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| Aufgabe | | Mit [mm] Y_1,Y_2,... [/mm] unabhängig gleichverteilten Zufallsvariablen auf [0,1] ist [mm] M_n:= max_{1 \le k \le n} Y_k [/mm] . Man bestimme die Grenzverteilung von [mm] n(1-M_n). [/mm] |
Ich habe zwar ein paar Definitionen von Grenzverteilung nun gelesen, verstehe aber nicht, wie ich eine solche genau berechnen soll.
Es ist (1- [mm] max_{1 \le k \le n} Y_k [/mm] ) = [mm] min_{1 \le k \le n} (1-Y_k)
[/mm]
Das zu berechnende [mm] n*min_{1 \le k \le n} (1-Y_k) [/mm] schreit meiner Ansicht nach nach dem Gesetz der grossen Zahlen. Wie aber berechne ich hier die Grenzverteilung?
Grüsse
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Hiho,
> Das zu berechnende [mm]n*min_{1 \le k \le n} (1-Y_k)[/mm] schreit
> meiner Ansicht nach nach dem Gesetz der grossen Zahlen. Wie
> aber berechne ich hier die Grenzverteilung?
Warum mit Kanonen auf Spatzen schießen?
Rechne es doch einfach aus.
1.) [mm] Y_i [/mm] ist gleichverteilt auf [0,1], wie sieht also die Verteilungsfunktion aus?
2.) Berechne nun die Verteilung von [mm] $M_n$. [/mm] Das geht über die Unabhängigkeit echt einfach, wenn mans einfach mal hinschreibt und kurz nachdenkt, was es heißt, dass das Maximum einer endlichen Menge kleiner als eine relle Zahl ist.
3.) Nun berechne die Verteilung von [mm] $Z_n [/mm] = [mm] n(1-M_n)$ [/mm] unter dem Wissen von 2.)
4.) Was passiert für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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Danke.
Die Verteilungsfunktion ist [mm] \integral_{0}^{t}{1_{0 \le t \le 1} dx} [/mm] die ist immer [mm] \le [/mm] 1.
[mm] M_n [/mm] ist das Maximum über alle [mm] Y_i [/mm] . Demzufolge ist [mm] M_n [/mm] immer [mm] \ge [/mm] 1. (Warum sollte es [mm] \le [/mm] 1 sein, das macht für mich keinen Sinn?)
Dann kann [mm] n*(1-M_n) [/mm] auch die Nullfunktion sein, wenn [mm] M_n [/mm] = 1 gilt ??
Verstehe ich nicht.
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Hiho,
> Danke.
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> Die Verteilungsfunktion ist [mm]\integral_{0}^{t}{1_{0 \le t \le 1} dx}[/mm] die ist immer [mm]\le[/mm] 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nur warum hörst du nach der Hälfte auf? Was ist dieses Integral nun ausgeschrieben? Bedenke dabei, dass [mm] $1_{0 \le t \le 1} [/mm] = 1$ trivialerweise, da [mm] $t\in[0,1]$.
[/mm]
Oder anders ausgedrückt: Wie sieht die Verteilungsfunktion einer Gleichverteilung aus? Die sollte man kennen, da sie trivial ist.
> [mm]M_n[/mm] ist das Maximum über alle [mm]Y_i[/mm] . Demzufolge ist [mm]M_n[/mm] immer [mm]\ge[/mm] 1.
Blödsinn. Wenn alle [mm] $Y_1 \le [/mm] 1$, wie soll das Maximum dann größer als 1 sein?
Aber auch hier: Rechne es aus! Grundlagen nacharbeiten, wenn du nicht weißt, wie man eine Verteilungsfunktion berechnet.
Wie sieht die Verteilung von [mm] $M_n [/mm] = [mm] \max_{k \in \{1,\ldots,n\}} Y_k$ [/mm] aus ?
Als (eigentlich als bekannt vorauszusetzender) Hinweis: Die Verteilungsfunktion ist
[mm] $\IP(M_n \le [/mm] x) = [mm] \IP\left(\max_{k \in \{1,\ldots,n\}} Y_k \le x \right) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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[mm] $P(Y_i \le [/mm] t)=t $ mit $t [mm] \in [/mm] [0,1]$
Ist dann also max [mm] Y_i [/mm] = 1 ?
Dann wäre [mm] P(M_n \le [/mm] t)=P(1 [mm] \le [/mm] t) = ?
Hat hier vlt. jmd. einen Rat wie man da weiter vorgehen muss?
