Greensche Funktion bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:38 So 22.06.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
| Aufgabe | Betrachte die GDGL
$y'' +4y =$ mit $y(0)=y(1)=0$
1)Bestimme die Greensche Funktion der DGL
2)Was passiert wenn die Randbedingung auf [mm] $y(0)=y(\pi)=0$ [/mm] geändert wird? |
Hallo,
Nachstehend meine Ansätze
Vorerst müssen wir uns fragen wann denn die Existenz der Greenschen Funktion gesichert ist... mein Skript sagt mir : falls unter der Randbedingung nur triviale Lösungen existieren - Eine reine Verständnisfrage: Wieso könnte nicht auch eine solche Greensche Funktion existieren, wenn das RWP nicht nur triviale Lösungen hat?
Aber nun zum Beispiel:
das char. Polynom der DGL lautet [mm] $p(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] +4$, somit sind die Nullstellen [mm] $\pm [/mm] 2i$ und damit
$y(x) = [mm] C_{1} \cdot e^{2i} [/mm] + [mm] C_{2} \cdot e^{-2i} [/mm] $, wobei die reelle Lösung damit natürlich : $ [mm] y_{reell} [/mm] (x) = [mm] C_{1} \cdot [/mm] cos(2x) + [mm] C_{2} \cdot [/mm] sin(2x)$ lautet.
Einsetzen der RB liefert:
$0 = [mm] C_{1}cos(0) [/mm] + [mm] C_{2}sin(0) \Rightarrow C_{1} [/mm] = 0$
$0 = [mm] C_{1}cos(1) [/mm] + [mm] C_{2}sin(1) \Rightarrow C_{2} [/mm] = 0$
Somit existiert eine Greensche Funktion $G(x,u)$ für das RWP.
$W(u) = [mm] \begin{pmatrix} cos(2u) & sin(2u) \\ -2sin(2u) & 2cos(2u) \end{pmatrix} \Rightarrow [/mm] det(W(u)) = 2$
Die Greensche Funktion ist nun:
[mm] G(x,u)=\begin{cases}
\frac{1}{2}cos(2x)sin(2u), & a \le x \le u \le b\\
\frac{1}{2}cos(2u)sin(2x), & a \le u \le x \le b
\end{cases}
[/mm]
Angenommen wir ändern die Randbedingung in [mm] $y(0)=y(\pi)=0$ [/mm] , so folgt:
$0 = [mm] C_{1}cos(0) [/mm] + [mm] C_{2}sin(0) \Rightarrow C_{1} [/mm] = 0$
$0 = [mm] C_{1}cos(\pi) [/mm] + [mm] C_{2}sin(\pi) \Rightarrow C_{1} [/mm] = 0$
Also könnte [mm] $C_{2}$ [/mm] beliebig sein und steht im Widerspruch zur Voraussetzung für die Greensche Funktion.
Beste Grüße und Dank
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Betrachte die GDGL
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> [mm]y'' +4y =[/mm] mit [mm]y(0)=y(1)=0[/mm]
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> 1)Bestimme die Greensche Funktion der DGL
> 2)Was passiert wenn die Randbedingung auf [mm]y(0)=y(\pi)=0[/mm]
> geändert wird?
> Hallo,
>
> Nachstehend meine Ansätze
>
>
> Vorerst müssen wir uns fragen wann denn die Existenz der
> Greenschen Funktion gesichert ist... mein Skript sagt mir :
> falls unter der Randbedingung nur triviale Lösungen
> existieren - Eine reine Verständnisfrage: Wieso könnte
> nicht auch eine solche Greensche Funktion existieren, wenn
> das RWP nicht nur triviale Lösungen hat?
