Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm]
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wie zeige ich das denn?
Sieht etwas nach Induktion aus, aber das hat damit ja nichts zu tun. Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] vielleicht eine Teilfolge von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ??
Mathegirl
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Hallo MAthegirl,
> Zeige:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
>
> wie zeige ich das denn?
> Sieht etwas nach Induktion aus, aber das hat damit ja
> nichts zu tun. Ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> vielleicht eine Teilfolge von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] ??
Weißt du, dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ [/mm] ist?
Dann benutze die Grenzwertsätze.
Betrachte [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}=\left(1+\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Nun [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=...$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=...$
[/mm]
Damit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot{}b_n)=...$
[/mm]
>
>
> Mathegirl
>
LG
schachuzipus
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das mit dem e wusste ich jetzt nicht. ist das die eulersche zahl? (2,7...)?
Also von [mm] a_n [/mm] ist der Grenzwert 1 und von [mm] b_n [/mm] ist der Grenzwert auch 1. Und 1*1 =1 aber wo ist bei [mm] b_n [/mm] das n+1 geblieben?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 17.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
e sollst du sicher nicht benutzen.
aber du kannst ja dem 1. ten lim nen Namen geben. sagen wir g
dann vergleich mal den abstand der ersten Folge für irgend ein n von g, den kannst du < [mm] \epsilon [/mm] machen oder [mm] <\epsilon/10. [/mm] ab irgendeinem n. Kannst du dann auch g- 2.Folge kleiner als [mm] \epsilon [/mm] machen ab irgend nem (anderen) n.
immer überlegen, was lim bedeutet.
gruss leduart
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sorry, aber jetzt verstehe ich noch weniger....
ich gebs jetzt auf, bin anscheinend zu blöd für mathe... ich berechne die grenzwerte jetzt einzelne und vielleicht haben sie ja den gleichen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Di 17.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sorry, aber jetzt verstehe ich noch weniger....
> ich gebs jetzt auf, bin anscheinend zu blöd für mathe...
Nana, 
> ich berechne die grenzwerte jetzt einzelne und vielleicht
> haben sie ja den gleichen.
Was leduart meint, ist Folgendes: Du hast zwei Grenzwerte:
[mm] A = \lim_{n\to\infty} a_n [/mm] mit [mm] $a_n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}$
[/mm]
und
[mm] B = \lim_{n\to\infty} b_n [/mm] mit [mm] $b_n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}$
[/mm]
Nun ist offensichtlich: [mm] $b_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] * [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)$, [/mm] also
[mm] B = \lim_{n\to\infty} a_n * \left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm].
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo zusammen,
> Hallo!
>
> > sorry, aber jetzt verstehe ich noch weniger....
> > ich gebs jetzt auf, bin anscheinend zu blöd für mathe...
>
> Nana,
>
> > ich berechne die grenzwerte jetzt einzelne und vielleicht
> > haben sie ja den gleichen.
>
> Was leduart meint, ist Folgendes: Du hast zwei Grenzwerte:
>
> [mm]A = \lim_{n\to\infty} a_n[/mm] mit
> [mm]a_n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}[/mm]
>
> und
>
> [mm]B = \lim_{n\to\infty} b_n[/mm] mit
> [mm]b_n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}[/mm]
Wobei ich mich frage, ob MG bei dem aktuellen Stand annehmen darf, dass diese GWe auch wirklich existieren ...
>
> Nun ist offensichtlich: [mm]b_n = a_n * \left(1+\bruch{1}{n}\right)[/mm],
> also
>
> [mm]B = \lim_{n\to\infty} a_n * \left(1+\bruch{1}{n}\right) [/mm].
>
> Hilft dir das weiter?
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
LG
schachuzipus
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> Wobei ich mich frage, ob MG bei dem aktuellen Stand
> annehmen darf, dass diese GWe auch wirklich existieren ...
Hallo,
sie hat's zwar bisher verheimlicht, aber sie zeigt in einem anderen Thread gerade, daß [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] konvergiert.
Gruß v. Angela
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ja, jetzt habe ich es verstanden. Man muss das mir immer idiotensicher erklären. wenn ich es einmal verstanden habe, dann kriege ich alles weiter ja auch denke ich mal hin. Danke!
