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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mo 05.09.2005 | | Autor: | steph |
Hallo zusammen,
hätte einige Fragen bzw. Aufgaben zu Grenzwertberechnung und Stetigkeit. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
1.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich und zeigen Sie, dass die Funktion eine stetig hebbare Definitionslücke besitzt. Wie lautet die neue Funktion nach der stetigen Ergänzung??
[mm] x^2-9
[/mm]
--------
4x-12
[mm] D=R\{3} [/mm] Also der Definitionsbereich ist 3 und dass sie stetig hebbar ist, das lässt sich dadurch beweisen, dass der Grenzwert stetig ergänzbar ist. Oder??? Aber was ist gemeint mit, wie lautet die neue Funktion nach der stetigen Ergänzung ??
2.
f(x)= [mm] x^2-2x-15
[/mm]
----------------------
[mm] x^2-25
[/mm]
Wie lautet der Definitionsbereich bei folgender Aufgabe? Wie verhält sich der Graph in der Umgebung der nicht definierten Stellen? Bestimmen Sie lim f(x) x-> unendlich (Anleitung:Führen Sie zuuerst die Polynomdivision durch.) Bestimmen Sie die Nullstellen. Gibt es hebbare Definitionslücken? Wie lautet dann die Zusatzdefinition
Also: Ich denke, der Defintionsbereich liegt bei dieser Aufgabe bei +5 und -5 also [mm] D=R\{5,-5} [/mm] Oder ??
Ob es hebbare Definitionslücken gibt, hängt davon ab, ob der Grenzwert eindeutig ist UND wenn der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt, oder ???
3. Bei folgender Aufgabe sollen die Grenzwerte an den nahtstellen der teilfunktionen bestimmt werden und geschaut werden ob die Funkionen an diesen Stellen jeweils definiert sind und wie auch der Funktionswert lautet.
[mm] 1/2x^3 [/mm] für x(-unendlich,1)
[mm] -x^2+1 [/mm] für x (1, unendlich)
Also meines Erachtens ist die Funktion nicht definiert, da wenn man 1 einsetzt, ja 0 rauskommt und somit ist die Funktion nicht stetig. Oder ??
Was WÄRE, wenn es einen eindeutigen Grenzwert gäbe, aber der Funktionswert stimmt nicht mit dem Grenzwert überein, wäre sie dann stetig hebbar oder ganz einfach nicht stetig ???
4. Dann noch was allgemeines und zwar, also alle Funktionen die an einer Stelle x0 eine Definitionslücke besitzen, dort aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen sind stetig ergänzbar, oder ??
Reicht das wenn nur der linke und rechte Grenzwert gleich sind oder zählt dazu auch der Funtktionswert, der bestimmt ob der Graph definiert ist ???
So, nun erstmal vielen vielen Dank, alle die sich bis hierhin durchgebissen haben und ich würde mich über eine Antwort zu den Fragen sehr freuen !!!
Besten Dank,
steph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steph!
> Bestimmen Sie den Definitionsbereich und zeigen Sie, dass
> die Funktion eine stetig hebbare Definitionslücke besitzt.
> Wie lautet die neue Funktion nach der stetigen Ergänzung??
>
> [mm]x^2-9[/mm]
> --------
> 4x-12
>
> [mm]D=R\{3}[/mm] Also der Definitionsbereich ist 3 und dass sie
> stetig hebbar ist, das lässt sich dadurch beweisen, dass
> der Grenzwert stetig ergänzbar ist. Oder??? Aber was ist
> gemeint mit, wie lautet die neue Funktion nach der
> stetigen Ergänzung ??
Also Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte, die ich einsetzen darf: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \{3\}$
[/mm]
3 ist eine Definitionslücke !!
Du kannst die "stetige Ergänzbarkeit" durch die Grenzwertbetrachtung durchführen.