Verstehe nicht, wie ich das berechne.
Grüsse
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Hiho,
> [mm]P(Y_i \le t)=t[/mm] mit [mm]t \in [0,1][/mm]
Das ist ja schon mal ein Anfang 
> Ist dann also max [mm]Y_i[/mm] = 1 ?
Beim Max solltest du eine Angabe machen, über welche Elemente du maximierst. Aber ich verstehe nun dein Verständnisproblem.
[mm] $M_n [/mm] = [mm] \max_{i \in \{1,\ldots,n\}} Y_i$ [/mm] ist immer [mm] $\omega$-Weise [/mm] zu verstehen, das heißt folgendes: Wir nehmen uns ein festes [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] für das beispielsweise gilt:
[mm] $Y_1(\omega) [/mm] = 0.1$
[mm] $Y_2(\omega) [/mm] = 0.6$
[mm] $Y_3(\omega) [/mm] = 0.345$
[mm] $Y_4(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
[mm] $Y_5(\omega) [/mm] = 0.8$
[mm] $Y_6(\omega) [/mm] = 0.22222$
Dann ist:
[mm] $M_1(\omega) [/mm] = 0.1$
[mm] $M_2(\omega) [/mm] = 0.6$
[mm] $M_3(\omega) [/mm] = 0.6$
[mm] $M_4(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
[mm] $M_5(\omega) [/mm] = 0.8$
[mm] $M_6(\omega) [/mm] = 0.8$
Weil eben immer der größte Wert, also das Maximum, bis zum Wert n gesucht wird, allerdings nur für das gegebene [mm] $\omega$.
[/mm]
Und wie du feststellst, kommt da nicht immer 1 heraus.
> Dann wäre [mm]P(M_n \le[/mm] t)=P(1 [mm]\le[/mm] t) = ?
Nein, ich geb dir mal einen Tipp: Ein Maximum ist genau dann kleiner einer festen Schranke [mm] $t\in\IR$, [/mm] wenn alle Elemente des Maximums kleiner als die Schranke sind.
MFG,
Gono.
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Hallo und danke für deine Mühe.
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Weil eben immer der größte Wert, also das Maximum, bis zum Wert n gesucht wird, allerdings nur für das gegebene .
Und wie du feststellst, kommt da nicht immer 1 heraus.
..
Das habe ich bis hierhin verstanden nur sehe ich nicht, was es mir für die Aufgabe bringt ?
Ich könnte bspweise hinschreiben
[mm] P(M_n \le sup_{1 \le \ k \le n} Y_k)=...
[/mm]
Keine Ahnung, was ich da machen soll, sry.
Grüsse
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Hallo pablovschby,
> Ich könnte bspweise hinschreiben
>
> [mm]P(M_n \le sup_{1 \le \ k \le n} Y_k)=...[/mm]
Naja, das gilt dann immer.
Gono will darauf hinaus, dass Du
[mm] P(M_n\le t)=P(Y_i\le t\text{ für alle }1\le i\le n)=\ldots
[/mm]
berechnest. Und genau das ist die Stelle, wo Du die stochastische Unabhängigkeit der [mm] Y_i [/mm] verwenden kannst.
LG
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Hiho,
oder um es noch offensichtlicher hinzuschreiben:
[mm] $\IP(M_n \le [/mm] t) = [mm] \IP(\max_{i\in\{1,\ldots,n\}} Y_i \le [/mm] t) = [mm] \IP(Y_1 \le [/mm] t, [mm] Y_2 \le [/mm] t, [mm] \ldots, Y_n \le [/mm] t)$
Na und nu die Unabhängigkeit benutzen.....
MFG,
Gono.
PS: Ich frage mich, wie du mit dem starken Gesetz der Großen Zahlen arbeiten willst, wie zu Beginn vorgeschlagen, wenn dir anscheinend wesentliche Grundlagen fehlen??
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Danke euch.
Also ist dann
[mm] $P(M_n \le [/mm] t) = [mm] P(Y_i \le [/mm] t)= t * t * ... * t = [mm] t^n [/mm] $ für $ t [mm] \in [/mm] [0,1] ?$
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3.) Nun berechne die Verteilung von unter dem Wissen von 2.)
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[mm] n*(1-M_n)=n(1-t^n) [/mm] (**) ???
