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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den Folgen-Grenzwert (bitte kurze Begründung mit geeigneten Rechenregln):
a) [mm] a_{n}= \bruch{2^{n}+3^{n}+5^{n}}{3^{n}+7^{n}}
[/mm]
b) [mm] b_{n}=\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}
[/mm]
c) [mm] c_{n}=\bruch{3n^{2}-4n+1}{7n^{2}-100n+1000}
[/mm]
d) [mm] d_{n}=\wurzel{n} \times (\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] |
Hallo,
ich habe immer noch Probleme mit dem Grenzwertund hätte gerne einen Ansatz, dann mach ich selbst weiter und melde mich wenn's gar nicht geht.
Danke
Katharina
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Hallo Katharina!
Klammere im Zähler [mm] $5^n$ [/mm] aus und im Nenner [mm] $7^n$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Folgen-Grenzwert für:
[mm] a_{n}=\bruch{2^{n}+3^{n}+5^{n}}{3^{n}+7^{n}} [/mm] |
Der Tipp war [mm] 5^{n} [/mm] und [mm] 7^{n} [/mm] auszuklammern, dann käme raus:
[mm] \bruch{5^{n}\times (\bruch{2^{n}}{5^{n}}+\bruch{3^{n}}{5^{n}}+1)}{7^{n} \times (\bruch{3^{n}}{7^{n}}+1)}
[/mm]
an dieser Stelle kann ich nicht mal was kürzen, wäre es nicht sinnvoller gewesen [mm] 3^{n} [/mm] im Zähler und im Nenner auszuklammern? Das hätte man dann wenigstens kürzen können.
[mm] \bruch{2^{n}}{5^{n}}+\bruch{3^{n}}{5^{n}} [/mm] geht ja nicht mal zusammenzufassen, trotz gleichem Nenner oder seh ich da was falsch?
Für bspw: 2² + 3² gilt = 13 aber 5²=25, danach würde ich jetzt sagen man kann es nicht einfach zusammenziehen?
Wie mache ich weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 14.12.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
> Folgen-Grenzwert für:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2^{n}+3^{n}+5^{n}}{3^{n}+7^{n}}[/mm]
> Der Tipp war [mm]5^{n}[/mm] und [mm]7^{n}[/mm] auszuklammern, dann käme
> raus:
>
> [mm]\bruch{5^{n}\times (\bruch{2^{n}}{5^{n}}+\bruch{3^{n}}{5^{n}}+1)}{7^{n} \times (\bruch{3^{n}}{7^{n}}+1)}[/mm]
>
> an dieser Stelle kann ich nicht mal was kürzen, wäre es
> nicht sinnvoller gewesen [mm]3^{n}[/mm] im Zähler und im Nenner
> auszuklammern? Das hätte man dann wenigstens kürzen
> können.
>
> [mm]\bruch{2^{n}}{5^{n}}+\bruch{3^{n}}{5^{n}}[/mm] geht ja nicht mal
> zusammenzufassen, trotz gleichem Nenner oder seh ich da was
> falsch?
>
> Für bspw: 2² + 3² gilt = 13 aber 5²=25, danach würde ich
> jetzt sagen man kann es nicht einfach zusammenziehen?
>
> Wie mache ich weiter?
Du brauchst hier auch nichts zusammenzufassen oder zu kürzen... Höchstens ein bisschen umschreiben, damit man den Grenzwert besser erkennt:
[mm] $\frac{5^n(\frac{2^n}{5^n}+\frac{3^n}{5^n}+1)}{7^n(\frac{3^n}{7^n}+1)}= \frac{5^n((\frac{2}{5})^n+(\frac{3}{5})^n+1)}{7^n((\frac{3}{7})^n+1)}=\left(\frac{5}{7}\right)^n\cdot \frac{\left(\frac{2}{5}\right)^n+\left(\frac{3}{5}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{7}\right)^n+1} [/mm] $
Jetzt musst du dir überlegen, was mit den Brüchen passiert, wenn [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] geht...
