Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 09.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen [mm] (a_n)_{n∈N}
[/mm]
, falls sie existieren:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{5n^{3}-2n+1}{3n^3+8n-2} [/mm] + [mm] \bruch{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8} [/mm] + [mm] \bruch{16n^2-7}{6n^2+n-2} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^3-2n+1}{3n^3+8n-2}+\bruch{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8}+\bruch{16n^2-7}{6n^2+n-2}
[/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^3-2n+1}{3n^3+8n-2} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{16n^2-7}{6n^2+n-2}
[/mm]
= (klammere das n aus nur als Beispiel im ersten Glied: (zu viel schreib aufwand))
Ich habe jetzt ein Problem mit der nächsten Folge da sie alternierend ist. Könnte mir jemand helfen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3(5-\bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{n^3 (3+\bruch{8}{n^2}-\bruch{2}{n^3})}
[/mm]
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (5-\bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{\limes_{n\rightarrow\infty} (3+\bruch{8}{n^2}-\bruch{2}{n^3})}
[/mm]
= [mm] \bruch{(\limes_{n\rightarrow\infty} 5- \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{n^2}+ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^3}))}{\limes_{n\rightarrow\infty} 3+ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{8}{n^2}- \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{n^3})}
[/mm]
=
[mm] \bruch{5}{3} [/mm] da andere folgen im Limes gegen 0 laufen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 09.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen
> [mm](a_n)_{n∈N}[/mm]
> , falls sie existieren:
Die Grenzwerte für [mm] $n\to\infty$ [/mm] oder [mm] $\n\to [/mm] 0$?
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{5n^{3}-2n+1}{3n^3+8n-2}[/mm] +
> [mm]\bruch{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8}[/mm] +
> [mm]\bruch{16n^2-7}{6n^2+n-2}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^3-2n+1}{3n^3+8n-2}+\bruch{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8}+\bruch{16n^2-7}{6n^2+n-2}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^3-2n+1}{3n^3+8n-2}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8}[/mm]
> + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{16n^2-7}{6n^2+n-2}[/mm]
> =
> (klammere das n aus nur als Beispiel im ersten Glied: (zu
> viel schreib aufwand))
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\bruch{5n^{3}-2n+1}{3n^3+8n-2}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\bruch{n^{3}\cdot\left(5-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^{3}}\right)}{n^{3}\cdot\left(3+\frac{8}{n^2}-\frac{2}{n^{3}}\right)}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\bruch{5-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^{3}}}{3+\frac{8}{n^2}-\frac{2}{n^{3}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{5-0+0}{3+0-0}
[/mm]
[mm] =\frac{5}{3}
[/mm]
Analog gilt, nach ausklammern von n²
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\frac{16n^2-7}{6n^2+n-2}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}
[/mm]
>
> Ich habe jetzt ein Problem mit der nächsten Folge da sie
> alternierend ist. Könnte mir jemand helfen?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3(5-\bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{n^3 (3+\bruch{8}{n^2}-\bruch{2}{n^3})}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (5-\bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{\limes_{n\rightarrow\infty} (3+\bruch{8}{n^2}-\bruch{2}{n^3})}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(\limes_{n\rightarrow\infty} 5- \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{n^2}+ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^3}))}{\limes_{n\rightarrow\infty} 3+ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{8}{n^2}- \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{n^3})}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{5}{3}[/mm] da andere folgen im Limes gegen 0 laufen
>
Die Alternierende +1 oder -1 ändert am Grenzwert nichts,
da auch hier, nach dem Ausklammern von [mm] n^8 [/mm] dann am Ende [mm] \frac{(-1)^{n}}{n^{8}} [/mm] steht,
und da der Nenner hier zwischen 1 und -1 pendelt, geht dieser Teil alternierend gegen Null,
was aber an dem Gesamtgrenzwert nichts ändert.
Es gilt also:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\frac{4n^8-n^6+2n^4+(-1)^n}{8n^3+5n^5-7n^7-3n^8}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4-\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^4}+\frac{(-1)^n}{n^8}}{\frac{8}{n^5}+\frac{5}{n^3}-\frac{7}{n}-3}
[/mm]
[mm] =\frac{4-0+0+0}{0+0-0-3}
[/mm]
[mm] =-\frac{4}{3}
[/mm]
Alle Brüche ergeben in der Summe also den Grenzwert [mm] \frac{5}{3}+\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=3
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 09.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
(b) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{5n^5 + 7^n}{5^n - n^2}
[/mm]
Könntest du mir hiermit helfen ?
Habe als vorgabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^5 + 7^n}{5^n - n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{7^n(\bruch{5n^5}{7^n} + 1)}{7^n(\bruch{5^n}{7^n} - \bruch{n^2}{7^n})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{5n^5}{7^n} + 1)}{\bruch{5^n}{7^n} - \bruch{n^2}{7^n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{5n^5}{7^n} + 1)}{\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{5^n}{7^n} - \bruch{n^2}{7^n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{1+0}{0-0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0}, [/mm] aber das Bedeutet keine Lösung
Oder ist das trotzdem richtig ?
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Hallo,
man muss zwar alles dem Quellcode entnehmen, weil der Formeleditor zzT spinnt, aber ich versuch's trotzdem mal ...
> (b) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{5n^5 + 7^n}{5^n - n^2}[/mm]
>
> Könntest du mir hiermit helfen ?
>
>
> Habe als vorgabe:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^5 + 7^n}{5^n - n^2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{7^n(\bruch{5n^5}{7^n} + 1)}{7^n(\bruch{5^n}{7^n} - \bruch{n^2}{7^n})}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{5n^5}{7^n} + 1)}{\bruch{5^n}{7^n} - \bruch{n^2}{7^n}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{5n^5}{7^n} + 1)}{\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{5^n}{7^n} - \bruch{n^2}{7^n})}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1+0}{0-0}[/mm] = [mm]%255Cbruch%257B1%257D%257B0%257D%252C[/mm] aber das Bedeutet keine
> Lösung
Was heißt denn keine Lösung? Die Folge divergiert gegen [mm]\infty[/mm] (oder konvergiert unbestimmt gegen [mm]\infty[/mm]
>
> Oder ist das trotzdem richtig ?
Die Idee, [mm]7^n[/mm] auszuklammern, ist goldrichtig.
Kritisch ist der Schritt, wo du den Limes des Quotienten als Quotient der Limiten von Zähler und Nenner schreibst.
Ich kenne diesen Grenzwertsatz für Quotienten nur in der Fassung, dass Zähler- und Nennerfolge beide konvergieren, wobei die Nennerfolge nicht gegen [mm]0[/mm] konvergieren sollte ...
Gruß
schachuzipus
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