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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}
[/mm]
Bestimmen sie Definitionsbereich, Nullstellen, Asymptoten, Grenzwerte und Näherungsverhalten der Funktion f. |
Als Nullstelle hab ich x=-1.
Da für [mm] x_0=-0,5 [/mm] das Nennerpolynom gleich 0 ist, liegt dort eine Definitionslücke vor und der Definitionsbereich besteht somit aus allen reelen Zahlen, ausgenommen der Definitionslücke.
Die Funktion hat den Grenzwert [mm] \limes_{n \to \infty}f(x)= [/mm] 2, da Zähler- und Nennerpolynom gleichen Grad haben.
Eine Asymptote läuft parallel zur y-Achse durch [mm] x_p=-0,5 [/mm] und parallel zur x-Achse durch den Grenswert a=2.
Die Nullstelle [mm] x_0=-1 [/mm] und der Pol [mm] x_p=-0,5 [/mm] bilden die Bereichsgrenze. f(-3)= 0, d.h. alle Funktionswerte links von -1 sind positiv. f(-0,7)=1,77, demnach sind alle Werte im mittleren Bereich positiv. f(1,5)=1,3 also auch alle Werte rechts von [mm] x_p=-0,5 [/mm] sind positiv.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Do 15.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Chrissi,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}[/mm].
> Bestimmen sie Definitionsbereich, Nullstellen, Asymptoten,
> Grenzwerte und Näherungsverhalten der Funktion f.
> Als Nullstelle hab ich x=-1.
Nein, $f(-1)=2$.
Du musst die Nullstellen des Zählers (quadratische Gleichung,  P,Q-Formel) berechnen und prüfen, ob es nicht gleichzeitig Nennernullstellen sind.
> Da für [mm]x_0=-0,5[/mm] das Nennerpolynom gleich 0 ist,
Nein, das Nennerpolynom ist $-1,25$ für $x=0,5$.
> liegt dort
> eine Definitionslücke vor und der Definitionsbereich
> besteht somit aus allen reelen Zahlen, ausgenommen der
> Definitionslücke.
Das Nennerpolynom hat zwei Nullstellen!
> Die Funktion hat den Grenzwert [mm]\limes_{n \to \infty}f(x)=2[/mm],
> da Zähler- und Nennerpolynom gleichen Grad haben.
Diese Erklärung kann ich überhaupt nicht nachvollziehen:
Dann müsste ja [mm] $\frac{x^2}{x^2}$ [/mm] auch gegen Zwei streben? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Die Konvergenz richtet sich nach dem Koeffizienten der höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. Die sind beide Eins, also strebt die Funktion gegen Eins.
> Eine Asymptote läuft parallel zur y-Achse durch [mm]x_p=-0,5[/mm]
Das war deine Nennernullstelle, die stimmt aber nicht!
> und parallel zur x-Achse durch den Grenswert a=2.
Wie gesagt, sie strebt gegen Eins.
> Die Nullstelle [mm]x_0=-1[/mm] und der Pol [mm]x_p=-0,5[/mm] bilden die
> Bereichsgrenze.
Wie gesagt, die Zahlwerte stimmen nicht!
> f(-3)= 0,
Wie, doch noch eine andere Nullstelle? Die stimmt! 
> d.h. alle Funktionswerte links
> von -1 sind positiv. f(-0,7)=1,77, demnach sind alle Werte
> im mittleren Bereich positiv. f(1,5)=1,3 also auch alle
> Werte rechts von [mm]x_p=-0,5[/mm] sind positiv.
> Richtig?
Nein, die Zahlwerte stimmen nicht! Außerdem musst du dir noch Gedanken darüber machen, was genau an der Polstelle (die ist bei $x=-2$) passiert.
Sorry, dass ich hier so viel zu meckern hatte!
MFG,
Yuma
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Ich habe meinen Fehler eben auch schon bemerkt. Sorry. Also, Nennernullstellen sind [mm] x_0=-2 [/mm] und [mm] x_1=1. [/mm] Zählernullstellen sind [mm] x_2=-3 [/mm] und [mm] x_3=1.
[/mm]
Definitionsbereich: Alle reelen Zahlen, ausgenommen Definitionslücke -2/1
Grenzwert:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(x)=1.
