Grenzmatrix < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
| Aufgabe | | Bestimmen sie mit einer Tabellenkalkulation oder einem Computeralgebrasystem die Matrizen [mm] A^2,A^4,A^8 [/mm] und A^16. Gegen welche Grenzmatrix scheint [mm] A^k [/mm] für k-->unendlich zu konvergieren? |
Die einzige Matrix die da an der Seite steht ist [mm] \begin{pmatrix}
0,5 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\
0,2 & 0,5 & 0,1 & 0,2 \\
0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,1 \\
0,2 & 0,1 & 0,2 & 0,6 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich verstehe überhaupt nicht was wir machen sollen, die ganze Aufgabestellung ist ein Fragezeichen^^ Von wegen [mm] A^k, [/mm] konvergieren usw :D Und was für ein Programm sollte ich für sowas nehmen, der Lehrer hat uns echt nichts dazu gesagt, wird hatten sowas mit Grenzmatrizen überhaupt noch nicht. Danke schonmal.
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Hallo KylexD,
> Bestimmen sie mit einer Tabellenkalkulation oder einem
> Computeralgebrasystem die Matrizen [mm]A^2,A^4,A^8[/mm] und A^16.
> Gegen welche Grenzmatrix scheint [mm]A^k[/mm] für k-->unendlich zu
> konvergieren?
> Die einzige Matrix die da an der Seite steht ist
> [mm]\begin{pmatrix}
0,5 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\
0,2 & 0,5 & 0,1 & 0,2 \\
0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,1 \\
0,2 & 0,1 & 0,2 & 0,6 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich verstehe überhaupt nicht was wir machen sollen, die
> ganze Aufgabestellung ist ein Fragezeichen^^ Von wegen [mm]A^k,[/mm]
> konvergieren usw :D Und was für ein Programm sollte ich
> für sowas nehmen, der Lehrer hat uns echt nichts dazu
> gesagt, wird hatten sowas mit Grenzmatrizen überhaupt noch
> nicht. Danke schonmal.
Berechne hier die angegebenen Matrixpotenzen.
Entweder nimmst Du zur Lösung dieser Aufgabe
eine Tabellenkalkulation wie Excel oder OpenOffice Calc
oder ein ![[]](/images/popup.gif) Computeralgebrasystem wie Maple, Mathematice,
Derive, Maxima.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Ich hab mir jetzt das Programm runtergeladen, aber irgendwie find ich die Option die ich wahrscheinlich brauche nicht^^ Und die Matrixpotenzen, die werden dochauch von dem Programm berechnet oder?
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Hallo KylexD,
> Ich hab mir jetzt das Programm runtergeladen, aber
> irgendwie find ich die Option die ich wahrscheinlich
> brauche nicht^^ Und die Matrixpotenzen, die werden dochauch
> von dem Programm berechnet oder?
Von welchem Programm?
Ein CAS-System macht das, wenn Du eine Matrix deklarierst.
Mit einer Tabellenkalkulation habe ich das noch nicht ausprobiert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Achso, ich bin auch ein Idiot, ich hab vergessen zu schreiben, dass ich mir das Promgramm Maxima runtergeladen hab^^
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Hallo KylexD,
> Achso, ich bin auch ein Idiot, ich hab vergessen zu
> schreiben, dass ich mir das Promgramm Maxima runtergeladen
> hab^^
Ok.
Zunächst musst Du dieses Progamm installieren.
Dann lies Dir mal das durch: Einführung in Maxima
Insbesondere den Abschnitt 3.8 Matrizenrechnung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Ich weiß nicht, auf einmal funktioniert das nicht mehr so wie ich will. Darf ich fragen, welches Programm du präferierst, falls du so eine Art von Programmen überhaupt nutzt?
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Hallo KylexD,
> Ich weiß nicht, auf einmal funktioniert das nicht mehr so
> wie ich will. Darf ich fragen, welches Programm du
> präferierst, falls du so eine Art von Programmen
> überhaupt nutzt?