Aber mich hat jetzt wieder die Frage verunsichert, ob man die Grenzwerte wirklich annehmen darf...
Grüße
Mathegirl
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> ja, jetzt habe ich es verstanden. Man muss das mir immer
> idiotensicher erklären. wenn ich es einmal verstanden
> habe, dann kriege ich alles weiter ja auch denke ich mal
> hin. Danke!
> Aber mich hat jetzt wieder die Frage verunsichert, ob man
> die Grenzwerte wirklich annehmen darf...
Daß die eine Folge konvergiert, zeigst Du doch gerade an anderer Stelle, und die Konvergenz von [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] kennst Du sicher.
Gruß v. Angela
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also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n *(1+\bruch{1}{n}) [/mm] und das ergibt ja den Grenzwert 2
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> also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n *(1+\bruch{1}{n})[/mm]
> und das ergibt ja den Grenzwert 2
Hallo,
nein.
Aber vielleicht erklärst Du mal, wie Du auf 2 kommst, dann kann man das Mißverständnis klären.
Gruß v. Angela
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naja eigentlich dachte ich ja der Grenzwert wäre unendlich. denn [mm] \infty [/mm] +1 ist immernoch [mm] \infty. [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \infty \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})= [/mm] 1
stimmt es so schon ehr?
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> naja eigentlich dachte ich ja der Grenzwert wäre
> unendlich. denn [mm]\infty[/mm] +1 ist immernoch [mm]\infty.[/mm]
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = [mm]\infty \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})=[/mm]
> 1
>
> stimmt es so schon ehr?
Mach keine Witze!
Du zeigst doch in der anderen Aufgabe gerade, daß [mm] 1<(1+\bruch{1}{n})^n<3.
[/mm]
Wie soll der GW da dann [mm] \infty [/mm] sein.
Der Grenzwert interessiert hier eigentlich auch keinen Menschen.
In der anderen Aufgabe zeigst Du, daß die Folge konvergiert. Das reicht.
Da die Folge konvergiert, existiert der GW, und Du kannst ihn einfach irgendwie nennen, z.B. [mm] g:=\lin_{n\to \infty}(1+\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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naja eigentlich dachte ich ja der Grenzwert wäre unendlich. denn [mm] \infty [/mm] +1 ist immernoch [mm] \infty. [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \infty [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})= [/mm] 1
stimmt es so schon ehr?
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> naja eigentlich dachte ich ja der Grenzwert wäre
> unendlich. denn [mm]\infty[/mm] +1 ist immernoch [mm]\infty.[/mm]
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
nein, wie schon öfters angesprochen ist der grenzwert
[mm] \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
[/mm]
(siehe hierzu: http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl unter definition)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})=[/mm] 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> stimmt es so schon ehr?
gruß tee
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stimmt...diese 2,7....sorry, das war jetzt meine Schusseligkeit. Nur noch Folgen und Konvergenzen...
Aber reicht es die Gleichheit der beiden Folgen so zu zeigen? also mit [mm] a_n*(1+\bruch{1}{n}) [/mm] z.B.?
Grüße
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 17.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> stimmt...diese 2,7....sorry, das war jetzt meine
> Schusseligkeit. Nur noch Folgen und Konvergenzen...
>
> Aber reicht es die Gleichheit der beiden Folgen so zu
> zeigen? also mit [mm]a_n*(1+\bruch{1}{n})[/mm] z.B.?
Ja, aber nur deswegen, weil beide Folgen konvergent sind. Dann darfst du die Grenzwerte getrennt ausrechnen und multiplizieren.
[mm] \lim_{n\to\infty} a_n =e [/mm], [mm]\lim_{n\to\infty}(1+\bruch{1}{n}) =1 [/mm],
und daher
[mm] \left(\lim_{n\to\infty} a_n\right) * \left(\lim_{n\to\infty}(1+\bruch{1}{n})\right) = \lim_{n\to\infty} \left(a_n *(1+\bruch{1}{n})\right) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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> Also von [mm]a_n[/mm] ist der Grenzwert 1
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Du zeigst in der anderen Diskussion ja gerade, daß [mm] 1
und daß [mm] a_n [/mm] monoton wächst, von daher kann der Grenzwert nicht =1 sein, denn es ist doch schon [mm] a_1=2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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