Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mi 09.02.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
wie kann ich formal zeigen, dass folgendes gilt?
[mm]\lim_{x\rightarrow 0} x\cdot\sin\frac{1}{x} = 0[/mm]
Im Prinzip sieht man ja, dass der erste Faktor $x$ gegen 0 strebt und der zweite Faktor [mm] $\sin\frac{1}{x}$ [/mm] sich immer im geschlossenen Intervall $[-1,1]$ befinden muss. Von daher konvergiert das Produkt gegen 0.
Aber wie zeige ich das korrekt?
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mi 09.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
wenn du das formal zeigen willst, also mit der definition des grenzwertes musst du also zeigen:
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \quad \exists \, \delta > 0 \quad \forall \, x \in U_\delta(0) \setminus \{0\}: \left| x \sin \frac{1}{x} - 0 \right| < \varepsilon [/m]
sei nun ein [m] \varepsilon > 0 [/m] vorgegebn und wähle [m] \delta := \varepsilon > 0 [/m]. dann gilt für [m] x \in U_\delta(0) \setminus \{0\} [/m]
[m] \left| x \sin \frac{1}{x} - 0 \right| = \left| x \sin \frac{1}{x} \right| = \left| x \right|\underbrace{ \left| \sin \frac{1}{x} \right|}_{\leq 1} \leq |x| \cdot 1 = \underbrace{|x|}_{< \delta} < \delta = \varepsilon [/m]
mache dir am besten in jedem schritt klar, was verwendet wurde, auch wenn es meist nur irgendwelche trivialitäten sind (wenn ein schritt unklar ist, frag einfach nach!). nun leis den ersten und den letzten term der ungleichungskette, dann hast du die gewünschte abschätzung, nämlich:
[m] \left| x \sin \frac{1}{x} - 0 \right| < \varepsilon [/m]
und diese abschätzung kann für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0 $ in einer [mm] $\delta$-umgebung [/mm] der $0$ erreichen, wenn man [mm] $\delta$ [/mm] wie oben wählt!
hoffe das hilft.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Do 10.02.2005 | | Autor: | michael7 |
OK, vielen Dank fuer Deine Antwort. Danke auch an Baddi.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Do 10.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo ich glaube ich habe einfachere Lösung durch Abschätzen.
Eine "Worster-case" ;) von
[mm]\lim_{x\rightarrow 0} x\cdot\sin\frac{1}{x} = 0[/mm]
ist ja :
[mm]\lim_{x\rightarrow 0} x * 1 = 0[/mm]
Darf man Vorrausetzen das
[mm]\sin\frac{1}{x} <=1 ?[/mm]
Oder vielleicht kann man das einfach beweisen ?
Zweiteres ist also Majorante.
Naja und den Rest kennst du ja... im Grunde war die Idee ja von dir selbst.
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