>
>
> Aber nun zum Beispiel:
>
> das char. Polynom der DGL lautet [mm]p(\lambda) = \lambda^2 +4[/mm],
> somit sind die Nullstellen [mm]\pm 2i[/mm] und damit
> [mm]y(x) = C_{1} \cdot e^{2i} + C_{2} \cdot e^{-2i} [/mm], wobei die
> reelle Lösung damit natürlich : [mm]y_{reell} (x) = C_{1} \cdot cos(2x) + C_{2} \cdot sin(2x)[/mm]
> lautet.
>
> Einsetzen der RB liefert:
>
> [mm]0 = C_{1}cos(0) + C_{2}sin(0) \Rightarrow C_{1} = 0[/mm]
> [mm]0 = C_{1}cos(1) + C_{2}sin(1) \Rightarrow C_{2} = 0[/mm]
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> Somit existiert eine Greensche Funktion [mm]G(x,u)[/mm] für das
> RWP.
>
> [mm]W(u) = \begin{pmatrix} cos(2u) & sin(2u) \\ -2sin(2u) & 2cos(2u) \end{pmatrix} \Rightarrow det(W(u)) = 2[/mm]
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> Die Greensche Funktion ist nun:
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> [mm]G(x,u)=\begin{cases}
\frac{1}{2}cos(2x)sin(2u), & a \le x \le u \le b\\
\frac{1}{2}cos(2u)sin(2x), & a \le u \le x \le b
\end{cases}[/mm]
>
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> Angenommen wir ändern die Randbedingung in [mm]y(0)=y(\pi)=0[/mm] ,
> so folgt:
>
> [mm]0 = C_{1}cos(0) + C_{2}sin(0) \Rightarrow C_{1} = 0[/mm]
> [mm]0 = C_{1}cos(\pi) + C_{2}sin(\pi) \Rightarrow C_{1} = 0[/mm]
>
> Also könnte [mm]C_{2}[/mm] beliebig sein und steht im Widerspruch
> zur Voraussetzung für die Greensche Funktion.
>
Gefragt ist meines Erachtens, ob die DGL mit
diesen Randbedingungen lösbar ist oder nicht.
>
> Beste Grüße und Dank
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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> Hallo Thomas_Aut,
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> > Betrachte die GDGL
> >
> > [mm]y'' +4y =[/mm] mit [mm]y(0)=y(1)=0[/mm]
> >
> > 1)Bestimme die Greensche Funktion der DGL
> > 2)Was passiert wenn die Randbedingung auf [mm]y(0)=y(\pi)=0[/mm]
> > geändert wird?
> > Hallo,
> >
> > Nachstehend meine Ansätze
> >
> >
> > Vorerst müssen wir uns fragen wann denn die Existenz der
> > Greenschen Funktion gesichert ist... mein Skript sagt mir :
> > falls unter der Randbedingung nur triviale Lösungen
> > existieren - Eine reine Verständnisfrage: Wieso könnte
> > nicht auch eine solche Greensche Funktion existieren, wenn
> > das RWP nicht nur triviale Lösungen hat?
> >
> >
> > Aber nun zum Beispiel:
> >
> > das char. Polynom der DGL lautet [mm]p(\lambda) = \lambda^2 +4[/mm],
> > somit sind die Nullstellen [mm]\pm 2i[/mm] und damit
> > [mm]y(x) = C_{1} \cdot e^{2i} + C_{2} \cdot e^{-2i} [/mm], wobei die
> > reelle Lösung damit natürlich : [mm]y_{reell} (x) = C_{1} \cdot cos(2x) + C_{2} \cdot sin(2x)[/mm]
> > lautet.
> >
> > Einsetzen der RB liefert:
> >
> > [mm]0 = C_{1}cos(0) + C_{2}sin(0) \Rightarrow C_{1} = 0[/mm]
> > [mm]0 = C_{1}cos(1) + C_{2}sin(1) \Rightarrow C_{2} = 0[/mm]
>
> >
> > Somit existiert eine Greensche Funktion [mm]G(x,u)[/mm] für das
> > RWP.