Lieben Gruß,
Fulla
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[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left( \bruch{5}{7} \right)^{n}
[/mm]
Weil natürlich [mm] 7^{n} [/mm] immer größer ist als [mm] 5^{n} [/mm] wird der Bruch immer kleiner, aber ich glaub das geht noch genauer, aber wie?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left( \bruch{2}{5} \right)^{n}+ \left( \bruch{3}{5} \right)^{n}+1}{\left( \bruch{3}{7}^{n}+1 \right)}
[/mm]
Hier wird der Bruch immer größer, aber wie schreib ich das jetzt korrekt auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was kommt denn für die einzelnen Teile des Bruchs raus?
und [mm] q^n [/mm] geht immer gegen 0 für q<1!
Gruss leduart
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Ich verstehs wirklich nicht, es ist grad als hätt ich ein Brett vor dem Kopf.
Ich kann doch für die einzelnen Teile des Bruches keinen bestimmten Wert rausbekommen, da ich ja immer noch ^{n} dastehen hab, das einzig feste ist die 1.
Nullfolgen sind es auch nicht, das hab ich verstanden aber ich kann es nicht sehen.
Was muss ich denn genau sehen? Bitte helft mir
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 So 14.12.2008 | | Autor: | madeye |
ja richtig, das einzig feste ist die 1! das hilft dir auch.
vorher wurde gerade gesagt dass [mm] q^n [/mm] immer gegen 0 konvergiert, wenn q<1 und n gegen /infinity, deine ganzen teilbrüche sind kleiner als 1
somit sieht dein bruch so aus [mm] \bruch{0+0+1}{0+1} [/mm] und dein grenzwert wird zu [mm] \bruch{1}{1} [/mm] also somit zu 1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 So 14.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Dank, jetzt hab ich's. Brett vornm Kopf beiseite geschoben ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
so ganz richtig ist es so abar noch nicht... du hast ja noch den bruch [mm] $\left(\frac{5}{7}\right)^n$ [/mm] vornedranstehen... und der geht für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] auch gegen 0.
also in "salopper" schreibweise bekommst du [mm] $0\cdot\frac{0+0+1}{0+1}$
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Katharina!
Erweitere den Term zu einer 3. binomischen Formel mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Folgengrenzwert bestimmen von:
[mm] b_{n}= \wurzel{n+2}-\wurzel{n+1} [/mm] |
Der Tipp war es auf eine binomische Formel zu erweitern mit $ [mm] \left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right) [/mm] $
Das wäre dann
[mm] (\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}) \times \left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right)
[/mm]
Ergebnis ( [mm] \wurzel{n+2})^{2} [/mm] + (.a..)- (..a.)+ [mm] (\wurzel{n+1})^{2}
[/mm]
Das Quadrat löst die Wurzel ja theoretisch auf, dann hätte ich:
n+2+n+1= 2n+3
Ist das soweit richtig? Und wie mach ich jetzt weiter? Ich glaub das mit dem Grenzwert hab ich nicht so ganz verstanden :(
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Hallo anjali251,
> Folgengrenzwert bestimmen von:
>
> [mm]b_{n}= \wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}[/mm]
> Der Tipp war es auf eine
> binomische Formel zu erweitern mit [mm]\left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right)[/mm]
>
> Das wäre dann
> [mm](\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}) \times \left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right)[/mm]
>
> Ergebnis ( [mm]\wurzel{n+2})^{2}[/mm] + (.a..)- (..a.)+
> [mm](\wurzel{n+1})^{2}[/mm]
>
> Das Quadrat löst die Wurzel ja theoretisch auf, dann hätte
> ich:
>
> n+2+n+1= 2n+3
Uff, das ist aber umständlich, du musst doch nach der Erweiterung nicht ausmultiplizieren, du hast doch den Zähler dann in der Form [mm] $(a-b)\cdot{}(a+b)$, [/mm] wobei [mm] $a=\sqrt{n+2}$ [/mm] und [mm] $b=\sqrt{n+1}$ [/mm] ist.