Oder eher [mm] P(n*(1-t^n) \le [/mm] t) = [mm] P(n-n*t^n \le [/mm] t) = P(n [mm] \le \bruch{t}{1-t^n}) [/mm] (*)
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4.) Was passiert für n [mm] \to \infty
[/mm]
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Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] geht mir das bei (**) mit t=1 auf 1 und mit t<1 auf [mm] \infty
[/mm]
Ich glaube aber eher, man muss so wie bei (*) weiterrechnen, aber wie stelle ich das an?
Grüsse
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Hiho,
> [mm]P(M_n \le t) = P(Y_i \le t)= t * t * ... * t = t^n[/mm] für [mm]t \in [0,1] ?[/mm]
> 3.) Nun berechne die Verteilung von unter dem Wissen von
> 2.)
> -
> [mm]n*(1-M_n)=n(1-t^n)[/mm] (**) ???
Rein logische Überlegung: Links steht eine Zufallsvariable, rechts ein Wert in Abhängigkeit von t ??
> Oder eher [mm]P(n*(1-t^n) \le[/mm] t) = [mm]P(n-n*t^n \le[/mm] t) = P(n [mm]\le \bruch{t}{1-t^n})[/mm]
> (*)
Auch Blödsinn.
Auch hier: Sauberes aufschreiben ist das halbe Leben:
Wir betrachten die ZV [mm] $Z=n*(1-M_n)$
[/mm]
Nun berechnen wir die Verteilung von Z:
[mm] $\IP(Z \le [/mm] t) = [mm] \IP(n*(1-M_n) \le [/mm] t)$
Nun so umformen, dass da eine Verteilung einer ZV steht, die du kennst.... da kommt ja nun nicht soviel in Betracht.
MFG,
Gono.
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[mm] =P(-M_n \le \bruch{t-n}{n}) [/mm] aber wie kann ich hier die obige in die hier stehende "neg." Zufallsvariable umrechnen?
hier wäre dann ja [mm] \bruch{t-n}{n} \in [/mm] [-1,0] ??
auch mit
[mm] =P(M_n \ge 1-\bruch{t}{n}) [/mm] krieg ich nichts gescheites raus.
Wie gehts hier weiter?
Grüsse
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Hiho,
> [mm]=P(-M_n \le \bruch{t-n}{n})[/mm] aber wie kann ich hier die
> obige in die hier stehende "neg." Zufallsvariable
> umrechnen?
Wie wärs, erstmal nach [mm] M_n [/mm] umzuformen und nicht wieder bei der Hälfte aufzuhören....
[mm] $=\IP(\bruch{n-t}{n} \le M_n) [/mm] = [mm] \IP(M_n \ge \bruch{n-t}{n})$
[/mm]
Und jetzt über die Gegenwahrscheinlichkeit in die bekannte Form bringen....
MFG,
Gono.
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Danke, klar. Sry, sehe manchmal sowas Einfaches nicht.
[mm] $P(M_n \ge \bruch{n-t}{n}) [/mm] = [mm] 1-P(M_n [/mm] < [mm] \bruch{n-t}{n})=1-(1+\bruch{-t}{n})^n [/mm] $ was für $n [mm] \to \infty [/mm] $ gegen $ [mm] 1-e^{-t}$ [/mm] geht.
Dann heisst "Grenzverteilung" einfach die Verteilung einer Variablen gegen unendlich?
Aber was mich doch noch wundert: [mm] 1-e^{-t} [/mm] kann doch irgendwie nicht richtig sein weil die Variable t ja nur von 0 bis 1 läuft?
Ist es dann [mm] (1-e^{-t})*1_{0 \le t \le 1}(t) [/mm] + [mm] 1_{t > 1}(t) [/mm] und die Verteilungsfunktion macht dann einen Sprung bei t=1 ?
Oder ist das wieder falsch :( ?
Grüsse
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Hiho,
> [mm]P(M_n \ge \bruch{n-t}{n}) = 1-P(M_n < \bruch{n-t}{n})=1-(1+\bruch{-t}{n})^n[/mm]
> was für [mm]n \to \infty[/mm] gegen [mm]1-e^{-t}[/mm] geht.
> Dann heisst "Grenzverteilung" einfach die Verteilung einer
> Variablen gegen unendlich?
Jein.
Vorstellen kann man sich das ganze wie folgt: Du hast eine Folge von Verteilungsfunktionen [mm] $M_n$.
[/mm]
Nun kann es ja sein, dass diese Zufallsvariablen gegen eine "Grenzzufallsvariable" konvergieren, nennen wir sie [mm] $M_\infty [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} M_n$.
