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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Di 05.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | | Berechne r- [mm] \limes_{x\rightarrow 1}(\bruch{x^{4}-1}{x^{2}-1}) [/mm] |
Hallo :)
Ich habe einen Hänger bei der Aufgabe und zwar habe ich wie immer zur Berechnung des rechtseitigen Limes an einer Unstetigkeitsstelle für x eine Folge eingesetzt, um mich so von rechts anzunähern. Hier habe ich die Folge
[mm] a_{n} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eingesetzt.
Dann steht da insgesamt:
[mm] \bruch{(1+(\bruch{1}{n})^{4}-1}{(1+\bruch{1}{n})^{2}-1}
[/mm]
Wenn ich das ausmultipliziere, komme ich auf
[mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] = 0
Wenn ich aber für n in den Taschenrechner eine große Zahl eingebe, z.B. 5000, so ergibt sich als Grenzwert 2.
2 deckt sich auch mit meinen vorherigen Berechnungen zur Hebung der Definitionslücken, hier an der Stelle x=1. Ich wollte jetzt zur Probe den links-und rechtsseitigen Limes vergleichen, um zu beweisen, dass ich zuvor richtig behoben habe.
Ich muss wahrscheinlich einen Fehler beim Ausklammern gemacht haben oder sonst etwas missachtet haben. Ich stehe gerade aber wirklich auf dem Schlauch, da ich einfach nicht auf 2 komme.
Vielleicht könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen :) Wäre echt super !
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Di 05.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Forme mal ein bisschen um:
[mm] \frac{x^{4}-1}{x^{2}-1}
[/mm]
[mm] =\frac{(x^{2}-1)\cdot(x^{2}+1)}{x^{2}-1}
[/mm]
[mm] =x^{2}+1
[/mm]
Damit siehst du hoffentlich, dass du die Defionitionslücke(n) bei x=1 (und x=-1) herausheben kannst.
Um deinen Fehler zu finden, müssten wir deine Rechnung sehen.
[mm] \bruch{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{4}-1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{2}-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+\frac{4}{n}+\bruch{6}{n^{2}}+\bruch{4}{n^{3}}+\bruch{1}{n^{4}}-1}{1+\bruch{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}-1}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 05.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
Das Herausheben habe ich genauso gemacht und ich komme nach dem Ausmultiplizieren auch auf denselben Bruch wie du. Nur genau DANN weiß ich nicht wie man von dem ausmultiplizierten Bruch auf 2 kommt... Wenn du mir da weiterhelfen könntest,...
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Es steht doch eigentlich dran:
[mm] $\limes_{x \to 1}\bruch{x^4 - 1}{x^2 - 1} [/mm] = [mm] \limes_{x \to 1}x^2 [/mm] + 1 = [mm] (\limes_{x \to 1}x)^2 [/mm] + 1 = [mm] 1^2 [/mm] + 1 = 2$
(Der Limes darf "rein gezogen" werden aufgrund der Stetigkeit von $1 + [mm] x^2$)
[/mm]
Was fehlt dann noch?
Zum Ausmultiplizieren: Man kommt wohl nicht auf [mm] $\bruch{1-1}{1-1}$.
[/mm]
Gruß,
Sandro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mi 06.01.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
Ich hab's jetzt verstanden.
Der Grenzwert muss 2 sein, obwohl beides gegen 0 strebt, weil der Nenner doppelt so schnell gegen 0 strebt wie der Zähler. Deshalb steht im Zähler für n=500 ca. 0,008 und im Nenner ca. 0,004. Da man teilt, ist das Ergebnis 2.
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