Das ist also offensichtlich die 3.binomische Formel.
Was kommt also raus?
Der Zähler wird ganz einfach, im Nenner bleibt dann [mm] $\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}$ [/mm] stehen.
Also schreib's nochmal schön auf, dann siehst du direkt den GW
>
> Ist das soweit richtig? Und wie mach ich jetzt weiter? Ich
> glaub das mit dem Grenzwert hab ich nicht so ganz
> verstanden :(
LG
schachuzipus
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Von welchem Zähler und Nenner ist denn jetzt die Rede? es ist doch gar kein Bruch da? Nie gewesen?
Der Tipp war es auf eine
> binomische Formel zu erweitern mit $ [mm] \left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right) [/mm] $
>
> Das wäre dann
> $ [mm] (\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}) \times \left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n+1} \ \right) [/mm] $
Das hab ich gemacht, aber wieso ist dann plötzlich die Rede von Zähler und Nenner?
"Uff, das ist aber umständlich, du musst doch nach der Erweiterung nicht ausmultiplizieren, du hast doch den Zähler dann in der Form $ [mm] (a-b)\cdot{}(a+b) [/mm] $, wobei $ [mm] a=\sqrt{n+2} [/mm] $ und $ [mm] b=\sqrt{n+1} [/mm] $ ist. Der Zähler wird ganz einfach, im Nenner bleibt dann $ [mm] \sqrt{n+2}+\sqrt{n+1} [/mm] $ stehen.
Also schreib's nochmal schön auf, dann siehst du direkt den GW"
Das kann ich grad nicht nachvollziehen. Tut mir leid.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
du hattest den Tipp bekommen, deine Ausgangsfolge zu erweitern (!!!!!!!), du hast scheinbar nur was dranmultipliziert, damit wird's natürlich kompletter Unsinn und falsch
Wie erweiterst du denn für gewöhnlich?
$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$ solltest du nach dem Tipp mit $\blue{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})$ erweitern.
Das gibt doch wohl: $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}=\frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\cdot{}\blue{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}}{\blue{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$
Den Zähler nun wie oben beschrieben zusammenfassen, dann siehst du den GW
LG
schachuzipus
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Ja, du hast recht sorry.
hab das jetzt gemacht:
[mm] \bruch{(\wurzel{n+2})^{2} - (\wurzel{n+1})^{2}}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}
[/mm]
Das Quadrat im Zähler und die jeweilige Wurzel lösen sich auf:
[mm] \bruch{n+2-n+1}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{1 \times (\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1})}
[/mm]
Würde bedeuten, der GW liegt bei 3.
Ich hoffe das stimmt?
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Hallo nochmal,
> Ja, du hast recht sorry.
>
> hab das jetzt gemacht:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{n+2})^{2} - (\wurzel{n+1})^{2}}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> Das Quadrat im Zähler und die jeweilige Wurzel lösen sich
> auf:
>
> [mm] $\bruch{n+2-\red{(}n+1\red{)}}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1}}$
[/mm]
Achtung, hier muss ne Minusklammer hin
>
> [mm]=\bruch{3}{1 \times (\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1})}[/mm]
Unter Beachtung der Minusklammer kommst du auf [mm] $\bruch{\red{1}}{1 \times (\wurzel{n+2}+\wurzel{n+1})}$ [/mm]
> Würde bedeuten, der GW liegt bei 3. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ich hoffe das stimmt?
Nein, der Zähler ist konstant 1 und strebt daher auch für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 1
Aber der Nenner wird doch unendlich groß, die beiden n in den Wurzel hauen doch gegen [mm] \infty [/mm] ab.
Insgesamt strebt der letzte Bruch also für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 14.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Dank für deine geduldige Hilfe, heißt, das ganze ist Nullfolge mit dem Grenzwert 0.