Es leichter geht's folgendermaßen:
Bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 3$ liegt sowohl im Nenner als auch im Zähler eine Nullstelle vor. Das sieht man besonders gut, wenn man jeweils faktorisiert:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-9}{4x-12} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x+3)*\blue{(x-3)}}{4*\blue{(x-3)}}$
[/mm]
Für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 3$ darf man nun die Klammer [mm] $\blue{(x-3)}$ [/mm] kürzen, so dass verbleibt:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x+3}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*(x+3)$
[/mm]
Nun können wir die Grenzwertbetrachtung durchführen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 3} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 3} \bruch{x+3}{4} [/mm] \ = \ bruch{3+3}{4} \ = \ bruch{3}{2}$
Damit sieht die Funktion nach der Ergänzung aus:
[mm] f^{\*}(x)=\begin{cases} \bruch{x^2-9}{4x-3}, & \mbox{für } x\not= 3 \mbox{} \\ \bruch{3}{2}, & \mbox{für } x=3 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
bzw.
[mm] $f^{\*}(x) [/mm] \ = \ 0,25*(x+3)$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mo 05.09.2005 | | Autor: | steph |
Vielen Vielen Dank, Loddar, schonmal !!!
Hätte noch eine Nachfrage und zwar, WANN berechnet man z.B.
[mm] \limes_{n\rightarrow\3..etc.}
[/mm]
und WANN
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
Je nachdem, wenn es schon angegeben ist, dass man den Grenzwert für + unendlich oder -uendlich berechnen soll oder wenn schon dabeisteht für die "nicht definierten Stellen, also wie bei meiner obigen Aufgabe 3 oder Loddar ???
Vielen Dank !!
gruss
steph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steph!
Im Rahmen der Stetigkeitsbetrachtungen an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] wirst Du im allgemeinen den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow \red{x_0}}f(x) [/mm] \ = \ ...$ betrachten.
Willst Du z.B. eine Asymptotenfunktion zu einer Funktion $f(x)$ bestimmen, musst Du die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow \pm \infty$ [/mm] durchführen: [mm] $\limes_{x\rightarrow \red{\pm \infty}}f(x) [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hallo!
> 1.
> Bestimmen Sie den Definitionsbereich und zeigen Sie, dass
> die Funktion eine stetig hebbare Definitionslücke besitzt.
> Wie lautet die neue Funktion nach der stetigen Ergänzung??
>
> [mm]x^2-9[/mm]
> --------
> 4x-12
>
> [mm]D=R\{3}[/mm] Also der Definitionsbereich ist 3 und dass sie
> stetig hebbar ist, das lässt sich dadurch beweisen, dass
> der Grenzwert stetig ergänzbar ist. Oder??? Aber was ist
> gemeint mit, wie lautet die neue Funktion nach der
> stetigen Ergänzung ??
Die Aufgabe ist jetzt hoffentlich komplett verstanden?
> 2.
>
> f(x)= [mm]x^2-2x-15[/mm]
> ----------------------
> [mm]x^2-25[/mm]
>
> Wie lautet der Definitionsbereich bei folgender Aufgabe?
> Wie verhält sich der Graph in der Umgebung der nicht
> definierten Stellen? Bestimmen Sie lim f(x) x-> unendlich
> (Anleitung:Führen Sie zuuerst die Polynomdivision durch.)
> Bestimmen Sie die Nullstellen. Gibt es hebbare
> Definitionslücken? Wie lautet dann die Zusatzdefinition
>
> Also: Ich denke, der Defintionsbereich liegt bei dieser
> Aufgabe bei +5 und -5 also [mm]D=R\{5,-5}[/mm] Oder ??
> Ob es hebbare Definitionslücken gibt, hängt davon ab, ob
> der Grenzwert eindeutig ist UND wenn der Grenzwert mit dem
> Funktionswert übereinstimmt, oder ???