[/mm]
Asymptote: Parallel zur y-Achse [mm] x_p=-2 [/mm] und parallel zur x-Achse durch Grenzwert a=1.
Nährungsverhalten: Nullstelle [mm] x_2=-3 [/mm] und Pol [mm] x_p=-2 [/mm] Bereichsgrenze un dann das, was ich eben auch gemacht habe.
Bei der Polstelle muss ich mich doch von beiden Seiten annähern, oder? Also Praktisch Wertetabelle?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 15.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig! (-:
falls du mit Def.luecke -2/1 meinst -2 und 1.
Polstelle: ohne Wertetabelle: Zaehler hat in der Naehe immer das gleiche Vorzeichen (weil keine Nullstelle) Nenner wechselt das VZ, also Pol mit Vorzeichenw.
(Nur wenn der Nenner ne doppelte Nullstelle hat wie etwa [mm] (x-2)^2 [/mm] bei 2 hat man Pole ohne vorzw.
Aber Wertetabelle schad nix.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Do 15.02.2007 | | Autor: | Chrissi21 |
Vielen Dank erstmal, ich werde bestimmt gleich noch eine Frage haben
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| Aufgabe | | Folgende Grenzwerte berechnen: a) [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{x^2+3x+4}{x^3-5}; [/mm] b) [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2x^2-5x^6+4}{3x^4+6x6} [/mm] c) [mm] \limes_{n \to \3} \bruch{x^2-x-6}{x^2-2x-3}; [/mm] d) [mm] \limes_{n \to \-3} \bruch{x^2+5x+6}{x^2+2x-3} [/mm] |
Also, a) ist meiner Meinung nach =0; b9 ist = [mm] \bruch{-5}{6}; [/mm] c) und d9 =1, wobei ich bei den beiden nicht genau weis, wie ich vorgehen muss. Bitte helft mir!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 15.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Folgende Grenzwerte berechnen: a) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{x^2+3x+4}{x^3-5};[/mm]
> b) [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{2x^2-5x^6+4}{3x^4+6x6}[/mm] c)
> [mm]\limes_{n \to \3} \bruch{x^2-x-6}{x^2-2x-3};[/mm] d) [mm]\limes_{n \to \-3} \bruch{x^2+5x+6}{x^2+2x-3}[/mm]
>
> Also, a) ist meiner Meinung nach =0;
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
b) ist = [mm] \bruch{-5}{6}
[/mm]
Hier steht wahrscheinlich [mm] x^6 [/mm] im Nenner, dann stimmt auch Dein Ergebniss.
c) und d) =1, wobei ich bei den beiden nicht
> genau weis, wie ich vorgehen muss. Bitte helft mir!
Hier musst Du im Zähler wie im Nenner jeweils [mm] x^2 [/mm] ausklammern, dann sieht man das der Grenzwert jeweils 1 ist.
mfg ullim
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Ist beiden beiden letzten wirklich der Grenzwert eins, obwohl bei c) lim x gegen 3 und bei d) lim x gegen -3 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 15.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
meist denkt man x gegen [mm] \infty, [/mm] drum ist gut wenn du nachfragst.
im fall c) musst du Z und N in ein Produkt von(x-x1)*(x-x2) zerlegen, x1,x2 die jeweils 2 Nullstellen. In beiden Faellen haben Z und N eine gemeinsame Nst, die kannst du dann rauskuerzen und den GW bilden.
bei c ist GW dann 5/4, d ueberlass ich dir.
Gruss leduart
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Wenn ich es so auf die Art versuche bekomme ich bei d) erstmal [mm] \bruch{ (x+3)*(x+2)}{(x+3)*(x-1)} [/mm] ja? Also [mm] \bruch{-1}{-4} [/mm] oder?
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Hallo,
die Umformung ist korrekt, in deiner Aufgabe steht aber [mm] x\to3, [/mm] du hast [mm] x\to-3 [/mm] gerechnet,
Steffi
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Das sollte auch lim x gegen -3 heißen. Ist das dann richtig?
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wenn [mm] x\to-3, [/mm] dann ist es korrekt,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 15.02.2007 | | Autor: | Chrissi21 |
Vielen Dank an alle die mir hier geholfen haben. Schönen Abend noch!
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