Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Kyle |
| Aufgabe | Bestimme
[mm] \lim\limits_{x \to 0} (\sum\limits_{i=1}^{d} b_i^{-x})^{-\frac{1}{x}}! [/mm] |
Wie berechne ich den am einfachsten?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Kyle |
achja, d ist eine natürliche Zahl und die [mm] b_i [/mm] sind aus [mm] \IR [/mm] ohne 0...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kyle!
Sind das auch alle Infos, die zu dieser Aufgaben hier gehören? Ansonsten poste doch mal bitte die vollständige Aufgabenstellung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 08.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen [mm] b_i\ne0 [/mm] kann man [mm] b_i^{-x}=a_i^x [/mm] mit lim xgegen 0 =1 also lim Summe =d
Im Prinzip also versuchen die 2 GW zu trennen. Ich bin aber unsicher ob das geht!
Gruss leduart
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:41 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Bestimme
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> [mm]\lim\limits_{x \to 0} (\sum\limits_{i=1}^{d} b_i^{-x})^{-\frac{1}{x}}![/mm]
>
> Wie berechne ich den am einfachsten?
Ich denke, die [mm] $b_i$ [/mm] müssen jedenfalls $>0$ sein (sonst wäre [mm] $b_i^{-x}$ [/mm] für reelle $x>0$ gar nicht definiert). In diesem Falle folgt aus
[mm]\lim_{x\rightarrow 0+}\sum_{i=1}^d b_i^{-x}=\sum_{i=1}^d \lim_{x\rightarrow 0+}b_i^{-x}=\sum_{i=1}^d 1=d < 2d[/mm]
dass gelten muss:
[mm]0\leq \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}\leq \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(2d\Big)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{(2d)^x}=0[/mm]
Woraus folgt ("Sandwich-Kriterium"): [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}=0$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Kyle |
Danke, bin nicht auf die Idee gekommen, den inneren Grenzwert so wie gegen die 2d abzuschätzen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Danke, bin nicht auf die Idee gekommen, den inneren
> Grenzwert so wie gegen die 2d abzuschätzen!!
Ich hoffe Du hast gesehen, dass ich einen groben Fehler gemacht habe, weil ich mit dieser Abschätzung der Summe von oben annehmen musste, dass für ein festes $x>0$ die Funktion [mm] $u\mapsto u^{-\frac{1}{x}}$ [/mm] monoton wachsend ist (sie ist aber natürlich monoton fallend). Dennoch lässt sich die Idee mit der Abschätzung der Summe retten, sofern [mm] $d\geq [/mm] 2$ ist, indem man die Summe statt dessen von unten abschätzt, etwa durch [mm] $d-\varepsilon$ [/mm] für ein genügend kleines [mm] $\varepsilon>0$ ($\varepsilon [/mm] := 0.5$ würde schon genügen). Denn wegen
[mm]\lim_{x\rightarrow 0+} \sum_{i=1}^d b_i^{-x}=d[/mm]
folgt, dass es ein [mm] $x_0>0$ [/mm] gibt, so dass für alle $x$ mit [mm] $0
[mm]d-\varepsilon \leq \sum_{i=1}^d b_i^{-x}[/mm]
Wegen des monotonen Fallens von [mm] $u\mapsto u^{-\frac{1}{x}}$ [/mm] (für festes $x>0$), folgt daher ähnlich wie zuvor
[mm]0\leq \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}\leq \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(d-\varepsilon\Big)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{(d-\varepsilon)^x}=0[/mm]
Da wir [mm] $\varepsilon$ [/mm] für [mm] $d\geq [/mm] 2$ so wählen können, dass [mm] $d-\varepsilon>1$ [/mm] ist.
Für $d=1$ geht der letzte Limes der obigen Abschätzung jedoch nicht gegen $0$, ganz gleich wie klein wir [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ wählen. Für $d=1$ liefert eine direkte Vereinfachung aber, dass [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)=\lim_{x\rightarrow 0+}\big(b_1^{-x}\big)^{-\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \lim_{x\rightarrow 0+} b_1=b_1$ [/mm] ist.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:53 Mi 08.08.2007 | | Autor: | ikara |
Ich wollte noch einige Fragen zu dem Ergebnis stellen. Erstens was passiert wenn [mm] b_{i} [/mm] zusätzlich gegen unendlich geh. Die zweite Frage ist was passiert wenn x gegen [mm] \infty [/mm] geht.
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> Ich wollte noch einige Fragen zu dem Ergebnis stellen.
> Erstens was passiert wenn [mm]b_{i}[/mm] zusätzlich gegen unendlich
> gehen.
Diese Frage könnte man erst ernsthaft angehen, nachdem Du festgelegt hast, wie schnell denn die [mm] $b_i$ [/mm] (relativ zum gegen $0$ gehen von $x$) gegen Unendlich gehen sollen.
>Die zweite Frage ist was passiert wenn x gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Dann wird es sehr wichtig, ob gewisse der [mm] $b_i [/mm] >1$, $=1$ oder $<1$ sind. (Ganz im Unterschied zum Fall [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$, weil ja [mm] $x\mapsto b_i^{-x}$ [/mm] bei $x=0$ stetig ist und dort den Wert $1$ hat, sofern nur gilt, dass [mm] $b_i>0$ [/mm] ist.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 10.08.2007 | | Autor: | ikara |
Erklärung zum zweiten Teil der Frage. Alle [mm] b_{i}'s [/mm] sind in (0,1]. Was passiert nun wenn x gegen unendlich geht?
