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| Aufgabe | | Berechne [mm] \underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x, [/mm] mit p, x, [mm] a\in \mathbb{R}^+ [/mm] und [mm] z\in [/mm] [-1, 1]. |
Hallo,
ich komme irgendwie nicht recht weiter beim Grenzwert. Ich hatte erst mal so vermutet, dass da [mm] -\sqrt{p^{2}+a^{2}} [/mm] rauskommt, konnte es bisher aber nicht beweisen.
Was ich bisher gemacht hab:
[mm] \Leftrightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{x^{2}(\frac{p^{2}}{x^{2}}+\frac{2p}{x}+1+\frac{a^{2}}{x^{2}}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x\Leftrightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}x\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{x^{2}}+\frac{2p}{x}+1+\frac{a^{2}}{x^{2}}}-\frac{\sqrt{p^{2}+a^{2}}}{x}-1\right).
[/mm]
Aber irgendwie stecke ich nun fest.
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Hallo,
du musst nur die Limes der einzelnen Summanden betrachten, deine Vermutung stimmt ja.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
lg
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> Hallo,
>
> du musst nur die Limes der einzelnen Summanden betrachten,
> deine Vermutung stimmt ja.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
>
> lg
Naja gut das gilt doch aber nur, falls lim [mm] a_n=a [/mm] mit [mm] a\in \mathbb{R}.
[/mm]
Betrachte ich meine Differenz, dann steht da aber auch mein x alleine, und der Grenzwert von x für x gegen unendlich ist nicht mehr reell.
Das ist auch das Problem an der Rechnung.
Ansonsten wäre es klar.
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> > Hallo,
> >
> > du musst nur die Limes der einzelnen Summanden betrachten,
> > deine Vermutung stimmt ja.
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
> >
> > lg
>
> Naja gut das gilt doch aber nur, falls lim [mm]a_n=a[/mm] mit [mm]a\in \mathbb{R}.[/mm]
gut aufgepasst!
>
> Betrachte ich meine Differenz, dann steht da aber auch mein
> x alleine, und der Grenzwert von x für x gegen unendlich
> ist nicht mehr reell.
> Das ist auch das Problem an der Rechnung.
> Ansonsten wäre es klar.
hoffe frage ist nun geklärt, post siehe unten
mfg tee
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> Berechne
> [mm]\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x,[/mm]
> mit p, x, [mm]a\in \mathbb{R}^+[/mm] und [mm]z\in[/mm] [-1, 1].
> Hallo,
>
> ich komme irgendwie nicht recht weiter beim Grenzwert. Ich
> hatte erst mal so vermutet, dass da [mm]-\sqrt{p^{2}+a^{2}}[/mm]
> rauskommt, konnte es bisher aber nicht beweisen.
>
> Was ich bisher gemacht hab:
>
> [mm]\Leftrightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{x^{2}(\frac{p^{2}}{x^{2}}+\frac{2p}{x}+1+\frac{a^{2}}{x^{2}}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x\Leftrightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}x\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{x^{2}}+\frac{2p}{x}+1+\frac{a^{2}}{x^{2}}}-\frac{\sqrt{p^{2}+a^{2}}}{x}-1\right).[/mm]
> Aber irgendwie stecke ich nun fest.
ja hier wär ja der fall [mm] \infty [/mm] * 0 was dir nicht hilft.
versuch es also mal so:
[mm] \sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x
[/mm]
[mm] =(\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-x)-(\sqrt{p^{2}+a^{2}})
[/mm]
nur die erste klammer ist also noch kritisch weil sie von x abhängt.. bei differenzen solltest du dann zu einem 3. binom erweitern im zähler:
[mm] =(\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-x)*\frac{\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}+x}{\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}+x}-(\sqrt{p^{2}+a^{2}})
[/mm]
dann kürzen was geht, ähnlich wie du eben schon gemacht hast, dann solltest du auf
[mm] $$p\,z-\sqrt{{p}^{2}+{a}^{2}}$$ [/mm] kommen
mfg tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
das hätte ich jetzt folgendermaßen gemacht:
[mm] \underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x=\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-x-\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^{2}+a^{2}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{x^{2}(\frac{p^{2}}{x^{2}}+\frac{2p}{x}+1+\frac{a^{2}}{x^{2}})}-x-\sqrt{p^{2}+a^{2}}
[/mm]
[mm] =\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{x^{2}(0+0+1+0)}-x-\sqrt{p^{2}+a^{2}}=\limes_{x\rightarrow\infty}(x-x)-\sqrt{p^{2}+a^{2}}=-\sqrt{p^{2}+a^{2}}
[/mm]
Ich weiß dass man auf die Weise die Absolutwerte [mm] \pm\infty [/mm] nicht aufeinander addieren sowie [mm] 0*\infty [/mm] nicht ausmultiplizieren kann, ich denke aber, dass das mit den schrägen Asymptoten geht, oder irre ich mich da?