Also, wie Loddar schon sagte, ist nicht der Definitionsbereich [mm] \{-5,+5\}, [/mm] sondern genau diese Stellen dürfen nicht im Definitionsbereich liegen. Also: [mm] D=\IR\backslash\{5,-5\}, [/mm] wie du allerdings schon richtig schreibst...
Mmh, die stetige Hebbarkeit wurde mir glaube ich noch nie definiert. Aber aus der Aufgabe und der Lösung der ersten Aufgabe verstehe ich das so, dass die Definitionslücke hebbar ist, wenn du die Funktion so abändern kannst, dass sie für alle Stellen außer die ehemalige Definitionslücke noch dieselbe Funktion ist, und in der Definitionslücke einen Wert zugewiesen bekommt. Und zwar so, dass die gesamte Funktion stetig ist.
Ich würde einfach mal nach der Anleitung gehen und eine Polynomdivision machen. Allerdings müsste man das eigentlich schon fast so sehen, wie die Funktion nachher aussieht...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Tipp fürs nächste Mal: für jede Frage nen neuen Thread aufmachen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 06.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steph!
Versuche doch einfach mal, sowohl Nenner als auch Zähler weitestgehend zu faktorisieren und anschließend zu kürzen.
Dann kannst Du danach Deine Poynomdivision durchführen für die Grenzwertbetrachtungen für [mm] $\x\rightarrow \pm \infty$ [/mm] .
Mit der gekürzten Darstellung sollten dann auch die entsprechenden Grenzwerte bz. Ergänzungen an den Definitionslücken keine Probleme mehr sein, oder?
Das habe ich Dir ja bereits ein-/zwei-mal gezeigt ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 06.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steph!
Deine Funktion lautet also:
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x^3, & \mbox{für } x \ < \ 1 \mbox{} \\-x^2+1, & \mbox{für } x \ > \ 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Zu welchem Bereich gehört denn der x-Wert $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ 1$ ??
Oder ist dort ein separater Funktionswert definiert?
> Also meines Erachtens ist die Funktion nicht definiert, da
> wenn man 1 einsetzt, ja 0 rauskommt und somit ist die
> Funktion nicht stetig. Oder ??
Wie kommst du darauf?
Auf jeden Fall gibt es zwei unterschiedliche Grenzwerte für [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0+}f(x)$ [/mm] (rechtsseitiger Grenzwert) und [mm] $\limes_{x\rightarrow x_0-}f(x)$ [/mm] (linksseitiger Grenzwert), so dass diese Funktion auf jeden Fall an der Nahtstelle nicht stetig ist:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1-}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{1}{2}x^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*1^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1+}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1+}\left(-x^2+1\right) [/mm] \ = \ [mm] -1^2+1 [/mm] \ = \ 0 \ [mm] \red{\not= \ \bruch{1}{2}}$
[/mm]
> Was WÄRE, wenn es einen eindeutigen Grenzwert gäbe, aber
> der Funktionswert stimmt nicht mit dem Grenzwert überein,
> wäre sie dann stetig hebbar oder ganz einfach nicht
> stetig ???
Fall 1: An der betrachteten Stelle ist die Funktion definiert
Dann wäre sie nicht stetig, da für Stetigkeit ja gelten muss:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0+}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0-}f(x) [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$
[/mm]
Fall 2: Funktion ist an der betrachteten Stelle (noch) nicht definiert
Dann ist diese Funktion hier stetig ergänzbar, da man ja nun auch den entsprechenden Funktionswert hinzufügen könnte.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 06.09.2005 | | Autor: | steph |
Danke schonmal, loddar !!
Also, WÜRDE sich bei oben genannter Aufgabe, ein eindeutiger Grenzwert ergeben, dann ist sie stetig, AUCH wenn die Funktion noch nicht definiert ist, da sie ja noch definiert werden könnte, ist das richtig ??
