Greenscher Satz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Di 21.10.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Verifiziere den Greenschen Satz
[mm] \integral_{G}{\bruch{\partial Q}{\partial x} - \bruch{\partial P}{\partial y}} [/mm] dx dy = [mm] \integral_{\partial G} [/mm] (P,Q) ds
für den Einheitskreis G = {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ; [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] < 1} und (P,Q) = [mm] (xy^2,xy)
[/mm]
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hi zusammen,
ich hab versucht den satz laut aufgabenstellung zu verifizieren und erstmal die linke seite ausgerechnet und bekomme jedes mal 0 als ergebnis.
kann das stimmen ?
mfg
meep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:31 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Verifiziere den Greenschen Satz
> [mm]\integral_{G}{\bruch{\partial Q}{\partial x} - \bruch{\partial P}{\partial y}} dx dy = \integral_{\partial G} (P,Q) ds[/mm]
>
> für den Einheitskreis [mm]G = \{(x,y) \in \IR^2 ; x^2 + y^2 < 1\} [/mm] und [mm](P,Q) = (xy^2,xy)[/mm]
>
> hi zusammen,
>
> ich hab versucht den satz laut aufgabenstellung zu
> verifizieren und erstmal die linke seite ausgerechnet und
> bekomme jedes mal 0 als ergebnis.
>
> kann das stimmen ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:34 Di 21.10.2008 | | Autor: | meep |
hi,
vielen dank für die antwort.
nun kommt das eigentliche problem, wie löse ich die rechte seite ? bzw was muss ich da genau machen ?
mfg
meep
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:49 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi,
>
> vielen dank für die antwort.
>
> nun kommt das eigentliche problem, wie löse ich die rechte
> seite ? bzw was muss ich da genau machen ?
Du musst den Rand des Gebiets parametrisieren: [mm] $\vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{x(t)\\y(t)} [/mm] $, wobei [mm] $t_0\le t\le t_1$. [/mm] Dann ist dein Kurvenintegral definiert:
[mm] \integral_{\partial G} \vektor{P(x,y)\\Q(x,y)} * d\vec{s} = \integral_{t_0}^{t_1} \vektor{P(x(t),y(t))\\Q(x(t),y(t))} * (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) dt = \integral_{t_0}^{t_1} \left(P(x(t),y(t)) \dot{x}(t) + Q(x(t),y(t))\dot{y}(t)\right) dt[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:03 Di 21.10.2008 | | Autor: | meep |
ohh gott das sieht ja aus, das mim parametrisieren dachte ich mir schon, stellt sich nur noch die frage wie das funktioniert aber in meinen lehrbüchern sollte was darüber stehen :)
danke für die hilfe !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:26 Di 21.10.2008 | | Autor: | meep |
ok ich habs nun raus, aber das mit dem parametrisieren ist mir noch etwas schleierhaft, gibts da irgendwelche groben richtlinien an denen man sich orientieren kann ? zum beispiel habe ich eben x(t) = cos t und y(t) = sin t parametrisiert. ich hoffe das stimmt ansonsten bin ich nur aus zufall an das ergebnis gekommen.
mfg
marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:06 Di 21.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja, das ist die richtige Parametrisierung.
Es gilt: zu jedem (x,y) [mm] \in \partial [/mm] G gibt es genau ein t [mm] \in [0,2\pi) [/mm] mit
(x,y) = (cost, sint)
FRED
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