lg
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> Hallo,
>
> das hätte ich jetzt folgendermaßen gemacht:
>
> [mm]\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-\sqrt{p^{2}+a^{2}}-x=\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{p^{2}+2pzx+x^{2}+a^{2}}-x-\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^{2}+a^{2}}=\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{x^{2}(\frac{p^{2}}{x^{2}}+\frac{2p}{x}+1+\frac{a^{2}}{x^{2}})}-x-\sqrt{p^{2}+a^{2}}[/mm]
>
also im vorigen schritt hast du quasi ja schon [mm] \infty [/mm] *0 vorliegen durchs ausklammern, jedoch hast du erst x gegen unendlich laufen lassen für die nenner, wo 0 rauskommt, aber vorne das [mm] x^2 [/mm] unangetastet gelassen..
x beim ersten summanden gen [mm] \infty [/mm] laufen zu lassen, hätte zur folge, dass der gw auch [mm] \infty [/mm] ist... du musst schon die wurzel und -x zusammen betrachten um den gw herauszubekommen, und das geht nur* durch die erweiterung aufs 3. binom
(* => also in meinen augen  )
> [mm]=\underset{x\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\sqrt{x^{2}(0+0+1+0)}-x-\sqrt{p^{2}+a^{2}}=\limes_{x\rightarrow\infty}(x-x)-\sqrt{p^{2}+a^{2}}=-\sqrt{p^{2}+a^{2}}[/mm]
>
> Ich weiß dass man auf die Weise die Absolutwerte [mm]\pm\infty[/mm]
> nicht aufeinander addieren sowie [mm]0*\infty[/mm] nicht
> ausmultiplizieren kann, ich denke aber, dass das mit den
> schrägen Asymptoten geht, oder irre ich mich da?
>
> lg
mfg tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo fencheltee,
ich habe deine Lösung durchgerechnet, kann sie nachvollziehen und mein Rechner "stimmt dir auch zu", einige bestimmte, hohe x betreffend. Allerdings verstehe ich dann ebenfalls nicht, was an meiner (falschen) Rechnung denn falsch sein soll, abgesehen vom Ergebnis, denn:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x-\sqrt{p^2+a^2}=-\sqrt{p^2+a^2}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p^2+2pzx+x^2+a^2-x^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\sqrt{p^2+a^2}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2pzx}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p^2+a^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}
[/mm]
Der zweite Limes hat einen konstanten Zähler und einen unbeschränkt wachsenden Nenner, ist also gleich Null und der erste Limes muss vom Betrag gleich 2pz sein.
Dies gilt jedoch nur unter der Abschätzung: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2pzx}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}2pzx}{\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2pzx}{x+x}=2pz, [/mm] d.h.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}=\limes_{x\rightarrow\infty}x\Rightarrow\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x=0\Rightarrow\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x-\sqrt{p^2+a^2}=-\sqrt{p^2+a^2}=pz-\sqrt{p^2+a^2}
[/mm]
Die letzten beiden Schritte müssen irgendwie falsch sein. Oder eher die Rechnung selbst.
Ich hoffe, dass du mein Verständnisproblem lösen kannst.
lg
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> Hallo fencheltee,
>
> ich habe deine Lösung durchgerechnet, kann sie
> nachvollziehen und mein Rechner "stimmt dir auch zu",
> einige bestimmte, hohe x betreffend. Allerdings verstehe
> ich dann ebenfalls nicht, was an meiner (falschen) Rechnung
> denn falsch sein soll, abgesehen vom Ergebnis, denn:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x-\sqrt{p^2+a^2}=-\sqrt{p^2+a^2}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p^2+2pzx+x^2+a^2-x^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\sqrt{p^2+a^2}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2pzx}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}+\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p^2+a^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}[/mm]
> Der zweite Limes hat einen konstanten Zähler und einen
> unbeschränkt wachsenden Nenner, ist also gleich Null und
> der erste Limes muss vom Betrag gleich 2pz sein.
