke.
> > Was bringt so eine Normierung auf Standardlänge?
>
> Wenn du einen Würfel darstellen willst und die
> Basisvektoren als Achsen einzeichnest hat er tatsächlich
> gleichlange Kanten
Ich verstehe nicht ganz wozu das gut sein sollte? Wieso gerade ein Würfel?
Was mache ich mit so einem Würfel?
> > Wozu braucht man Orhogonale bzw. Orthonormale Basen..
>
> Es ist angenehmer in ihnen zu rechnen da du dir z.B. über
> Winkel nicht mehr soviele Gedanken machen musst
Ich kann das nicht ganz nachvollziehen.
Meinst Du, dass bei einem schiefwinkligen Koordinatensystem verschiedene Winkel zwischen den Einheitsvektoren existieren? Wo im Gegensatz dazu, in Rechtwinkligen Koordinatensystemen, die Einheitsvektoren überall senkrecht aufeinander stehen?
> > Wieso ist die Reihenfolge entscheidend? Hat das was mit
> > einem rechtshändigem bzw. linkshändigem Koordinatensystem
> > zu tun?
> >
> Eine Basis ist schlichtweg geordnet.
Bekomme ich denn eine andere Basis wenn ich die Basisvektoren vertausche?
Der Vektorraum bleibt doch der selbe, der durch so eine Basis dargestellt wird.. ?
Was geschieht hier eigentlich:
[mm] w_2-*v_1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Phil_W |
Deine ersten beiden Fragen lassen sich glaub am einfachsten beantworten,
wenn du dir Linearkombinationen deiner Basisvektoren anschaust.
Wenn du wirklich vorhast nen Objekt im [mm] \IR^3 [/mm] o.ä zu zeichnen,
wirst du deutlich größere Mühe haben wenn alles durch deine Achsen "verzerrt" wird.
> Bekomme ich denn eine andere Basis wenn ich die
> Basisvektoren vertausche?
> Der Vektorraum bleibt doch der selbe, der durch so eine
> Basis dargestellt wird.. ?
Klar spannt es das gleiche auf aber auf eine andere Art.
Du stellst ja jeden Vektor als Linearkombinationen der Basisvektoren dar.
Werden in der Basis Vektoren vertauscht
wird z.b. aus [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \vektor{y \\ x \\ z}
[/mm]
Es mag nicht furchtbar schlimm ercheinen, aber dadruch dass die Vektoren geordnet sind ist die Darstellung eindeutig.
>
> Was geschieht hier eigentlich:
>
> [mm]w_2-*v_1[/mm]
>
>
du berechnest hier den orth. Anteil von [mm] v_1 [/mm] an [mm] w_2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 13.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ok, ich hab nun gelesen, dass es sich dabei um eine Projektion handelt.
Mittlerweile habe ich auch die orthonormale Basis erzeugt und mit Hilfe des Skalarproduktes geprüft.
[mm] v_1=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, v_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\bruch{1}{\wurzel{6}}\vektor{1 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Wie hätte man denn den dritten Vektor direkt berechnen können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 13.09.2009 | | Autor: | Phil_W |
wenn du [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] kennst, erhältst du mithilfe des Kreuzprodukts [mm] v_3 [/mm]
(musst ihn evtl. noch normieren).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 13.09.2009 | | Autor: | stowoda |
> wenn du [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] kennst, erhältst du mithilfe des
> Kreuzprodukts [mm]v_3[/mm]
> (musst ihn evtl. noch normieren).
An das Kreuzprodukt dachte ich auch :), danke.
Aber was bedeutet: eventuell ?
Wann muss ich ihn normieren und wann nicht?
Was würde passieren, wenn ich das Orthonormalisierungsverfahren auf eine bereits orthogonale Basis anwenden würde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 13.09.2009 | | Autor: | Phil_W |
> An das Kreuzprodukt dachte ich auch :), danke.
> Aber was bedeutet: eventuell ?
Das Kreuzprodukt liefert dir ja nur einen Vektor oder orth. auf die beiden anderen steht.
Er hat nicht zwingend die Länge 1
> Wann muss ich ihn normieren und wann nicht?
Jenachdem ob du eine orthogonale oder orthonormale Basis suchst
>
> Was würde passieren, wenn ich das
> Orthonormalisierungsverfahren auf eine bereits orthogonale
> Basis anwenden würde?
>
Da die Vektoren in dem Fall bereits orth. zueinander sind ergäbe sich immer als Skalarprodukt 0.
Das Verfahren würde also nur die bereits gegebenen Vektoren normieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 13.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Vielen Dank, so weit einleuchtend :)
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