Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Brumm |
Hallo !
Warum gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n log(1 + [mm] \bruch{y}{n}) [/mm] = y ?
edit: Ich habe dieses nun mit Hilfe von l'Hospital zeigen können. Allerdings
soll ich weiter zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n log(1 + [mm] (\bruch{y}{n})^\alpha) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{1-\alpha} [/mm] log(1 + [mm] (\bruch{y}{n})^\alpha)^{n^\alpha}
[/mm]
Brumm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Sa 25.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Brumm
> Hallo !
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> Warum gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n log(1 + [mm]\bruch{y}{n})[/mm] = y ?
das einfachst sind die log Gesetze:
[/mm] n log(1 + [mm][mm] \bruch{y}{n})=log((1 [/mm] + [mm]\bruch{y}{n})^n)[/mm] =y (Mit lim davor) denn :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1 [/mm] + [mm][mm] \bruch{y}{n})^n=e^y
[/mm]
[mm] lne^y=y
[/mm]
> edit: Ich habe dieses nun mit Hilfe von l'Hospital zeigen
> können.
scheint mir umständlich, wie geht das?
>Allerdings
> soll ich weiter zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n log(1 +
> [mm](\bruch{y}{n})^\alpha)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^{1-\alpha}[/mm]
> log(1 + [mm](\bruch{y}{n})^\alpha)^{n^\alpha}[/mm]
Auch hier wieder die log Gesetze und du bist sofort fertig weil [mm] n=n^{1-\alpha}*n^{\alpha} [/mm]
Gruss leduart
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