> Dies gilt jedoch nur unter der Abschätzung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2pzx}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}2pzx}{\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2pzx}{x+x}=2pz,[/mm]
> d.h.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}=\limes_{x\rightarrow\infty}x\Rightarrow\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x=0\Rightarrow\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x-\sqrt{p^2+a^2}=-\sqrt{p^2+a^2}=pz-\sqrt{p^2+a^2}[/mm]
>
> Die letzten beiden Schritte müssen irgendwie falsch sein.
> Oder eher die Rechnung selbst.
> Ich hoffe, dass du mein Verständnisproblem lösen
> kannst.
>
> lg
mh leider blick ich nicht wirklich durch was du da gemacht hast, deswegen rechne ich mal kurz vor:
die konstante wurzel lass ich hinten mal weg, also betrachte ich nur das, was ein x drin hat:
[mm] \sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x=\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x*\frac{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}
[/mm]
[mm] =\frac{p^2+2pzx+x^2+a^2-x^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\frac{p^2+2pzx+a^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}
[/mm]
nun im zähler und nenner die höchste potenz von x ausklammern (x!):
[mm] \frac{x*(\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x})}{x*(1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}})}
[/mm]
[mm] =\frac{\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x}}{1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}}}
[/mm]
nun [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x}}{1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}}}=\frac{2pz}{1+\sqrt{1}}=pz
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 08.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
> mh leider blick ich nicht wirklich durch was du da gemacht
> hast, deswegen rechne ich mal kurz vor:
> die konstante wurzel lass ich hinten mal weg, also
> betrachte ich nur das, was ein x drin hat:
>
> [mm]\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x=\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x*\frac{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}[/mm]
>
> [mm]=\frac{p^2+2pzx+x^2+a^2-x^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\frac{p^2+2pzx+a^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}[/mm]
> nun im zähler und nenner die höchste potenz von x
> ausklammern (x!):
>
> [mm]\frac{x*(\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x})}{x*(1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}})}[/mm]
>
> [mm]=\frac{\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x}}{1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}}}[/mm]
>
Diesen Schritt hatte ich so ähnlich anfangs probiert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x-\sqrt{p^2+a^2}=\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x^2*(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}}-x-\sqrt{p^2+a^2}=\limes_{x\rightarrow\infty}x*\sqrt{(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}}-x-\sqrt{p^2+a^2}
[/mm]
Nur weiß ich nicht, warum ich jetzt nicht [mm] \sqrt{(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}} [/mm] gleich 1 setzen darf, wie in deiner Rechnung.
> nun
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x}}{1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}}}=\frac{2pz}{1+\sqrt{1}}=pz[/mm]
>
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> > mh leider blick ich nicht wirklich durch was du da gemacht
> > hast, deswegen rechne ich mal kurz vor:
> > die konstante wurzel lass ich hinten mal weg, also
> > betrachte ich nur das, was ein x drin hat:
> >
> >
> [mm]\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x=\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x*\frac{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\frac{p^2+2pzx+x^2+a^2-x^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}=\frac{p^2+2pzx+a^2}{\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}+x}[/mm]
> > nun im zähler und nenner die höchste potenz von x
> > ausklammern (x!):
> >
> >
> [mm]\frac{x*(\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x})}{x*(1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}})}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\frac{\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x}}{1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}}}[/mm]
> >
> Diesen Schritt hatte ich so ähnlich anfangs probiert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{p^2+2pzx+x^2+a^2}-x-\sqrt{p^2+a^2}=\limes_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x^2*(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}}-x-\sqrt{p^2+a^2}=\limes_{x\rightarrow\infty}x*\sqrt{(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}}-x-\sqrt{p^2+a^2}[/mm]
> Nur weiß ich nicht, warum ich jetzt nicht
> [mm]\sqrt{(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}}[/mm]
> gleich 1 setzen darf, wie in deiner Rechnung.
> > nun
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{p^2}{x}+2pz+\frac{a^2}{x}}{1+\sqrt{\frac{p^2}{x^2}+\frac{2pz}{x}+1+\frac{a^2}{x^2}}}=\frac{2pz}{1+\sqrt{1}}=pz[/mm]
> >
>
hallo,
naja bei deiner version hättest du nach dem gw übergang raus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*\sqrt{(\bruch{p^2}{x^2}+\bruch{2pz}{x}+1+\bruch{a^2}{x^2}}-x-\sqrt{p^2+a^2}=\infty*\sqrt1 [/mm] - [mm] \infty-\sqrt{p^2+a^2}
[/mm]
und [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] kann ja alles sein, somit kannst du das nur aufs 3. binom erweitern, weil man da dann das kritische [mm] \infty [/mm] *0 heraus kürzt
mfg tee
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