Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Sei die Folge [mm] x_{n}_{n \in \IN} [/mm] wie folgt definiert:
[mm] x_{0}:=1, x_{n+1}:=1/2 (x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x_{n}}
[/mm]
Zeigen sie, dass der Grenzwert a existiert.
Zeigen sie, dass der Grenzwert a = [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. |
Ich weiß nicht genau, wie ich hier am besten vorgehe. Ich müsste theoretisch erstmal die Folge als Geichung aufschreiben, damit ich damit rechnen kann, aber damit hab ich Probleme. Ich muss ja als [mm] x_{n} [/mm] immer dass einsetzen, was ich mit [mm] x_{n+1} [/mm] ausgerechnet habe.
(also für [mm] x_{0 + 1} [/mm] ausrechnen, dass Ergebnis ist dann [mm] x_{1}, [/mm] dass wieder in die Gleichung einsetzen [mm] (x_{1+1}) [/mm] und so weiter....
Aber dass kann man (oder ich), ja nicht direkt als Gleichung aufschreiben...
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei die Folge [mm]x_{n}_{n \in \IN}[/mm] wie folgt definiert:
>
> [mm]x_{0}:=1, x_{n+1}:=1/2 (x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{x_{n}}[/mm]
>
> Zeigen sie, dass der Grenzwert a existiert.
> Zeigen sie, dass der Grenzwert a = [mm]\wurzel{2}[/mm] ist.
> Ich weiß nicht genau, wie ich hier am besten vorgehe. Ich
> müsste theoretisch erstmal die Folge als Geichung
> aufschreiben, damit ich damit rechnen kann, aber damit hab
> ich Probleme. Ich muss ja als [mm]x_{n}[/mm] immer dass einsetzen,
> was ich mit [mm]x_{n+1}[/mm] ausgerechnet habe.
>
> (also für [mm]x_{0 + 1}[/mm] ausrechnen, dass Ergebnis ist dann
> [mm]x_{1},[/mm] dass wieder in die Gleichung einsetzen [mm](x_{1+1})[/mm] und
> so weiter....
> Aber dass kann man (oder ich), ja nicht direkt als
> Gleichung aufschreiben...
Brauchst du nicht.
Zeige, dass die Folge monoton und beschränkt ist. Das sichert dir die Existenz des Grenzwertes.
Berechnen kannst du ihn so:
Es ist [mm]a=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}[/mm]
Also mittels [mm]a=1/2(a+2/a)[/mm] gem. der Rekursion
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Oh, das Verfahren kannte ich gar nicht. So ist das ja easy.
Vielen Dank.
|
|
|
|
