Grenzwert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mo 06.04.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{\sinh(x)-\cosh(x)} [/mm] |
Hallo! 
Mein bisheriger Ansatz:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{\sinh(x)-\cosh(x)}\underbrace{=}_{\infty-\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}{\sinh(x)*(1-\tanh(x))}
[/mm]
[mm] \underbrace{=}_{\infty-0}\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{\bruch{1}{\cosh(x)}-\bruch{1}{\sinh(x)}}{\bruch{1}{\sinh(x)*\cosh(x)}}}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}\rightarrow L'hospital}\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{\bruch{\cosh(x)}{\sinh^2(x)}-\bruch{\sinh(x)}{cosh^2(x)}}{-\bruch{\sinh^2(x)+\cosh^2(x)}{\sinh^2(x)*\cosh^2(x)}}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{\bruch{\cosh^3(x)-\sinh^3(x)}{\sinh^2(x)*\cosh^2(x)}}{-\bruch{\sinh^2(x)+\cosh^2(x)}{\sinh^2(x)*\cosh^2(x)}}}=\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{\cosh^3(x)-\sinh^3(x)}{-\sinh^2(x)-\cosh^2(x)}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}{\left(\bruch{\sinh^3(x)}{\sinh^2(x)+\cosh^2(x)}-\bruch{\cosh^3(x)}{\sinh^2(x)+\cosh^2(x)}\right)}
[/mm]
Und das sind wieder Terme der Art [mm] \bruch{infty}{infty} [/mm] aber wieder L'hospital anwenden bringt denke ich nichts....
Ist folgendes evtl erlaubt?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{\sinh(x)-\cosh(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}{\tanh(x)-1}=1-1=0 [/mm] ?
Danke und Gruß,
tedd
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wenn du für sinh(x) = [mm] 0.5(e^x [/mm] - [mm] e^{-x})
[/mm]
und für cosh(x) = [mm] 0.5(e^x [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
einsetzt, sieht der term danach um einiges freundlicher aus, und der Grenzwert sollte gen 0 gehn, wenn ich mich nicht verrechnet habe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Di 07.04.2009 | | Autor: | tedd |
Ouh man...
Ganz schön einfach wenn man weis wie
Danke für die Hilfe und Gruß,
tedd
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Hallo Tedd!
Erweitere Deinen Term mal mit [mm] $\left[ \ \sinh(x) \ \red{+} \ \cosh(x) \ \right]$ [/mm] .
Anschließend die ![[]](/images/popup.gif) Identität [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x) [/mm] \ = \ 1$ verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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