WÜRDE es aber auch bei einer der beiden Funktionen heißen x [mm] \ge [/mm] 1 und der daraus ermittelnde Funktionswert stimmt NICHT mit dem eindeutigen Grenzwert überein, ist sie nicht stetig, oder ??
gruss und danke
steph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo steph!
Loddar hat sich hier vertan, ich kläre es mal auf:
Gehört die "Nahtstelle" nicht zum Definitionsbereich, so ist die Funktion auf dem Definitionsbereich stetig, aber auf den erweiterten Definitionsbereich nicht stetig ergänzbar.
Gehört die "Nahtstelle" zum Definitionsbereich, so handelt es sich um gar keine Funktion. Macht man sie zu einer Funktion, indem man ihr an der "Nahstelle" einen Wert zurodnet (z.B. durch die obere oder untere Funktionsvorschrift), so ist die Funktion nicht stetig.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo steph,
>
> 4. Dann noch was allgemeines und zwar, also alle Funktionen
> die an einer Stelle x0 eine Definitionslücke besitzen, dort
> aber einen eindeutigen Grenzwert aufweisen sind stetig
> ergänzbar, oder ??
Ja.
>
> Reicht das wenn nur der linke und rechte Grenzwert gleich
> sind oder zählt dazu auch der Funtktionswert, der bestimmt
> ob der Graph definiert ist ???
Es reicht wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 06.09.2005 | | Autor: | steph |
HAllo,
danke schonmal für deinen Beitrag, aber ích hätte noch ein paar Fragen. Wenn es heißt prüfen, sie ob die FUnktion stetig ist, dann muss doch auch der Funktionswert definiert sein ??
Aber du schreibst: "Es reicht wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. "
Und ist "stetig ergänzbar" = stetig ??
gruss und danke
steph4
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Hallo steph,
> danke schonmal für deinen Beitrag, aber ích hätte noch ein
> paar Fragen. Wenn es heißt prüfen, sie ob die FUnktion
> stetig ist, dann muss doch auch der Funktionswert definiert
> sein ??
Wenn die Funktion so definiert ist, das an der "Definitionslücke" ein Wert gegeben ist.
[mm]
f(x): = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{g(x)} & {x\; \ne \;x_{0} } \\
{y_{0} } & {x\; = \;x_{0} } \\
\end{array} } \right.[/mm]
Dann muss natürlich gelten:
[mm]
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{0}^{-} } \;g(x)\; = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{0}^{ +} } \;g(x)\; = \;y_{0} [/mm]
Falls diese Werte nicht übereinstimmen, dann ist f(x) an der Stelle [mm][mm] x_{0}]/mm] [/mm] unstetig.
> Aber du schreibst: "Es reicht wenn der linksseitige und
> rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. "
>
> Und ist "stetig ergänzbar" = stetig ??
hmm, in der Regel nicht.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> danke schonmal für deinen Beitrag, aber ích hätte noch ein
> paar Fragen. Wenn es heißt prüfen, sie ob die FUnktion
> stetig ist, dann muss doch auch der Funktionswert definiert
> sein ??
Richtig. Zu jedem Punkt des Definitionsbereiches muss ein Funktionswert angegeben werden, denn ansonsten handelt es sich um gar keine Funktion.
> Aber du schreibst: "Es reicht wenn der linksseitige und
> rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. "
Gemeint ist: Wenn an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] die Funktion noch nicht definiert ist, dann kann man die Funktion in diesem Fall in [mm] $x_0$ [/mm] stetig fortsetzen.
Ist $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] bereits definiert, dann ist $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] stetig, wenn dort der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen.
> Und ist "stetig ergänzbar" = stetig ??
Nein, natürlich nicht. Eine stetige Funktion [mm] $f:D\setminus\{x_0\} \to \IR$ [/mm] ist in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ergänzbar, wenn es eine stetige Funktion [mm] $\overline{f}:D \to \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $f|_{D \setminus\{x_0\}} [/mm] = [mm] \overline{f}|_{D \setminus \{x_0\}}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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