Grenzen der Partiellen Integr. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] (sin(t)^3, cos(t)^3) [/mm]
[mm] \gamma:[0, 0.5*\pi] [/mm] |
Hallo,
ich soll die Bogenlänge berechnen
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{0,5*\pi}{\wurzel{9sin(t)^2cos(t)^4+9sin(t)^4cos(t)^2} dt} [/mm] =...= [mm] 3\integral_{0}^{0,5*\pi}{cos(t)sin(t) dt}
[/mm]
bis hierhin bin ich mir sehr sicher, dass ich keinen Fehler in den Umformungen etc gemacht habe.
Hier dachte ich mir dann, dass das ne ziemlich simple partielle Integration ist und komme nach ein paar Schritten auf:
[mm] 3\integral_{0}^{0,5*\pi}{cos(t)sin(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} cos(t)^2
[/mm]
ich denke eigentlich, dass auch dies korrekt ist, wenn ich einfach mal die Grenzen einsetze, kommt einmal 0 und einmal [mm] \bruch{3}{2} [/mm] heraus....das korrekte Ergebnis soll auch [mm] \bruch{3}{2} [/mm] sein, jedoch ist mir mal so Aufgefallen, dass ich noch nie eine partielle Integration mit Grenzen durchführen musste, ich weiß also garnicht wie man die Grenzen letztendlich behandeln muss...muss man die Grenzen einfach einsetzen und aufaddieren, oder wie muss man vorgehen?
MFG
Aldiimwald
PS: ich hätte die Aufgabe auch mit Substitution lösen können, dies kam mir aber etwas umständlicher vor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hilft das
:
$ [mm] \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = [mm] [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} [/mm] - [mm] \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x. [/mm] $
?
FRED
|
|
|
| |
|
hmmm das habe ich mir gedacht, war auch das was ich automatisch gemacht habe, deshalb habe ich nämlich nachgefragt, wenn ich das einsetzekommt bei mir nämlich [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] heraus...wo wäre denn dann der Fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo Aldiimwald,
> hmmm das habe ich mir gedacht, war auch das was ich
> automatisch gemacht habe, deshalb habe ich nämlich
> nachgefragt, wenn ich das einsetzekommt bei mir nämlich
> [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] heraus...wo wäre denn dann der Fehler?
Na, das Integral ohne Grenzen, also
[mm]3\int{\sin(t)\cos(t) \ dt}[/mm] ergibt ja auch nicht [mm]\frac{3}{2}\cos^2(t)[/mm], sondern [mm]\red{-}\frac{3}{2}\cos^2(t)[/mm]
Nimm den Betrag, eine negative Boganlänge ist ja wenig sinnvoll ...
Es ist [mm] $3\int\limits_{0}^{\pi/2}{\sin(t)\cos(t) \ dt}=-\frac{3}{2}\cdot{}\left[\cos^2(t)\right]_0^{\pi/2}=-\frac{3}{2}\cdot{}\left(0-1\right)=+\frac{3}{2}$
[/mm]
Passt also doch auch ohne Betragstriche ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Di 18.01.2011 | | Autor: | Aldiimwald |
eben, hab mich auch sehr über eine negative Strecke gewundert^^
ahh ich sehe es ich habe sin(t) aufgeleitet und dabei cos(t) und nicht -cos(t) eingesetzt, damit ergibt das Sinn vielen Dank euch beiden!
|
|
|
| |
|
Hmmmmmmmmmmmmmm,
> ahh ich sehe es ich habe sin(t) aufgeleitet
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Was hast du getan??
Du hättest besser integrieren sollen oder eine Stammfunktion bestimmen sollen!
> und dabei
> cos(t) und nicht -cos(t) eingesetzt, damit ergibt das Sinn
> vielen Dank euch beiden!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