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> Erklärung zum zweiten Teil der Frage. Alle [mm]b_{i}'s[/mm] sind in
> (0,1]. Was passiert nun wenn x gegen unendlich geht?
Ich vermute, dass dann der Limes gleich [mm] $b_{\min} [/mm] := [mm] \min\{b_i \mid i=1\ldots d\}$ [/mm] ist. Denn man kann ja [mm] $b_{\min}$ [/mm] wie folgt ausklammern:
[mm]\sum_{i=1}^d b_i^{-x}=b_{\min}^{-x}\cdot \sum_{i=1}^d \left(\frac{b_i}{b_{\min}}\right)^{-x}[/mm]
Mindestens einer der Summanden [mm] $\left(\frac{b_i}{b_{\min}}\right)^{-x}$ [/mm] geht dabei für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] gegen $1$, die anderen, diejenigen die also bei diesem Grenzübergang nicht gegen $1$ gehen, gehen gegen $0$. Also gilt für ein [mm] $k\geq [/mm] 1$:
[mm]\lim_{x\rightarrow +\infty}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\Big(k\cdot b_{\min}^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}k^{-\frac{1}{x}}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \left(b_{\min}^{-x}\right)^{-\frac{1}{x}}=1\cdot b_{\min}=b_{\min}[/mm]
Etwas salopp wird dabei der Übergang von der linken zur rechten Seite des ersten Gleichheitszeichens gemacht. Aber man könnte die ganze Sache auch in ein Sandwich nehmen, weil ja ab genügend grossem $x$, sagen wir grösser als [mm] $x_0$, [/mm] gilt:
[mm]\frac{k}{2}\cdot b_{\min}^{-x} \leq b_{\min}^{-x}\cdot \sum_{i=1}^d \left(\frac{b_i}{b_{\min}}\right)^{-x}\leq 2k\cdot b_{\min}^{-x}[/mm]
Also können wir den weiter oben etwas salopp formulierten Übergang beim ersten Gleichheitszeichen auch durch eine beidseitige Abschätzung durch Limites ersetzen, die beide gleich [mm] $b_{\min}$ [/mm] sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 10.08.2007 | | Autor: | ikara |
Vielen Dank für die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Vielen Dank für die Antwort!
Ich hoffe nur, Du prüfst mein Geschreibsel jeweils mit der nötigen kritischen Aufmerksamkeit 
Nebenbei bemerkt: Ich habe den Eindruck, dass die Einschränkung [mm] $b_i\in [/mm] (0;1]$ bei dieser Überlegung gar nicht benötigt wird, dass also der Grenzwert (im Gegensatz zu meiner ursprünglichen Befürchtung) auch unter der schwächeren Bedingung [mm] $b_i>0$ [/mm] gleich [mm] $b_{\min} [/mm] = [mm] \min\{b_i\mid i=1\ldots d\}$ [/mm] ist.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:36 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Bestimme
> >
> > [mm]\lim\limits_{x \to 0} (\sum\limits_{i=1}^{d} b_i^{-x})^{-\frac{1}{x}}![/mm]
>
> >
> > Wie berechne ich den am einfachsten?
>
> Ich denke, die [mm]b_i[/mm] müssen jedenfalls [mm]>0[/mm] sein (sonst wäre
> [mm]b_i^{-x}[/mm] für reelle [mm]x>0[/mm] gar nicht definiert). In diesem
> Falle folgt aus
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0+}\sum_{i=1}^d b_i^{-x}=\sum_{i=1}^d \lim_{x\rightarrow 0+}b_i^{-x}=\sum_{i=1}^d 1=d < 2d[/mm]
>
> dass gelten muss:
> [mm]0\leq \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}\red{\leq} \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(2d\Big)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{(2d)^x}=0[/mm]
Oops, hoppla. Hier habe ich bei [mm] $\leq$ [/mm] angenommen, dass für festes $x>0$ die Funktion [mm] $u\mapsto u^{-\frac{1}{x}}$ [/mm] monoton wachsend ist. Was aber nicht zutrifft. Man müsste also die Summe [mm] $\sum_{i=1}^d b_i^{-x}$ [/mm] von unten (und nicht etwa, wie ich dies hier gemacht habe, von oben) abschätzen (für $x$ genügend nahe bei $0$). Das geht zwar auch (z.B. mit [mm] $\frac{d}{2}$), [/mm] aber ob dann der verbleibende Grenzwert gegen $0$ geht, hängt davon ab, ob [mm] $\frac{d}{2}>1$ [/mm] ist oder nicht.
Nachtrag: Man kann natürlich noch näher an $d$ heran, als bis bloss auf [mm] $\frac{d}{2}$, [/mm] ich würde also (zusammen mit der untenstehenden Überlegung für $d=1$) vermuten, dass der Grenzwert für $d>1$ gleich $0$ und für $d=1$ gleich [mm] $b_1$ [/mm] ist: vielleicht will das jemand bestätigen oder widerlegen
>
> Woraus folgt ("Sandwich-Kriterium"): [mm]\lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^d b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}=0[/mm]
Für $d=1$ ist ja schliesslich [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}\Big(\sum_{i=1}^1 b_i^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \lim_{x\rightarrow 0+}\Big(b_1^{-x}\Big)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0+} b_1 [/mm] = [mm] b_1$. [/mm] Der Limes kann also sicher nicht in der von mir behaupteten Form für alle [mm] $d\in \IN$ [/mm] gelten.
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