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Hallo Katharina!
Klammere in Zähler und Nenner jeweils die höchste $n_$-Potenz aus (hier also [mm] $n^2$ [/mm] ) und kürze.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Folgen-Grenzwert für:
[mm] c_{n}=\bruch{3n^{2}-4n+1}{7n^{2}-100n+1000} [/mm] |
Der Tipp war [mm] n^{2} [/mm] auszuklammern:
[mm] \bruch{n^{2} \times (3 - \bruch{4n}{n^{2}}+ \bruch{1}{n^{2}}}{7 - \bruch{100n}{n^{2}}+ \bruch{1000}{n^{2}}}
[/mm]
Ergebnis nach kürzen wäre:
[mm] \bruch{3-\bruch{4}{n}+\bruch{1}{n^{2}}}{7-\bruch{100}{n}+\bruch{1000}{n^{2}}}
[/mm]
Auch hier stellt sich mir die Frage wie weiter?
Ich hab noch ein wenig drüber nachgedacht:
[mm] \bruch{4}{n}, \bruch{1}{n^{2}}, \bruch{100}{n} [/mm] sowie [mm] \bruch{1000}{n^{2}} [/mm] sind jedes für sich genommen Nullfolgen. Ich weiß nicht ob man das so machen kann, aber ist dann nicht dass was übrig bleibt, also [mm] \bruch{3}{7} [/mm] der Grenzwert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, 3/7 ist GW
Gruss leduart
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Hallo Katharina!
Gehe hier zunächst analog vor wie bei b.) ...
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 So 14.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
Dankeschön!
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| Aufgabe | | [mm] d_{n}=\wurzel{n} \times [/mm] ( [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] |
Könnte bitte mal einer kontrollieren ob das so stimmt? Ich hab nämlich immer noch Probleme mit den Grenzwerten:
Ich würde das ganze erweitern mit ( [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n})
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{n}\times(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})\times((\wurzel{n+1}-\wurzel{n})\times(\wurzel{n+1}+\wurzel{n}))}{( \wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
Dann würde ich kürzen:
[mm] =\wurzel{n}\times(\wurzel{n+1})^{2}-(\wurzel{n})^{2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{n}\times(n+1)-(n)
[/mm]
=???
jetzt weiß ich nicht wie ich mit der Wurzel weitermachen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 So 14.12.2008 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Dank, so langsam gibts Lichtblicke -- aber leider ganz langsam ;)
heißt am Ende nach allem ausklammern müsste da stehen:
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}\times(\wurzel{n+1}+1)}
[/mm]
Dann kann man [mm] \wurzel{n} [/mm] kürzen:
[mm] \bruch{1}{(\wurzel{n+1}+1)}
[/mm]
1 ist konstant für [mm] n\to\infty, [/mm] und der Nenner wächst, heißt der GW ist 0. Hoffe das stimmt.
Danke nochmal.
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank, so langsam gibts Lichtblicke -- aber leider
> ganz langsam ;)
>
> heißt am Ende nach allem ausklammern müsste da stehen:
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> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}\times(\wurzel{n+1}+1)}[/mm]
Du musst ja [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] aus beiden Summanden ausklammern, nicht nur aus dem letzten.
Dazu solltest du - wie oben schon erwähnt - in der ersten Wurzel n ausklammern und rausholen:
[mm] $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}}$
[/mm]
Nun aber [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausklammern
[mm] $=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot{}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$
[/mm]
Und das strebt nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen ....
>
> Dann kann man [mm]\wurzel{n}[/mm] kürzen:
>
> [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1}+1)}[/mm]
>
> 1 ist konstant für [mm]n\to\infty,[/mm] und der Nenner wächst, heißt
> der GW ist 0. Hoffe das stimmt.
Nein, leider nicht
>
> Danke nochmal.
Gerne
Gruß
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
