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| Aufgabe | Bestimmen sie den Grenzwert.
[mm] a=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(xsin(x))}{x^2} [/mm] |
zweimal l'Hospital angewendet liefert:
[mm] a=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(xsin(x))}{x^2}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{(sin(x) + xcos(x))cos(xsin(x))}{2x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{[\overbrace{2cos(x)-xsin(x)}^2][\overbrace{cos(xsin(x))}^1]-\overbrace{[sin(x)+xcos(x)][sin(x)+xcos(x)][sin(xsin(x))]}^0}{2}=1
[/mm]
Problem nur. Ich hab das Gefühl da muß 0 rauskommen.
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Hallo pleaselook,
2mal de l'Hospital ist goldrichtig, ich habe aber deine 2. Ableitung
des Zählers nicht mehr nachgerechnet, sondern DERIVE darauf angesetzt.
Es bestätigt dein Ergebnis, [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x\sin(x))}{x^2}=1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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[mm]x \sin{x} = x \cdot \left( x - \frac{x^3}{6} \pm \ldots \right) = x^2 - \frac{x^4}{6} \pm \ldots[/mm]
[mm]\sin \left( x \sin{x} \right) = \left( x^2 - \frac{x^4}{6} \pm \ldots \right) - \frac{1}{6} \cdot \left( x^2 - \frac{x^4}{6} \pm \ldots \right)^3 \pm \ldots = x^2 + O(x^4)[/mm]
[mm]\frac{\sin \left( x \sin{x} \right)}{x^2} = 1 + O(x^2) \to 1 \ \ \mbox{für} \ x \to 0[/mm]
Deine Lösung stimmt also.
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