Ich nutze das CAS-System Maxima, allerdings unter Linux.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
OK. Naja ich muss mir das nochmal anschauen, anfangs konnte ich die Matrix selbst festlegen, aber jetzt steht da immer was von genmatrix und wenn ich die Werte ändern will werden die in die nächste Zeile geschrieben^^ Wenn es funktioniert muss ich ja nur den Befehl (%i80) [mm] m^2 [/mm] in die nächste Zeile eingaben schätze ich mal. Ich bin einfach echt ahnungslos bei solchen Programmen :D
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Hallo KylexD,
> OK. Naja ich muss mir das nochmal anschauen, anfangs konnte
> ich die Matrix selbst festlegen, aber jetzt steht da immer
> was von genmatrix und wenn ich die Werte ändern will
> werden die in die nächste Zeile geschrieben^^ Wenn es
> funktioniert muss ich ja nur den Befehl (%i80) [mm]m^2[/mm] in die
> nächste Zeile eingaben schätze ich mal. Ich bin einfach
> echt ahnungslos bei solchen Programmen :D
Lies Dir doch den Link zur Einführung in Maxima durch.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Also ich habe die Matrix eingefügt und dann steht das da:
(%i2)
matrix(
[0,5,0,1,0,2,0,1],
[0,2,0,5,0,1,0,2],
[0,1,0,3,0,5,0,1],
[0,2,0,1,0,2,0,6]
);
und dann darunter die Matrix ohne Komma und lnks daneben (%02) in der Anleitung steht dieser Befehl (%i80) [mm] m^2, [/mm] das ist doch bestimmt der für diese Matrizenpotenz, nur wie geb ich den ein?^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 10.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe die Matrix eingefügt und dann steht das da:
>
> (%i2)
> matrix(
> [0,5,0,1,0,2,0,1],
> [0,2,0,5,0,1,0,2],
> [0,1,0,3,0,5,0,1],
> [0,2,0,1,0,2,0,6]
> );
>
> und dann darunter die Matrix ohne Komma und lnks daneben
> (%02) in der Anleitung steht dieser Befehl (%i80) [mm]m^2,[/mm] das
> ist doch bestimmt der für diese Matrizenpotenz, nur wie
> geb ich den ein?^^
Hallo,
Wenn du eine Matrix A hast und [mm] "A^2" [/mm] ausrechnen sollst, dann machst du doch einfach eine Matrizenmultiplikation A*A.
Und [mm] A^4 [/mm] bekommst du, wenn du dieses Ergebnis wiederum mit sich selbst multiplizierst. Dafür brauchst du keinen Potenzbefehl.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Also ich hab die Anfangsmatrix mit sich selbst multipliziert und hab da $ [mm] \begin{pmatrix} 0,35 & 0,19 & 0,27 & 0,27 \\ 0,25 & 0,32 & 0,18 & 0,25 \\ 0,18 & 0,32 & 0,32 & 0,18 \\ 0,26 & 0,19 & 0,27 & 0,42 \\ \end{pmatrix} [/mm] $ raus, das ist dann also [mm] A^2 [/mm] und das muss ich dann wieder mit sich selbst multiplizieren um [mm] A^4 [/mm] herauszubekommen und das dann wieder das gleiche für [mm] A^8 [/mm] usw?
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Hallo KylexD,
> Also ich hab die Anfangsmatrix mit sich selbst
> multipliziert und hab da [mm]\begin{pmatrix} 0,35 & 0,19 & 0,27 & 0,27 \\ 0,25 & 0,32 & 0,18 & 0,25 \\ 0,18 & 0,32 & 0,32 & 0,18 \\ 0,26 & 0,19 & 0,27 & 0,42 \\ \end{pmatrix}[/mm]
Die erste Zeile stimmt nicht.
> raus, das ist dann also [mm]A^2[/mm] und das muss ich dann wieder
> mit sich selbst multiplizieren um [mm]A^4[/mm] herauszubekommen und
> das dann wieder das gleiche für [mm]A^8[/mm] usw?
Richtig.
Gruss
MathePower
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Hallo KylexD,
> Also ich habe die Matrix eingefügt und dann steht das da:
>
> (%i2)
> matrix(
> [0,5,0,1,0,2,0,1],
> [0,2,0,5,0,1,0,2],
> [0,1,0,3,0,5,0,1],
> [0,2,0,1,0,2,0,6]
> );
Du hast doch eine 4x4-Matrix.
Schreibe hier die Komma-Zahlen als Zahlen mit Dezimalpunkt hinein.
Diese Matrix mußt Du schon als m definieren.
[mm]m:matrix( [0.5,0.1,0.2,0.1], [0.2,0.5,0.1,0.2],[0.1,0.3,0.5,0.1], [0.2,0.1,0.2,0.6]);[/mm]
Jetzt kannst Du mit dieser Matrix rechnen.
>
> und dann darunter die Matrix ohne Komma und lnks daneben
> (%02) in der Anleitung steht dieser Befehl (%i80) [mm]m^2,[/mm] das
> ist doch bestimmt der für diese Matrizenpotenz, nur wie
> geb ich den ein?^^
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Jap die erste Zeile ist 0,31 0,17 0,23 0,15, ich hab aus Versehen 0,3 statt 0,1 genommen^^ Nochmal zu dem Programm ich brauch das jetzt eigentlich ja nicht mehr aber ich hab 4x4 Matrix eingestellt und bei Name m aber ich kann den Befehl nicht benutzen, aber ist jetzt ja auch unwichtig^^Nur eine Frage noch, wie mache ich das mit der Grenzmatrix und [mm] A^k [/mm] für k-->unendlich? Kann man das auch so rechnen.
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Hallo KylexD,
> Jap die erste Zeile ist 0,31 0,17 0,23 0,15, ich hab aus
> Versehen 0,3 statt 0,1 genommen^^ Nochmal zu dem Programm
> ich brauch das jetzt eigentlich ja nicht mehr aber ich hab
> 4x4 Matrix eingestellt und bei Name m aber ich kann den
> Befehl nicht benutzen, aber ist jetzt ja auch
Maxima unterscheidet offensichtlich zwischen m.m und [mm]m^{2}[/mm]
Bei ersterem wird die Matrixmultiplikation von m mit m berechnet.