> >
> > [mm]W(u) = \begin{pmatrix} cos(2u) & sin(2u) \\ -2sin(2u) & 2cos(2u) \end{pmatrix} \Rightarrow det(W(u)) = 2[/mm]
>
> >
> > Die Greensche Funktion ist nun:
> >
> > [mm]G(x,u)=\begin{cases}
\frac{1}{2}cos(2x)sin(2u), & a \le x \le u \le b\\
\frac{1}{2}cos(2u)sin(2x), & a \le u \le x \le b
\end{cases}[/mm]
>
> >
>
>
> Poste dazu Deine Rechenschritte.
Betrachten wir eine DGL der Form
[mm] $a_{2}(x)y'' [/mm] + [mm] a_{1}y' +a_{0}y [/mm] = 0$ mit RB [mm] $R_{1}y [/mm] , [mm] R_{2}y [/mm] = 0$ , wobei die DG für diese RB nur triviale Lösungen hat so existiert die Greensche Funktion :
[mm]G(x,u)=\begin{cases}
\frac{y_{1}(x)y_{2}(u)}{a_{2}(u)W(u)}, & a \le x \le u \le b\\
\frac{y_{1}(u)y_{2}(x)}{a_{2}(u)W(u)}, & a \le u \le x \le b
\end{cases}[/mm]
einsetzen liefert nun genau:
[mm]G(x,u)=\begin{cases}
\frac{1}{2}cos(2x)sin(2u), & a \le x \le u \le b\\
\frac{1}{2}cos(2u)sin(2x), & a \le u \le x \le b
\end{cases}[/mm]
>
>
> > Angenommen wir ändern die Randbedingung in [mm]y(0)=y(\pi)=0[/mm] ,
> > so folgt:
> >
> > [mm]0 = C_{1}cos(0) + C_{2}sin(0) \Rightarrow C_{1} = 0[/mm]
> > [mm]0 = C_{1}cos(\pi) + C_{2}sin(\pi) \Rightarrow C_{1} = 0[/mm]
>
> >
> > Also könnte [mm]C_{2}[/mm] beliebig sein und steht im Widerspruch
> > zur Voraussetzung für die Greensche Funktion.
> >
>
>
> Gefragt ist meines Erachtens, ob die DGL mit
> diesen Randbedingungen lösbar ist oder nicht.
Aber wieso werden triviale Lösungen vorausgesetzt? Ist andernfalls die Greensche Funktion eventuell nicht geschlossen darstellbar?
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> >
> > Beste Grüße und Dank
> >
> > Thomas
>
>
> Gruss
> MathePower
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mo 23.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Zuerst allgemein:
RWP $y''+4y=0$ y(a)=y(b)=0
Damit die Greensche Funktion ex. brauchst Du linear unabhängige Lösungen u,v von $y''+4y=0$ mit u(a) [mm] \ne [/mm] 0, u(b)=0, v(a)=0 und v(b) [mm] \ne [/mm] 0.
Ist a=0 und b=1, so ex. solche Lösungen. Deine Lösungen leisten das aber nicht.
Ist a=0 und b= [mm] \pi, [/mm] so gibt es solche Lösungen nicht !
FRED
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Hallo FRED,
Die Lösungen
$ u = cos(2x) , v = sin(2x) $ leisten das m.E. schon ?
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mo 23.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
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>
> Die Lösungen
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> [mm]u = cos(2x) , v = sin(2x)[/mm] leisten das m.E. schon ?
Es ist aber u(0) [mm] \ne [/mm] 0 und u(1) [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
>
>
> Gruß Thomas
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> > Hallo FRED,
> >
> >
> > Die Lösungen
> >
> > [mm]u = cos(2x) , v = sin(2x)[/mm] leisten das m.E. schon ?
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> Es ist aber u(0) [mm]\ne[/mm] 0 und u(1) [mm]\ne[/mm] 0.
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> FRED
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> >
> > Gruß Thomas
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Da hast du natürlich recht - da war ich schlampig...
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 26.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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