[/mm]
Nun ist [mm] $M_\infty$ [/mm] ja auch irgendwie verteilt und es liegt nahe, diese Verteilung als "Grenzverteilung" zu bezeichnen.
Formal stimmt das aber nicht immer, da die "Grenzzufallsvariable" gar nicht existieren muss (z.B. wenn die [mm] M_n [/mm] nicht konvergieren), die Grenzverteilung kann aber durchaus trotzdem existieren.
Zu Anschauungszwecken ist das oben aber ganz hilfreich
> Aber was mich doch noch wundert: [mm]1-e^{-t}[/mm] kann doch
> irgendwie nicht richtig sein weil die Variable t ja nur von
> 0 bis 1 läuft?
Wie kommst du darauf? Das passiert, wenn man den gleichen Variablennamen für verschiedene Variablen verwendet 
Richtig ist: Das t für die Bestimmung der Verteilung der [mm] Y_i [/mm] war aus [0,1] weil das der Wertebereich der [mm] $Y_i$ [/mm] war, die sind schließlich gleichverteilt auf [0,1]!
Auch der Wertebereich von [mm] $M_n [/mm] = [mm] \max_{i\in\{1,\ldots,n\}} Y_i$ [/mm] ist [0,1].
Aber: Was ist denn der Wertebereich von [mm] $Z_n [/mm] = n*(1- [mm] M_n)$ [/mm] ?
(überlege dir, welche Werte [mm] M_n [/mm] annehmen kann (steht ja drüber ) und welche Werte also [mm] Z_n [/mm] annehmen kann....)
Also was ist der Wertebereich der Grenzverteilung?
MFG,
Gono.
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Also was ist der Wertebereich der Grenzverteilung?
Das t geht hier von 0 bis [mm] \infty, [/mm] wenn man 0 bis 1 einsetzt für t in [mm] n*(1-M_n(t)) [/mm] ? Das ist diese Definition, dass [mm] \infty*0 [/mm] = 0 ?
Dankesehr.
Grüsse
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Hallo,
> > Also was ist der Wertebereich der Grenzverteilung?
>
> Das t geht hier von 0 bis [mm]\infty,[/mm] wenn man 0 bis 1 einsetzt
> für t in [mm]n*(1-M_n(t))[/mm] ? Das ist diese Definition, dass
> [mm]\infty*0[/mm] = 0 ?
Leider nein. Der Ausdruck [mm] "\infty*0" [/mm] macht a priori gar keinen Sinn.
Gono hat schon viel getan, um dich zur Lösung hinzuleiten.
Es geht um den Wertebereich der Zufallsvariable [mm] Z_n:=n(1-M_n).
[/mm]
Es liegt [mm] M_n [/mm] im Intervall [0,1] für alle n. Dann liegt auch [mm] (1-M_n) [/mm] in [0,1].
Damit folgt, dass [mm] Z_n [/mm] im Intervall [0,n] liegt.
Nun Du: Was ist der Wertebereich der Grenzverteilung Z (betrachte [mm] n\to\infty).
[/mm]
LG
>
> Dankesehr.
> Grüsse
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Also der Wertebereich der Genzverteilung Z muss dann doch [mm] [0,\infty] [/mm] sein??
P(Z [mm] \le [/mm] t)=1-e^(-t) ...
für t [mm] \in [0,\infty) [/mm] ???
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Hiho,
> Also der Wertebereich der Genzverteilung Z muss dann doch
> [mm][0,\infty][/mm] sein??
rechts offen, sonst passts.
> P(Z [mm]\le[/mm] t)=1-e^(-t) ...
>
> für t [mm]\in [0,\infty)[/mm] ???
Jop. Allerdings aufpassen. Dieses "Grenzwert-Z" muss gar nicht existieren. Das ist erstmal nur eine Verteilungskonvergenz.
Und als Highlight zum Schluß: Gib der Grenzverteilung mal nen Namen. Diese Verteilungsfunktion sollte dir bekannt vorkommen.
MFG,
Gono.
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Jop. Allerdings aufpassen. Dieses "Grenzwert-Z" muss gar nicht existieren. Das ist erstmal nur eine Verteilungskonvergenz.
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Aber wenn ich die Grenzverteilung wie hier berechne, wie hier endlich ist und auch noch die 3 Eigenschaften einer Verteilung erfüllt, ist schon "gezeigt", dass es eine solche gibt, ja?
die Grenzverteilung ist hier die Exponentialverteilung zum Parameter 1.
$Z [mm] \sim [/mm] Exp(1)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 01.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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