Während bei [mm]m^{2}[/mm] jedes Matrixelement quadriert wird.
> unwichtig^^Nur eine Frage noch, wie mache ich das mit der
> Grenzmatrix und [mm]A^k[/mm] für k-->unendlich? Kann man das auch
> so rechnen.
Löse doch die Gleichung [mm]A^{k+1}=A^{k}[/mm]
Das führt auf das Gleichungssystem
[mm]\left(A-E\right)*\vec{x}=\vec{0}[/mm]
,wobei E die Einheitsmatrix im Vektorraum der 4x4-Matrizen
und [mm]\vec{x} \in \IR^{4}[/mm] ist.
Der Lösungsvektor x ist dann noch zu normieren.
Dann ist die Grenzmatrix [mm]\pmat{x & x & x & x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Also die Matrix A $ [mm] \begin{pmatrix} 0,5 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\ 0,2 & 0,5 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,1 \\ 0,2 & 0,1 & 0,2 & 0,6 \\ \end{pmatrix} [/mm] $ - die Einheitsmatrix das wäre dann ja $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} [/mm] $ Da kommt dann $ [mm] \begin{pmatrix} -0,5 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\ 0,2 & -0,5 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,3 & -0,5 & 0,1 \\ 0,2 & 0,1 & 0,2 & -0,4 \\ \end{pmatrix} [/mm] $ raus, wenn ich die Formel von dir richtig verstanden habe. und *vektor x ist dann das mit LGS aufstellen?
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Hallo KylexD.
> Also die Matrix A [mm]\begin{pmatrix} 0,5 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\ 0,2 & 0,5 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,1 \\ 0,2 & 0,1 & 0,2 & 0,6 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> - die Einheitsmatrix das wäre dann ja [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> Da kommt dann [mm]\begin{pmatrix} -0,5 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\ 0,2 & -0,5 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,3 & -0,5 & 0,1 \\ 0,2 & 0,1 & 0,2 & -0,4 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> raus, wenn ich die Formel von dir richtig verstanden habe.
> und *vektor x ist dann das mit LGS aufstellen?
Ja, das hast Du richtig verstanden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Ok, ich werde das mit dem LGS versuchen, dass wollte jetzt noch nicht so klappen^^ ich hab nur den Ansatz
-0,5x1+0,1x2+0,2x3+0,1x4=x1/-x1
0,2x1-1,5x2+0,1x3+0,2x4=x2/-x2
0,1x1+0,3x2-0,5x3+0,1x4=x3/-x3
0,2x1+0,1x2+0,2x3-1,5x4=x4/-x4
Irgendwann kommt schon was sinnvolles dabei heraus :D Aber eins verstehe ich nicht, der Vektor der herauskommt ist doch das Ergebnis praktisch das Endergebnis. Nur was heißt normieren, den Begriff hab ich noch nie gehört?
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Hallo KylexD,
> Ok, ich werde das mit dem LGS versuchen, dass wollte jetzt
> noch nicht so klappen^^ ich hab nur den Ansatz
>
> -0,5x1+0,1x2+0,2x3+0,1x4=x1/-x1
> 0,2x1-1,5x2+0,1x3+0,2x4=x2/-x2
> 0,1x1+0,3x2-0,5x3+0,1x4=x3/-x3
> 0,2x1+0,1x2+0,2x3-1,5x4=x4/-x4
>
> Irgendwann kommt schon was sinnvolles dabei heraus :D Aber
> eins verstehe ich nicht, der Vektor der herauskommt ist
> doch das Ergebnis praktisch das Endergebnis. Nur was heißt
> normieren, den Begriff hab ich noch nie gehört?
Vergiss das mal mit dem Normieren.
Addiere die Komponenten des Lösungsvektor auf
und teile dann jede Komponente dieses Vektors durch diese Summe.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
Naja bei dem LGS hab ich ganz großen Mist raus, aber ich werde das nochmal in Ruhe versuchen zu lösen und genau durchgehen, wie ich auflöse, denn Komazahlen werden da wohl nicht rauskommen xD
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Hallo KylexD,
> Naja bei dem LGS hab ich ganz großen Mist raus, aber ich
> werde das nochmal in Ruhe versuchen zu lösen und genau
> durchgehen, wie ich auflöse, denn Komazahlen werden da
> wohl nicht rauskommen xD
Das ist das Beste, wenn Du das in Ruhe machst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 10.02.2011 | | Autor: | KylexD |
So dann danke ich dir wirklich, dass du dir die Zeit genommen hast, mir alles zu erklären :) Kann man hier eigentlich irgendwie Bewertungen vornehmen? Wenn ja würde ich gerne 10 Mal draufklicken.
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Hallo KylexD,
> So dann danke ich dir wirklich, dass du dir die Zeit
> genommen hast, mir alles zu erklären :) Kann man hier
> eigentlich irgendwie Bewertungen vornehmen? Wenn ja würde
Das ist mir hier nicht untergekommen.
> ich gerne 10 Mal draufklicken.
Das ehrt mich, danke.
Gruss
MathePower
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